Est-il vrai que √(x²) = x ?

Non, seulement lorsque x est positif. En toute généralité √(x²) = |x|, car une racine carrée est toujours positive. Par exemple √((-4)²) = √(16) = 4, et non -4.

L'ordre dans ℝ

Q: Comment comparer deux nombres réels ?

On étudie le signe de leur différence. Si a - b > 0 alors a > b ; si a - b < 0 alors a < b ; et si a - b = 0 alors a = b. Cette méthode fonctionne même quand les deux expressions contiennent des racines ou des fractions.

Q: Pourquoi le sens d'une inégalité change-t-il quand on multiplie par un nombre négatif ?

Parce que multiplier par un nombre négatif revient à symétriser les positions sur la droite numérique par rapport à zéro : ce qui était à gauche passe à droite. Ainsi 2 -5.

Q: Peut-on soustraire deux inégalités membre à membre ?

Non, jamais. Pour encadrer une différence x - y, il faut d'abord encadrer -y en inversant le sens de l'encadrement de y, puis additionner les deux encadrements obtenus.

Q: Que représente la valeur absolue |x - a| ?

Elle représente la distance entre les nombres x et a sur la droite numérique. C'est pourquoi |x - a| ≤ r signifie que x se trouve à une distance au plus r de a, soit x ∈ [a - r ; a + r].

Comparer deux nombres réels $a$ et $b$ , c'est étudier le signe de leur différence $a - b$ . Toutes les règles de ce chapitre découlent de ce seul principe : les propriétés des inégalités, l'encadrement, la valeur absolue et la notation par intervalles.

Mis à jour le 14 août 2026

L'ordre dans ℝ se lit sur la droite numérique : a ≤ b signifie que a est situé à gauche de b. Tronc commun sciences, semestre 1.

À la fin de ce chapitre, vous saurez

Comparer deux nombres réels en étudiant le signe de leur différence
Appliquer correctement les règles opératoires sur les inégalités
Encadrer une somme, un produit ou un quotient
Interpréter la valeur absolue comme une distance et résoudre $∣ x - a ∣ \leq r$
Passer de l'écriture par inégalité à l'écriture par intervalle

PrérequisLes ensembles de nombres ℕ, ℤ, 𝔻, ℚ et ℝ · Le calcul sur les racines carrées et les identités remarquables · La résolution d'une inéquation du premier degré

Comparer deux nombres réels

Définition

Ordre dans ℝ : Soient $a$ et $b$ deux nombres réels. On dit que $a \leq b$ lorsque $b - a$ est positif ou nul. Comparer $a$ et $b$ revient donc toujours à étudier le signe de la différence $a - b$ .

Méthode

Comparer par différence

Former la différence $a - b$ .
La transformer : réduire au même dénominateur, factoriser, utiliser une identité remarquable.
Déterminer son signe.
Conclure : si $a - b > 0$ alors $a > b$  ; si $a - b < 0$ alors $a < b$ .

Exemple

Comparer $A = \frac{x}{x + 1}$ et $B = \frac{x + 1}{x + 2}$ pour $x > 0$ .

$A - B = \frac{x (x + 2) - (x + 1)^{2}}{(x + 1) (x + 2)}$ .
Le numérateur vaut $x^{2} + 2 x - (x^{2} + 2 x + 1) = - 1$ .
Comme $x > 0$ , le dénominateur $(x + 1) (x + 2)$ est strictement positif.
Donc $A - B = \frac{- 1}{(x + 1) (x + 2)} < 0$ , c'est-à-dire $A < B$ .

L'ordre dans ℝ se lit sur la droite numérique : a ≤ b signifie que a est situé à gauche de b. Tronc commun sciences, semestre 1.

Les règles opératoires

Propriété

Addition

Si $a \leq b$ , alors pour tout réel $c$ : $a + c \leq b + c$ . On peut donc ajouter un même nombre aux deux membres sans changer le sens de l'inégalité.

Propriété

Multiplication

Si $a \leq b$ et $c > 0$ , alors $a c \leq b c$ . Mais si $c < 0$ , alors $a c \geq b c$ : multiplier par un nombre négatif inverse le sens de l'inégalité.

Attention

L'oubli du changement de sens lors d'une multiplication ou d'une division par un nombre négatif est l'erreur la plus coûteuse du chapitre. Elle invalide toute la suite d'un exercice d'inéquation.

Propriété

Somme d'inégalités

Si $a \leq b$ et $c \leq d$ , alors $a + c \leq b + d$ . On peut additionner deux inégalités de même sens.

Attention

En revanche, on ne soustrait jamais deux inégalités membre à membre : de $a \leq b$ et $c \leq d$ on ne peut rien conclure sur $a - c$ et $b - d$ .

Propriété

Passage à l'inverse et au carré

Si $0 < a \leq b$ , alors $\frac{1}{b} \leq \frac{1}{a}$ : passer à l'inverse inverse le sens, pour des nombres strictement positifs. Et si $0 \leq a \leq b$ , alors $a^{2} \leq b^{2}$ et $\sqrt{a} \leq \sqrt{b}$ .

Encadrement

Définition

Encadrer : Encadrer un réel $x$ , c'est trouver deux réels $m$ et $M$ tels que $m \leq x \leq M$ . Le nombre $M - m$ est l'amplitude de l'encadrement.

Propriété

Encadrement d'une somme et d'un produit

Si $a \leq x \leq b$ et $c \leq y \leq d$ , alors $a + c \leq x + y \leq b + d$ . Si de plus tous ces nombres sont positifs, alors $a c \leq x y \leq b d$ .

Encadrer une différence

Sachant que $2 \leq x \leq 5$ et $1 \leq y \leq 3$ , encadrer $x - y$ .

On ne soustrait pas les encadrements. On encadre d'abord $- y$ : de $1 \leq y \leq 3$ on tire $- 3 \leq - y \leq - 1$ .
On additionne alors les deux encadrements de $x$ et de $- y$ :
$2 + (- 3) \leq x - y \leq 5 + (- 1)$ , soit $- 1 \leq x - y \leq 4$ .

La valeur absolue

Définition

Valeur absolue : La valeur absolue d'un réel $x$ , notée $∣ x ∣$ , vaut $x$ si $x \geq 0$ et $- x$ si $x < 0$ . Géométriquement, $∣ x ∣$ est la distance de $x$ à $0$ sur la droite numérique.

∣ x - a ∣ = distance entre x et a

L'interprétation qui rend tous les exercices de valeur absolue immédiats.

Propriété

Propriétés essentielles

Pour tous réels $x$ et $y$ : $∣ x ∣ \geq 0$  ; $∣ x ∣ = 0 ⟺ x = 0$  ; $∣ x y ∣ = ∣ x ∣ \times ∣ y ∣$  ; $\sqrt{x^{2}} = ∣ x ∣$  ; et l'inégalité triangulaire $∣ x + y ∣ \leq ∣ x ∣ + ∣ y ∣$ .

Propriété

Résoudre une inéquation avec valeur absolue

Pour $r > 0$ : $∣ x - a ∣ \leq r ⟺ a - r \leq x \leq a + r$ . Autrement dit, $x$ appartient à l'intervalle de centre $a$ et de rayon $r$ .

Exemple

Résoudre $∣ x - 3 ∣ \leq 2$ , puis $∣ 2 x + 1 ∣ > 5$ .

$∣ x - 3 ∣ \leq 2$ signifie que la distance de $x$ à $3$ est au plus $2$ : $1 \leq x \leq 5$ , soit $x \in [1; 5]$ .
$∣ 2 x + 1 ∣ > 5$ équivaut à $2 x + 1 > 5$ ou $2 x + 1 < - 5$ .
Premier cas : $2 x > 4$ , donc $x > 2$ . Second cas : $2 x < - 6$ , donc $x < - 3$ .
L'ensemble des solutions est $] - \infty; - 3 [\cup] 2; + \infty [$ .

Les intervalles de ℝ

Inégalité	Intervalle	Lecture
$a \leq x \leq b$	$[a; b]$	fermé, bornes comprises
$a < x < b$	$] a; b [$	ouvert, bornes exclues
$a \leq x < b$	$[a; b [$	semi-ouvert à droite
$x \geq a$	$[a; + \infty [$	non borné à droite
$x < b$	$] - \infty; b [$	non borné à gauche

Les cinq écritures à savoir traduire dans les deux sens. Les symboles

+ \infty

- \infty

ne sont jamais des bornes fermées.

Définition

Centre et rayon d'un intervalle : L'intervalle $[a; b]$ a pour centre $\frac{a + b}{2}$ et pour rayon $\frac{b - a}{2}$ . Il s'écrit alors $∣ x - \frac{a + b}{2} ∣ \leq \frac{b - a}{2}$ .

Questions fréquentes

Comment comparer deux nombres réels ?

On étudie le signe de leur différence. Si

a - b > 0

alors

a > b

 ; si

a - b < 0

alors

a < b

 ; et si

a - b = 0

alors

a = b

. Cette méthode fonctionne même quand les deux expressions contiennent des racines ou des fractions.

Pourquoi le sens d'une inégalité change-t-il quand on multiplie par un nombre négatif ?

Parce que multiplier par un nombre négatif revient à symétriser les positions sur la droite numérique par rapport à zéro : ce qui était à gauche passe à droite. Ainsi

2 < 5

, mais

- 2 > - 5

Peut-on soustraire deux inégalités membre à membre ?

Non, jamais. Pour encadrer une différence

x - y

, il faut d'abord encadrer

- y

en inversant le sens de l'encadrement de

y

, puis additionner les deux encadrements obtenus.

Que représente la valeur absolue $∣ x - a ∣$  ?

Elle représente la distance entre les nombres

x

a

sur la droite numérique. C'est pourquoi

∣ x - a ∣ \leq r

signifie que

x

se trouve à une distance au plus

r

a

, soit

x \in [a - r; a + r]

Est-il vrai que $\sqrt{x^{2}} = x$  ?

Non, seulement lorsque

x

est positif. En toute généralité

\sqrt{x^{2}} = ∣ x ∣

, car une racine carrée est toujours positive. Par exemple

\sqrt{(- 4)^{2}} = \sqrt{16} = 4

, et non

- 4

Exercices corrigés

4 exercices classés du plus simple au plus difficile. Cherchez d'abord seul, puis révélez la correction rédigée étape par étape.

Exercice 1

Facile

Comparer, pour tout réel $x$ , les nombres $A = (x + 3)^{2}$ et $B = x^{2} + 6 x + 8$ .

Correction

On forme la différence et on développe :

A - B = (x + 3)^{2} - (x^{2} + 6 x + 8) = x^{2} + 6 x + 9 - x^{2} - 6 x - 8 = 1

La différence vaut $1$ , qui est strictement positif quel que soit $x$ . Donc $A > B$ pour tout réel $x$ .

Exercice 2

Moyen

On sait que $3 \leq x \leq 4$ et $1 \leq y \leq 2$ . Encadrer successivement $x + y$ , $x y$ puis $\frac{x}{y}$ .

Correction

Somme. On additionne les deux encadrements : $3 + 1 \leq x + y \leq 4 + 2$ , soit $4 \leq x + y \leq 6$ .

Produit. Tous les nombres sont positifs, on peut multiplier les encadrements : $3 \times 1 \leq x y \leq 4 \times 2$ , soit $3 \leq x y \leq 8$ .

Quotient. On encadre d'abord $\frac{1}{y}$ . Comme $1 \leq y \leq 2$ avec $y > 0$ , le passage à l'inverse inverse le sens : $\frac{1}{2} \leq \frac{1}{y} \leq 1$ .

3 \times \frac{1}{2} \leq x \times \frac{1}{y} \leq 4 \times 1 soit 1,5 \leq \frac{x}{y} \leq 4

Exercice 3

Moyen

Résoudre dans ℝ, puis écrire l'ensemble des solutions sous forme d'intervalles : a. $∣ x + 2 ∣ \leq 3$  ; b. $∣ 3 x - 1 ∣ \geq 4$ .

Correction

a. $∣ x + 2 ∣ \leq 3$ s'écrit $∣ x - (- 2) ∣ \leq 3$ : la distance de $x$ à $- 2$ est au plus $3$ .

Donc $- 2 - 3 \leq x \leq - 2 + 3$ , soit $- 5 \leq x \leq 1$ . L'ensemble des solutions est $S = [- 5; 1]$ .

b. $∣ 3 x - 1 ∣ \geq 4$ équivaut à $3 x - 1 \geq 4$ ou $3 x - 1 \leq - 4$ .

Premier cas : $3 x \geq 5$ , donc $x \geq \frac{5}{3}$ . Second cas : $3 x \leq - 3$ , donc $x \leq - 1$ .

S =] - \infty; - 1] \cup [\frac{5}{3}; + \infty [

Exercice 4

Difficile

On sait que $1,41 \leq \sqrt{2} \leq 1,42$ et $1,73 \leq \sqrt{3} \leq 1,74$ .

Encadrer $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ et donner l'amplitude de cet encadrement.
Encadrer $\sqrt{3} - \sqrt{2}$ .
Écrire l'encadrement de la question 1 à l'aide d'une valeur absolue.

Correction

1. On additionne les deux encadrements, qui sont de même sens :

1,41 + 1,73 \leq \sqrt{2} + \sqrt{3} \leq 1,42 + 1,74 soit 3,14 \leq \sqrt{2} + \sqrt{3} \leq 3,16

L'amplitude vaut $3,16 - 3,14 = 0,02$ .

2. On encadre d'abord $- \sqrt{2}$ : de $1,41 \leq \sqrt{2} \leq 1,42$ on tire $- 1,42 \leq - \sqrt{2} \leq - 1,41$ .

En additionnant avec l'encadrement de $\sqrt{3}$ : $1,73 - 1,42 \leq \sqrt{3} - \sqrt{2} \leq 1,74 - 1,41$ , soit $0,31 \leq \sqrt{3} - \sqrt{2} \leq 0,33$ .

3. L'intervalle $[3,14; 3,16]$ a pour centre $\frac{3,14 + 3,16}{2} = 3,15$ et pour rayon $\frac{0,02}{2} = 0,01$ .

∣ \sqrt{2} + \sqrt{3} - 3,15 ∣ \leq 0,01

À la fin de ce chapitre, vous saurez

Comparer deux nombres réels

Les règles opératoires

Encadrement

La valeur absolue

Les intervalles de ℝ

Questions fréquentes

Comment comparer deux nombres réels ?

Pourquoi le sens d'une inégalité change-t-il quand on multiplie par un nombre négatif ?

Peut-on soustraire deux inégalités membre à membre ?

Que représente la valeur absolue ∣x−a∣∣x−a∣ ?

Est-il vrai que x2=xx2​=x ?

Exercices corrigés

Comment comparer deux nombres réels ?

Pourquoi le sens d'une inégalité change-t-il quand on multiplie par un nombre négatif ?

Peut-on soustraire deux inégalités membre à membre ?

Que représente la valeur absolue $∣ x - a ∣$  ?

Est-il vrai que $\sqrt{x^{2}} = x$  ?