Calculer et construire

Utilise les identités remarquables. Chaque question vaut 2 points.

1. Développe et réduis $A=(6x+1{)}^2$.2 pts

   L’identité $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$ donne $A=(6x{)}^2+2\times 6x\times 1+1^2$.

   $A=36x^2+12x+1$.

2. Factorise $B=x^2-36$.2 pts

   C’est une différence de deux carrés : $x^2-6^2$.

   $B=(x-6)(x+6)$.

3. Développe et réduis $C=(x-6{)}^2-(x-6)(x+6)$.2 pts

   $(x-6{)}^2=x^2-12x+36$ et $(x-6)(x+6)=x^2-36$.

   $C=x^2-12x+36-x^2+36=-12x+72$.

À retenir : Le carré d’une somme comporte un double produit. Un signe moins devant une expression change tous ses signes.

Écris les étapes. Chaque question vaut 2 points.

1. Écris sous la forme d’une puissance de 2 : $D=\frac{2^6}{2^5}\times 2^3$.2 pts

   Pour un quotient de puissances de même base non nulle, on soustrait les exposants.

   $D=2^{6-5+3}=2^4=16$.

2. Donne l’écriture scientifique de $E=72000\times 10^{-3}$.2 pts

   $E=72$. Le coefficient doit être compris entre 1 inclus et 10 exclu.

   $E=7,2\times 10^1$.

À retenir : Dans l’écriture scientifique, le coefficient est au moins égal à 1 et strictement inférieur à 10.

Donne des résultats exacts simplifiés. Chaque question vaut 2 points.

1. Simplifie $F=\sqrt{108}$.2 pts

   $108=36\times 3$ et les deux facteurs sont positifs.

   $F=\sqrt{36}\sqrt{3}=6\sqrt{3}$.

2. Calcule $G=\sqrt{98}+\sqrt{72}$.2 pts

   Les deux racines se simplifient : $G=7\sqrt{2}+6\sqrt{2}$.

   $G=13\sqrt{2}$.

3. Rationalise le dénominateur de $H=\frac{6}{\sqrt{3}}$.2 pts

   On multiplie numérateur et dénominateur par $\sqrt{3}$, qui n’est pas nul.

   $H=\frac{6\sqrt{3}}{3}$.

À retenir : On extrait les facteurs carrés parfaits et on ne regroupe que des multiples d’une même racine.

Dans un triangle $ABC$, $M\in [AB]$, $N\in [AC]$ et $(MN)\parallel (BC)$. On donne $AB=12$ cm, $AM=6$ cm, $AC=10$ cm et $BC=8$ cm.

1. Réalise un croquis et écris les trois rapports égaux du théorème de Thalès.2 pts

   Le croquis doit placer $M$ et $N$ sur les deux côtés issus de $A$ et coder le parallélisme.

   Par Thalès, $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$.

2. Détermine les longueurs $AN$ et $MN$ en justifiant les calculs.2 pts

   $AN=\frac{1}{2}\times 10=5$ cm.

   $MN=\frac{1}{2}\times 8=4$ cm. Les côtés homologues sont pris dans le même ordre.

À retenir : Thalès exige ici l’alignement des points sur les côtés et le parallélisme. Adapte ce dernier exercice si Thalès n’a pas encore été traité en classe.