Produit et quotient de rationnels 2AC : exercices corrigés

1. $\frac{3}{4}\times \frac{5}{7}=\frac{3\times 5}{4\times 7}=\frac{15}{28}$.
2. Les signes sont contraires, le produit est négatif : $-\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}=-\frac{8}{15}$.
3. Les deux facteurs sont négatifs, le produit est positif : $-\frac{1}{6}\times \left(-\frac{5}{2}\right)=\frac{5}{12}$.
4. Les signes sont contraires : $\frac{7}{9}\times \left(-\frac{2}{3}\right)=-\frac{14}{27}$.

À retenir : On multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux ; le signe suit la règle des signes d’un produit.

1. $4\times \frac{3}{5}=\frac{4\times 3}{5}=\frac{12}{5}$.
2. $-3\times \frac{2}{7}=-\frac{3\times 2}{7}=-\frac{6}{7}$.
3. $\frac{5}{8}\times (-2)=-\frac{10}{8}=-\frac{5}{4}$.
4. Le produit de deux négatifs est positif : $-6\times \left(-\frac{1}{4}\right)=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$.

À retenir : Un entier $n$ s’écrit $\frac{n}{1}$ : il multiplie seulement le numérateur.

1. $\frac{2}{3}\times 45=\frac{90}{3}=30$ : cela représente 30 DH.
2. $\frac{3}{4}\times \frac{2}{5}=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}$ : cela représente les trois dixièmes du terrain.
3. $\frac{1}{2}\times \frac{5}{6}=\frac{5}{12}$ d’heure. Comme $\frac{5}{12}\times 60=25$, cela fait 25 minutes.

À retenir : Prendre une fraction d’une quantité, c’est multiplier cette quantité par la fraction : le mot « de » se traduit par un produit.

1. On simplifie 4 avec 8, puis 3 avec 9 : $\frac{4}{9}\times \frac{3}{8}=\frac{1\times 1}{3\times 2}=\frac{1}{6}$.
2. On simplifie 15 avec 10 par 5, puis 7 avec 14 par 7 : $\frac{15}{14}\times \frac{7}{10}=\frac{3\times 1}{2\times 2}=\frac{3}{4}$.
3. On simplifie 9 avec 27, puis 8 avec 16 : $-\frac{9}{16}\times \frac{8}{27}=-\frac{1\times 1}{2\times 3}=-\frac{1}{6}$.
4. On simplifie 12 avec 18 par 6, puis 25 avec 35 par 5 : $\frac{12}{35}\times \left(-\frac{25}{18}\right)=-\frac{2\times 5}{7\times 3}=-\frac{10}{21}$.

À retenir : On divise un facteur du haut et un facteur du bas par un diviseur commun avant de multiplier : les nombres restent petits.

1. Les facteurs 3 et 4 se simplifient : $\frac{2\times 3\times 4}{3\times 4\times 5}=\frac{2}{5}$.
2. Deux facteurs négatifs donnent un produit positif : $\frac{1\times 4\times 7}{2\times 7\times 8}=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$.
3. Un seul facteur négatif donne un produit négatif : $-\frac{5\times 3\times 2}{6\times 15}=-\frac{30}{90}=-\frac{1}{3}$.

À retenir : Un nombre pair de facteurs négatifs donne un produit positif, un nombre impair un produit négatif.

1. Faux : on multiplie aussi les dénominateurs, $\frac{2}{5}\times \frac{3}{5}=\frac{6}{25}$.
2. Vrai : $\frac{3}{7}\times \frac{7}{3}=\frac{21}{21}=1$. Les deux nombres sont inverses l’un de l’autre.
3. Faux : les signes sont contraires, $-\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=-\frac{1}{4}$.

À retenir : Dans un produit, on ne garde pas le dénominateur : on multiplie les dénominateurs entre eux.

1. L’inverse est $\frac{9}{4}$, car $\frac{4}{9}\times \frac{9}{4}=1$. L’opposé est $-\frac{4}{9}$.
2. L’inverse est $-\frac{8}{3}$ : l’inverse d’un négatif est négatif. L’opposé est $\frac{3}{8}$.
3. L’inverse est $-\frac{1}{5}$, car $-5\times \left(-\frac{1}{5}\right)=1$. L’opposé est $5$.
4. $0,25=\frac{1}{4}$ : l’inverse est $4$ et l’opposé est $-0,25$.

À retenir : L’inverse échange le numérateur et le dénominateur sans changer le signe ; l’opposé change seulement le signe.

1. $\frac{3}{5}÷\frac{2}{7}=\frac{3}{5}\times \frac{7}{2}=\frac{21}{10}$.
2. $-\frac{4}{9}÷\frac{8}{3}=-\frac{4}{9}\times \frac{3}{8}=-\frac{12}{72}=-\frac{1}{6}$.
3. $\frac{5}{12}÷\left(-\frac{5}{6}\right)=\frac{5}{12}\times \left(-\frac{6}{5}\right)=-\frac{30}{60}=-\frac{1}{2}$.
4. Le quotient de deux négatifs est positif : $\frac{7}{10}\times \frac{5}{21}=\frac{35}{210}=\frac{1}{6}$.

À retenir : On garde le premier nombre et on multiplie par l’inverse du second, qui doit être non nul.

1. $6÷\frac{3}{4}=6\times \frac{4}{3}=\frac{24}{3}=8$. Vérification : $8\times \frac{3}{4}=6$.
2. Diviser par 3, c’est multiplier par $\frac{1}{3}$ : $\frac{9}{5}\times \frac{1}{3}=\frac{9}{15}=\frac{3}{5}$. Vérification : $\frac{3}{5}\times 3=\frac{9}{5}$.
3. $-8÷\frac{2}{3}=-8\times \frac{3}{2}=-\frac{24}{2}=-12$. Vérification : $-12\times \frac{2}{3}=-8$.
4. Le quotient de deux négatifs est positif : $\frac{15}{4}\times \frac{1}{5}=\frac{15}{20}=\frac{3}{4}$. Vérification : $\frac{3}{4}\times (-5)=-\frac{15}{4}$.

À retenir : L’inverse d’un entier $n$ non nul est $\frac{1}{n}$ ; le quotient multiplié par le diviseur redonne le premier nombre.

1. $\frac{3}{4}÷\frac{5}{8}=\frac{3}{4}\times \frac{8}{5}=\frac{24}{20}=\frac{6}{5}$.
2. $-\frac{2}{9}÷\frac{4}{3}=-\frac{2}{9}\times \frac{3}{4}=-\frac{6}{36}=-\frac{1}{6}$.
3. $6÷\frac{3}{7}=6\times \frac{7}{3}=\frac{42}{3}=14$.

À retenir : La barre principale d’une fraction à étages est une division : le nombre du bas est le diviseur.

1. De gauche à droite : $\frac{2}{3}÷\frac{4}{5}=\frac{2}{3}\times \frac{5}{4}=\frac{5}{6}$, puis $A=\frac{5}{6}÷\frac{5}{3}=\frac{5}{6}\times \frac{3}{5}=\frac{1}{2}$.
2. $\frac{3}{8}\times \frac{4}{9}=\frac{1}{6}$, puis $B=\frac{1}{6}÷\frac{2}{3}=\frac{1}{6}\times \frac{3}{2}=\frac{1}{4}$.
3. La parenthèse d’abord : $\frac{3}{4}÷\frac{9}{10}=\frac{3}{4}\times \frac{10}{9}=\frac{5}{6}$. Puis $C=\frac{5}{2}÷\frac{5}{6}=\frac{5}{2}\times \frac{6}{5}=3$.

À retenir : Produits et quotients ont la même priorité : sans parenthèses, on les calcule de gauche à droite.

1. Salim a inversé le premier nombre au lieu du diviseur : $\frac{3}{4}÷\frac{2}{5}=\frac{3}{4}\times \frac{5}{2}=\frac{15}{8}$.
2. Aya a gardé le dénominateur comme dans une addition : $\frac{2}{7}\times \frac{3}{7}=\frac{6}{49}$.
3. On ne simplifie que des facteurs, jamais les termes d’une somme : $\frac{5+4}{4}=\frac{9}{4}$.

À retenir : Avant de calculer, on nomme l’opération : chaque opération sur les fractions a sa propre méthode.

1. On cherche combien de fois $\frac{3}{8}$ est contenu dans $\frac{21}{4}$ : c’est le quotient $\frac{21}{4}÷\frac{3}{8}$.
2. $\frac{21}{4}÷\frac{3}{8}=\frac{21}{4}\times \frac{8}{3}=\frac{168}{12}=14$ : elle obtient 14 morceaux.
3. $14\times \frac{3}{8}=\frac{42}{8}=\frac{21}{4}$ : on retrouve la longueur du ruban.

À retenir : Chercher combien de fois une quantité est contenue dans une autre, c’est diviser.

1. On prépare 4 parts au lieu de 6 : on multiplie par $\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$.
2. $\frac{3}{4}\times \frac{2}{3}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$ : il faut un demi-litre de lait.
3. $\frac{2}{5}\times \frac{2}{3}=\frac{4}{15}$ : il faut $\frac{4}{15}$ kg de farine.

À retenir : Multiplier par une fraction positive inférieure à 1 diminue une quantité positive.

1. De gauche à droite : $-\frac{2}{3}\times \frac{9}{4}=-\frac{18}{12}=-\frac{3}{2}$, puis $H=-\frac{3}{2}\times \left(-\frac{8}{3}\right)=\frac{24}{6}=4$.
2. L’autre nombre est le quotient $-\frac{7}{12}÷\frac{14}{9}=-\frac{7}{12}\times \frac{9}{14}=-\frac{63}{168}=-\frac{3}{8}$.
3. Plus grand : $5÷\frac{1}{4}=5\times 4=20$. Diviser par un quart revient à multiplier par 4, car il y a vingt quarts dans 5 unités.

À retenir : Pour retrouver un facteur d’un produit, on divise le produit par l’autre facteur.