Calculer et construire

Utilise les identités remarquables. Chaque question vaut 2 points.

1. Développe et réduis $A=(2x+1{)}^2$.2 pts

   L’identité $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$ donne $A=(2x{)}^2+2\times 2x\times 1+1^2$.

   $A=4x^2+4x+1$.

2. Factorise $B=x^2-4$.2 pts

   C’est une différence de deux carrés : $x^2-2^2$.

   $B=(x-2)(x+2)$.

3. Développe et réduis $C=(x-2{)}^2-(x-2)(x+2)$.2 pts

   $(x-2{)}^2=x^2-4x+4$ et $(x-2)(x+2)=x^2-4$.

   $C=x^2-4x+4-x^2+4=-4x+8$.

À retenir : Le carré d’une somme comporte un double produit. Un signe moins devant une expression change tous ses signes.

Écris les étapes. Chaque question vaut 2 points.

1. Écris sous la forme d’une puissance de 2 : $D=\frac{2^2}{2^1}\times 2^3$.2 pts

   Pour un quotient de puissances de même base non nulle, on soustrait les exposants.

   $D=2^{2-1+3}=2^4=16$.

2. Donne l’écriture scientifique de $E=24000\times 10^{-3}$.2 pts

   $E=24$. Le coefficient doit être compris entre 1 inclus et 10 exclu.

   $E=2,4\times 10^1$.

À retenir : Dans l’écriture scientifique, le coefficient est au moins égal à 1 et strictement inférieur à 10.

Donne des résultats exacts simplifiés. Chaque question vaut 2 points.

1. Simplifie $F=\sqrt{12}$.2 pts

   $12=4\times 3$ et les deux facteurs sont positifs.

   $F=\sqrt{4}\sqrt{3}=2\sqrt{3}$.

2. Calcule $G=\sqrt{18}+\sqrt{8}$.2 pts

   Les deux racines se simplifient : $G=3\sqrt{2}+2\sqrt{2}$.

   $G=5\sqrt{2}$.

3. Rationalise le dénominateur de $H=\frac{2}{\sqrt{3}}$.2 pts

   On multiplie numérateur et dénominateur par $\sqrt{3}$, qui n’est pas nul.

   $H=\frac{2\sqrt{3}}{3}$.

À retenir : On extrait les facteurs carrés parfaits et on ne regroupe que des multiples d’une même racine.

Un carré a une aire de $20$ cm². On note $c$ la longueur de son côté.

1. Détermine la valeur exacte de $c$ puis le périmètre du carré.2 pts

   Comme $c$ est une longueur positive, $c=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$ cm.

   Le périmètre est $4c=8\sqrt{5}$ cm.

2. On augmente chaque côté de 1 cm. Donne l’aire exacte du nouveau carré en développant.2 pts

   Le nouveau côté mesure $2\sqrt{5}+1$ cm.

   Son aire vaut $(2\sqrt{5}+1{)}^2=20+4\sqrt{5}+1=21+4\sqrt{5}$ cm².

À retenir : Une longueur est positive. Pour agrandir le carré, développe le carré de la nouvelle longueur, avec son double produit.