Trigonométrie 3AC : exercices corrigés

1. L’hypoténuse est [FG], le côté opposé à l’angle droit.
2. Pour $\hat{F}$ : le côté opposé est [EG], en face de F ; le côté adjacent est [EF], qui touche F sans être l’hypoténuse.
3. Pour $\hat{G}$ : les rôles s’échangent, le côté opposé est [EF] et le côté adjacent est [EG].

À retenir : Les côtés opposé et adjacent dépendent de l’angle choisi ; l’hypoténuse, elle, ne change pas.

1. $\cos \hat{B}=\frac{AB}{BC}=\frac{8}{17}$ : côté adjacent sur hypoténuse.
2. $\sin \hat{B}=\frac{AC}{BC}=\frac{15}{17}$ : côté opposé sur hypoténuse.
3. $\tan \hat{B}=\frac{AC}{AB}=\frac{15}{8}$ : côté opposé sur côté adjacent.
4. Pour $\hat{C}$, le côté adjacent est [AC] : $\cos \hat{C}=\frac{AC}{BC}=\frac{15}{17}$. On retrouve $\sin \hat{B}$, car les angles $\hat{B}$ et $\hat{C}$ sont complémentaires.

À retenir : Cosinus : adjacent sur hypoténuse. Sinus : opposé sur hypoténuse. Tangente : opposé sur adjacent.

1. $\cos 35^{\circ }\approx 0,82$.
2. $\sin 72^{\circ }\approx 0,95$.
3. $\tan 50^{\circ }\approx 1,19$ : une tangente peut dépasser 1.
4. $\sin 30^{\circ }=0,5$ : c’est une valeur exacte, à connaître.

À retenir : Le cosinus et le sinus d’un angle aigu sont compris entre 0 et 1 ; la tangente peut dépasser 1.

1. [AB] est le côté adjacent à $\hat{B}$ et [BC] est l’hypoténuse : $\cos \hat{B}=\frac{AB}{BC}$.
2. $AB=BC\times \cos \hat{B}$, et $10\times \cos 42^{\circ }\approx 7,4$ : $AB$ mesure environ $7,4$ cm.
3. $\sin \hat{B}=\frac{AC}{BC}$, donc $AC=BC\times \sin \hat{B}$, et $10\times \sin 42^{\circ }\approx 6,7$ : $AC$ mesure environ $6,7$ cm.

À retenir : Quand l’inconnue est au numérateur, on multiplie l’hypoténuse par le cosinus ou par le sinus.

1. [DF] est le côté opposé à $\hat{E}$ et [DE] le côté adjacent : $\tan \hat{E}=\frac{DF}{DE}$.
2. $DF=DE\times \tan \hat{E}$, et $6\times \tan 55^{\circ }\approx 8,6$ : $DF$ mesure environ $8,6$ cm.
3. Les angles aigus d’un triangle rectangle sont complémentaires : $\hat{F}=90^{\circ }-55^{\circ }=35^{\circ }$.

À retenir : La tangente relie les deux côtés de l’angle droit : elle évite de passer par l’hypoténuse.

1. Le cosinus : il relie le côté adjacent et l’hypoténuse.
2. La tangente : elle relie le côté opposé et le côté adjacent.
3. Le sinus : il relie le côté opposé et l’hypoténuse.

À retenir : On repère les deux côtés en jeu, celui que l’on connaît et celui que l’on cherche, puis on choisit le rapport qui les relie.

1. [RS] est le côté adjacent à $\hat{S}$ et [ST] est l’hypoténuse : $\cos \hat{S}=\frac{RS}{ST}$.
2. $ST=\frac{RS}{\cos \hat{S}}$, et $\frac{9}{\cos 25^{\circ }}\approx 9,9$ : $ST$ mesure environ $9,9$ cm. L’hypoténuse est bien plus longue que [RS].
3. $\tan \hat{S}=\frac{RT}{RS}$, donc $RT=RS\times \tan \hat{S}$, et $9\times \tan 25^{\circ }\approx 4,2$ : $RT$ mesure environ $4,2$ cm.

À retenir : Quand l’inconnue est au dénominateur, on divise : l’hypoténuse est le côté adjacent divisé par le cosinus.

1. On connaît le côté adjacent et l’hypoténuse : $\cos \hat{B}=\frac{AB}{BC}=\frac{4}{7}$. La calculatrice donne $\hat{B}\approx 55^{\circ }$.
2. On connaît le côté opposé et l’hypoténuse : $\sin \hat{B}=\frac{AC}{BC}=\frac{5}{8}$, donc $\hat{B}\approx 39^{\circ }$.
3. On connaît les deux côtés de l’angle droit : $\tan \hat{B}=\frac{AC}{AB}=\frac{9}{6}=1,5$, donc $\hat{B}\approx 56^{\circ }$.

À retenir : Pour retrouver un angle, on calcule d’abord le rapport, puis on utilise la touche inverse de la calculatrice.

1. D’après le théorème de Pythagore, $N{P}^2=5^2+12^2=25+144=169$, donc $NP=13$ cm.
2. $\tan \hat{N}=\frac{MP}{MN}=\frac{12}{5}=2,4$, donc $\hat{N}\approx 67^{\circ }$.
3. Les angles aigus sont complémentaires : $\hat{P}\approx 90^{\circ }-67^{\circ }=23^{\circ }$.

À retenir : Dans un triangle rectangle, le théorème de Pythagore donne les longueurs et la trigonométrie donne les angles.

1. $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$, donc le côté opposé mesure $12\times \frac{1}{2}=6$ cm.
2. $\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$, donc le côté adjacent mesure $12\times \frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}$ cm.
3. $\cos 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$, donc l’hypoténuse mesure $5÷\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{10}{\sqrt{2}}=5\sqrt{2}$ cm.

À retenir : Les valeurs exactes pour $30^{\circ }$, $45^{\circ }$ et $60^{\circ }$ évitent la calculatrice et gardent les racines carrées.

1. ${\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha =1$, donc ${\cos }^2\alpha =1-{\left(\frac{20}{29}\right)}^2=1-\frac{400}{841}=\frac{441}{841}$.
2. $\alpha$ est aigu, donc $\cos \alpha$ est positif : $\cos \alpha =\sqrt{\frac{441}{841}}=\frac{21}{29}$.
3. $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{20}{29}÷\frac{21}{29}=\frac{20}{29}\times \frac{29}{21}=\frac{20}{21}$.

À retenir : Pour tout angle aigu $\alpha$ : ${\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha =1$ et $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$.

1. Les angles de $20^{\circ }$ et de $70^{\circ }$ sont complémentaires : $\sin 70^{\circ }=\cos 20^{\circ }\approx 0,94$.
2. $90^{\circ }-35^{\circ }=55^{\circ }$, donc $\sin 35^{\circ }=\cos 55^{\circ }$.
3. La relation ${\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha =1$ vaut pour tout angle aigu : la somme vaut 1.
4. $\tan 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{3}$ et $\tan 60^{\circ }=\sqrt{3}$, donc le produit vaut $\frac{\sqrt{3}}{3}\times \sqrt{3}=\frac{3}{3}=1$.

À retenir : Le sinus d’un angle aigu est égal au cosinus de son complémentaire.

1. La distance horizontale est le côté adjacent à l’angle et la hauteur cherchée est le côté opposé : on utilise la tangente.
2. La hauteur est le produit de la distance par la tangente de l’angle : $150\times \tan 28^{\circ }\approx 79,8$, soit environ $79,8$ m.
3. On ajoute la hauteur de l’œil : $79,8+2=81,8$ m.

À retenir : On repère le triangle rectangle, on nomme l’angle, puis on choisit le rapport qui relie le côté connu au côté cherché.

1. La hauteur est le côté opposé à $\alpha$ et la rampe est l’hypoténuse : $\sin \alpha =\frac{0,5}{6}=\frac{1}{12}$.
2. La calculatrice donne $\alpha \approx 5^{\circ }$.
3. Il faut $\sin 3^{\circ }=\frac{0,5}{L}$, soit $L=\frac{0,5}{\sin 3^{\circ }}$. Comme $\frac{0,5}{\sin 3^{\circ }}\approx 9,55$, la rampe doit mesurer environ $9,55$ m.

À retenir : Plus l’angle est petit, plus la rampe doit être longue pour franchir la même hauteur.

1. ABH est rectangle en H. $\widehat{ABH}=60^{\circ }$, angle du triangle équilatéral, et $\widehat{BAH}=90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ }$.
2. $\sin 60^{\circ }=\frac{AH}{AB}$, donc $AH=6\times \sin 60^{\circ }=6\times \frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$ cm.
3. H est le milieu de [BC], donc $BH=3$ cm. $A{H}^2=A{B}^2-B{H}^2=6^2-3^2=36-9=27$, donc $AH=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$ cm.
4. L’aire vaut $\frac{BC\times AH}{2}=\frac{6\times 3\sqrt{3}}{2}=9\sqrt{3}$ cm².

À retenir : Une valeur exacte trouvée par deux méthodes différentes est un excellent contrôle.