L'ordre dans ℝ

Méthode

Comparer par différence

1. Former la différence $a-b$.
2. La transformer : réduire au même dénominateur, factoriser, utiliser une identité remarquable.
3. Déterminer son signe.
4. Conclure : si $a-b>0$ alors $a>b$ ; si $a-b<0$ alors $a<b$.

Exemple

Comparer $A=\frac{x}{x+1}$ et $B=\frac{x+1}{x+2}$ pour $x>0$.

1. $A-B=\frac{x(x+2)-(x+1{)}^2}{(x+1)(x+2)}$.
2. Le numérateur vaut $x^2+2x-(x^2+2x+1)=-1$.
3. Comme $x>0$, le dénominateur $(x+1)(x+2)$ est strictement positif.
4. Donc $A-B=\frac{-1}{(x+1)(x+2)}<0$, c'est-à-dire $A<B$.

Propriété

Addition

Si $a\le b$, alors pour tout réel $c$ : $a+c\le b+c$. On peut donc ajouter un même nombre aux deux membres sans changer le sens de l'inégalité.

Propriété

Multiplication

Si $a\le b$ et $c>0$, alors $ac\le bc$. Mais si $c<0$, alors $ac\ge bc$ : multiplier par un nombre négatif inverse le sens de l'inégalité.

Propriété

Somme d'inégalités

Si $a\le b$ et $c\le d$, alors $a+c\le b+d$. On peut additionner deux inégalités de même sens.

Propriété

Passage à l'inverse et au carré

Si $0<a\le b$, alors $\frac{1}{b}\le \frac{1}{a}$ : passer à l'inverse inverse le sens, pour des nombres strictement positifs. Et si $0\le a\le b$, alors $a^2\le b^2$ et $\sqrt{a}\le \sqrt{b}$.

Propriété

Encadrement d'une somme et d'un produit

Si $a\le x\le b$ et $c\le y\le d$, alors $a+c\le x+y\le b+d$. Si de plus tous ces nombres sont positifs, alors $ac\le xy\le bd$.

Encadrer une différence

Sachant que $2\le x\le 5$ et $1\le y\le 3$, encadrer $x-y$.

1. On ne soustrait pas les encadrements. On encadre d'abord $-y$ : de $1\le y\le 3$ on tire $-3\le -y\le -1$.
2. On additionne alors les deux encadrements de $x$ et de $-y$ :
3. $2+(-3)\le x-y\le 5+(-1)$, soit $-1\le x-y\le 4$.

Propriété

Propriétés essentielles

Pour tous réels $x$ et $y$ : $|x|\ge 0$ ; $|x|=0⟺x=0$ ; $|xy|=|x|\times |y|$ ; $\sqrt{x^2}=|x|$ ; et l'inégalité triangulaire $|x+y|\le |x|+|y|$.

Propriété

Résoudre une inéquation avec valeur absolue

Pour $r>0$ : $|x-a|\le r⟺a-r\le x\le a+r$. Autrement dit, $x$ appartient à l'intervalle de centre $a$ et de rayon $r$.

Exemple

Résoudre $|x-3|\le 2$, puis $|2x+1|>5$.

1. $|x-3|\le 2$ signifie que la distance de $x$ à $3$ est au plus $2$ : $1\le x\le 5$, soit $x\in [1;5]$.
2. $|2x+1|>5$ équivaut à $2x+1>5$ ou $2x+1<-5$.
3. Premier cas : $2x>4$, donc $x>2$. Second cas : $2x<-6$, donc $x<-3$.
4. L'ensemble des solutions est $\left]-\infty ;-3\right[\cup \left]2;+\infty \right[$.