Droites dans le plan 1AC : exercices corrigés

1. (AB) est la droite passant par A et B ; elle est illimitée des deux côtés.
2. [AB] est le segment d’extrémités A et B.
3. [AB) est la demi-droite d’origine A passant par B ; elle est illimitée du côté de B.
4. AB est la longueur du segment [AB] : c’est un nombre, accompagné d’une unité.

À retenir : Une parenthèse indique un côté illimité, un crochet indique une extrémité.

1. On note [CD) : le crochet est du côté de l’origine C.
2. On note $M\in [EF]$.
3. On note $K\notin (AB)$.
4. On note RS = 4,5 cm, sans parenthèses ni crochets.

À retenir : Le symbole $\in$ se lit « appartient à » ; barré, il se lit « n’appartient pas à ».

1. Vrai : B est situé entre A et C.
2. Faux : la demi-droite [BA) part de B et se prolonge du côté de A, alors que C est de l’autre côté de B.
3. Vrai : les trois points sont alignés, ils appartiennent donc à une seule et même droite.
4. Faux : la demi-droite [BC) part de B et se prolonge du côté de C, alors que A est de l’autre côté de B.

À retenir : La demi-droite [BA) part de B et se prolonge du côté de A seulement.

1. Le milieu partage le segment en deux longueurs égales : AI = 7 ÷ 2 = 3,5 cm.
2. CD = 2 × CJ = 2 × 2,8 = 5,6 cm.
3. KF = EF − EK = 6,4 − 3 = 3,4 cm. Comme EK et KF ne sont pas égales, K n’est pas le milieu de [EF].

À retenir : Le milieu d’un segment appartient à ce segment et le partage en deux segments de même longueur.

1. Oui : M appartient au segment et AM = MB. Les deux conditions sont réunies.
2. Non : M est à égale distance de A et de B, mais il n’appartient pas au segment [AB].
3. Oui : M appartient à [AB] et MB = AB − AM = 5 − 2,5 = 2,5 cm, donc AM = MB.

À retenir : Deux conditions sont nécessaires : M appartient au segment [AB] et AM = MB.

1. B est entre A et C : AC = AB + BC = 5 + 3 = 8 cm.
2. C est entre A et B : AC = AB − BC = 5 − 3 = 2 cm.
3. AI = AC ÷ 2 = 8 ÷ 2 = 4 cm. Comme AI est plus petit que AB, le point I est entre A et B : IB = AB − AI = 5 − 4 = 1 cm.

À retenir : Quand un point est situé entre deux autres sur une droite, la longueur totale est la somme des deux longueurs.

1. Elles sont perpendiculaires, donc aussi sécantes.
2. Elles sont parallèles.
3. Elles sont sécantes, mais pas perpendiculaires, car 60° n’est pas un angle droit.
4. Elles sont parallèles : les côtés opposés d’un rectangle sont parallèles.

À retenir : Deux droites perpendiculaires sont des droites sécantes particulières : elles se coupent en formant un angle droit.

1. [AB] et [DC] sont deux côtés opposés : $(AB)\parallel (DC)$.
2. [AB] et [BC] sont deux côtés consécutifs : $(AB)\perp (BC)$.
3. [AD] et [BC] sont deux côtés opposés : $(AD)\parallel (BC)$.
4. [DC] et [AD] sont deux côtés consécutifs : $(DC)\perp (AD)$.

À retenir : Dans un rectangle, les côtés opposés sont parallèles et deux côtés consécutifs sont perpendiculaires.

1. Vrai : elles se coupent en formant un angle droit.
2. Faux : elles peuvent se couper en formant un angle différent de 90°.
3. Faux : une droite est illimitée, les deux droites peuvent se couper plus loin, hors de la feuille.
4. Vrai : c’est ce qui permet de nommer une droite avec deux de ses points.

À retenir : Une droite est illimitée : on ne décide pas d’un parallélisme d’après ce que l’on voit sur la feuille.

1. Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles. Donc $(d_1)\parallel (d_2)$.
2. Si deux droites sont parallèles à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles. Donc $(d_1)\parallel (d_3)$.
3. Si deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre. Donc $(d)\perp (d_2)$.

À retenir : Une démonstration tient en trois temps : ce que l’on sait, la propriété utilisée, la conclusion.

1. (AB) et (DC) sont toutes les deux perpendiculaires à (AD). Or deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles. Donc $(AB)\parallel (DC)$.
2. On sait que $(AB)\parallel (DC)$ et que $(BC)\perp (AB)$. Or une perpendiculaire à l’une de deux parallèles est perpendiculaire à l’autre. Donc $(BC)\perp (DC)$.
3. (AD) et (BC) sont toutes les deux perpendiculaires à (AB) : elles sont parallèles. Le quadrilatère ABCD est donc un rectangle.

À retenir : Le résultat d’une première question devient une donnée pour la question suivante.

1. Un dessin ne prouve rien : les droites sont illimitées et peuvent se couper hors de la feuille. Il faut une donnée ou une propriété.
2. La conclusion est fausse : (d) et (f) sont perpendiculaires à la même droite (e), elles sont donc parallèles.
3. Une droite qui coupe (d) coupe aussi (e), mais elle ne lui est perpendiculaire que si elle est perpendiculaire à (d). Or l’énoncé dit seulement que (f) est sécante à (d).

À retenir : On raisonne à partir des données et des propriétés du cours, jamais à partir de l’apparence d’une figure.

1. On pose un côté de l’angle droit de l’équerre sur (d), on fait glisser l’équerre jusqu’à ce que l’autre côté passe par A, on trace, puis on code l’angle droit.
2. On pose un côté de l’angle droit de l’équerre sur (e), avec le sommet de l’angle droit en A, et on trace le long de l’autre côté.
3. (d) et (f) sont toutes les deux perpendiculaires à (e) : elles sont parallèles. La droite (f) est la parallèle à (d) passant par A.

À retenir : Tracer deux perpendiculaires successives permet de construire une parallèle : c’est la méthode de la double perpendicularité.

1. Elles sont perpendiculaires à la même avenue : elles sont parallèles.
2. Elles sont toutes les deux parallèles à la rue des Oliviers : elles sont parallèles entre elles.
3. Oui. L’avenue est perpendiculaire à la rue des Oliviers, et la rue des Roses est parallèle à la rue des Oliviers. Or une perpendiculaire à l’une de deux parallèles est perpendiculaire à l’autre.

À retenir : On représente chaque rue par une droite, puis on applique les propriétés une à une.

1. $(d_1)$ et $(d_3)$ sont toutes les deux perpendiculaires à $(d_2)$ : elles sont parallèles.
2. $(d_1)\parallel (d_3)$ et $(d_4)\perp (d_3)$ : une perpendiculaire à l’une de deux parallèles est perpendiculaire à l’autre, donc $(d_4)\perp (d_1)$.
3. $(d_3)$ et $(d_5)$ sont perpendiculaires à $(d_4)$ : elles sont parallèles. Comme $(d_1)$ et $(d_5)$ sont toutes les deux parallèles à $(d_3)$, elles sont parallèles entre elles.

À retenir : Dans une chaîne de perpendiculaires, les droites sont alternativement perpendiculaires et parallèles à la première.