Droite des milieux 2AC : exercices corrigés

1. Dans le triangle ABC, la droite qui joint les milieux de deux côtés est parallèle au troisième : $(EF)\parallel (BC)$.
2. $EF=\frac{1}{2}BC=11÷2=5,5$ cm.
3. $BC=2\times EF=2\times 3,8=7,6$ cm.

À retenir : Deux milieux dans un triangle donnent un parallélisme et une longueur : le segment des milieux vaut la moitié du troisième côté.

1. U et V sont les milieux de [RS] et de [ST] : (UV) est parallèle au troisième côté, [RT].
2. $UV=\frac{1}{2}RT=12÷2=6$ cm.
3. V et W sont les milieux de [ST] et de [RT] : le troisième côté est [RS], donc $VW=\frac{1}{2}RS=8÷2=4$ cm.

À retenir : Le troisième côté est celui qui ne porte aucun des deux milieux.

1. Oui : M et N sont les milieux de [AB] et de [AC].
2. Non : un seul milieu ne suffit pas, on ne sait rien du point N.
3. Non : cette égalité ne dit pas que M et N sont des milieux.

À retenir : Avant d’appliquer le théorème des milieux, on vérifie que chacun des deux points est le milieu de son côté.

1. La droite passe par le milieu de [AB] et elle est parallèle à (BC) : elle coupe [AC] en son milieu. J est le milieu de [AC].
2. $AJ=9÷2=4,5$ cm.
3. I et J sont deux milieux : $IJ=\frac{1}{2}BC=12÷2=6$ cm.

À retenir : Un milieu et une parallèle à un côté donnent un second milieu sur le troisième côté.

1. Dans le triangle DEF, la droite passe par le milieu K de [DE] et elle est parallèle à (DF) : elle coupe [EF] en son milieu L.
2. $EL=LF=8,6÷2=4,3$ cm.
3. K et L sont les milieux de [DE] et de [EF] : $KL=\frac{1}{2}DF=10÷2=5$ cm.

À retenir : On repère le sommet commun aux deux côtés coupés, ici E : la parallèle est tracée au côté opposé à ce sommet.

1. Vrai : c’est le théorème des milieux.
2. Faux : c’est vrai seulement pour la parallèle qui passe par le milieu d’un des deux côtés.
3. Faux : le segment des milieux se compare au troisième côté, $MN=\frac{1}{2}BC$.

À retenir : Chaque propriété a ses conditions : on les relit avant de conclure.

1. P appartient à [AB] et $AP=PB$ : P est le milieu de [AB]. De même, Q appartient à [AC] et $AQ=QC$ : Q est le milieu de [AC].
2. Dans le triangle ABC, P et Q sont les milieux de [AB] et de [AC]. D’après le théorème des milieux, $(PQ)\parallel (BC)$.
3. D’après le même théorème, $PQ=\frac{1}{2}BC=9÷2=4,5$ cm.

À retenir : Une preuve suit trois temps : le triangle et les deux milieux, le théorème cité, la conclusion.

1. I et J sont les milieux de [AB] et de [BC] : (IJ) est parallèle au troisième côté, donc $(IJ)\parallel (AC)$. J et K sont les milieux de [BC] et de [CA] : $(JK)\parallel (AB)$.
2. $IJ=\frac{1}{2}AC=6÷2=3$ cm et $JK=\frac{1}{2}AB=7÷2=3,5$ cm.
3. (IJ) est parallèle à (AK) et (JK) est parallèle à (AI) : les côtés opposés de AIJK sont parallèles, c’est un parallélogramme.

À retenir : Dans un triangle, chaque couple de milieux donne une parallèle à un côté différent.

1. Dans le triangle ABC, I et J sont les milieux de [AB] et de [AC] : d’après le théorème des milieux, $(IJ)\parallel (BC)$.
2. Dans le triangle DBC, K et L sont les milieux de [DB] et de [DC] : d’après le même théorème, $(KL)\parallel (BC)$.
3. Deux droites parallèles à une même droite sont parallèles : $(IJ)\parallel (KL)$. De plus, $IJ=\frac{1}{2}BC$ et $KL=\frac{1}{2}BC$, donc $IJ=KL$.

À retenir : On applique le théorème dans chaque triangle séparément, en nommant le triangle utilisé.

1. M est sur [AB], N sur [AC] et $(MN)\parallel (BC)$, donc $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}$.
2. $\frac{AM}{AB}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$, donc $AN=\frac{2}{3}\times 9=6$ cm.
3. $MN=\frac{2}{3}\times 15=10$ cm.

À retenir : Les trois rapports partent du sommet commun A : petit côté sur grand côté.

1. $\frac{ER}{EF}=\frac{3}{7,5}=\frac{30}{75}=\frac{2}{5}$.
2. $\frac{RS}{FG}=\frac{2}{5}$, donc $FG=4\times \frac{5}{2}=10$ cm.
3. $ES=\frac{2}{5}\times 12,5=5$ cm, puis $SG=EG-ES=12,5-5=7,5$ cm.

À retenir : Quand le petit côté est connu, on retrouve le grand en multipliant par l’inverse du rapport.

1. $AM=\frac{1}{2}AB$ et M est sur [AB] : M est le milieu de [AB].
2. Les rapports sont égaux : $\frac{AN}{AC}=\frac{1}{2}$, donc N est le milieu de [AC].
3. $\frac{MN}{BC}=\frac{1}{2}$, soit $MN=\frac{1}{2}BC$ : on retrouve le théorème des milieux.

À retenir : Le théorème des milieux est le cas particulier où le rapport vaut un demi.

1. Dans le triangle ABC, M et N sont les milieux de [AB] et de [AC] : d’après le théorème des milieux, $(MN)\parallel (BC)$.
2. $MN=\frac{1}{2}BC=6,4÷2=3,2$ m.
3. $(PQ)\parallel (BC)$, donc $\frac{PQ}{BC}=\frac{AP}{AB}=\frac{1}{4}$ et $PQ=\frac{1}{4}\times 6,4=1,6$ m.

À retenir : Deux milieux donnent le rapport un demi ; une autre parallèle donne le rapport lu sur un côté.

1. $AW=3\times AU$, donc $\frac{AU}{AW}=\frac{1}{3}$. De même $AV=2\times AU$, donc $\frac{AV}{AW}=\frac{2}{3}$.
2. Dans le triangle AWB, $(UP)\parallel (WB)$, donc $\frac{AP}{AB}=\frac{AU}{AW}=\frac{1}{3}$ et $AP=\frac{1}{3}\times 9=3$ cm.
3. De même, $AQ=\frac{2}{3}\times 9=6$ cm. Alors $PQ=6-3=3$ cm et $QB=9-6=3$ cm : les trois parts sont égales.

À retenir : Des parallèles régulièrement espacées sur une demi-droite partagent un segment en parts égales, sans mesurer ce segment.

1. Les rapports partent du sommet commun A et comparent le petit triangle au grand : la bonne égalité est $\frac{AM}{AB}=\frac{MN}{BC}$.
2. $AI=\frac{1}{2}AB$, $AJ=\frac{1}{2}AC$ et $IJ=\frac{1}{2}BC$ : chaque côté de AIJ vaut la moitié d’un côté de ABC. Le périmètre de AIJ est $30÷2=15$ cm.
3. Dans ABC, $IJ=\frac{1}{2}BC=5$ cm. Dans le triangle AIJ, K et L sont les milieux de [AI] et de [AJ], donc $KL=\frac{1}{2}IJ=2,5$ cm.

À retenir : Le théorème des milieux peut s’appliquer plusieurs fois de suite, dans des triangles de plus en plus petits.