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Droites dans le plan : parallélisme et perpendicularité

Une droite se prolonge sans limite dans les deux sens. Un segment possède deux extrémités et une demi-droite une origine. Dans le plan, deux droites distinctes sont parallèles si elles ne se coupent pas ; elles sont perpendiculaires si elles se coupent en formant un angle droit.

Conforme au programme officiel du Ministère de l'Éducation Nationale (2025-2026) · Mis à jour le

À la fin de ce chapitre, vous saurez

  • Utiliser les notations géométriques
  • Reconnaître des points alignés et un milieu
  • Distinguer droites parallèles et perpendiculaires
  • Construire avec règle et équerre
  • Justifier un parallélisme avec une propriété

PrérequisUtilisation de la règle graduée · Reconnaissance d’un angle droit · Mesure d’une longueur

Droite, segment ou demi-droite ?

Sur le cahier, tout trait a une longueur finie. Pourtant, le dessin peut représenter une droite qui continue au-delà de la page. C’est la notation qui indique l’objet mathématique. Prends donc l’habitude de lire les crochets et les parenthèses avant de mesurer ou de tracer.

NotationObjetCe qu’il faut retenir
(AB)Droite passant par A et BIllimitée dans les deux sens
[AB]Segment d’extrémités A et BPossède une longueur
[AB)Demi-droite d’origine A passant par BIllimitée au-delà de B
ABLongueur du segment [AB]Un nombre accompagné d’une unité

Définition

Points alignés : Des points sont alignés lorsqu’ils appartiennent à une même droite. Par deux points distincts A et B passe une seule droite : la droite (AB).

Lire une appartenance

Que signifie  ?

  1. Le symbole signifie que M appartient à la droite passant par A et B.
  2. Cela ne garantit pas que M soit entre A et B : M peut se situer sur le prolongement du segment.

Repérer le milieu d’un segment

Définition

Milieu : Le milieu M d’un segment [AB] appartient à ce segment et vérifie AM = MB. Ces deux conditions sont nécessaires.

Méthode

Construire un milieu à la règle graduée

  1. Mesure AB.
  2. Calcule la moitié de cette longueur.
  3. Place M sur [AB] à cette distance de A.
  4. Vérifie que AM et MB sont égales.

Partager 7 cm

Construire le milieu de [AB] de longueur 7 cm.

  1. .
  2. Place M à 3,5 cm de A sur [AB]. On obtient AM = MB = 3,5 cm.

Attention

Un point à égale distance de A et B n’est pas forcément le milieu : il doit aussi appartenir au segment [AB]. Cette différence deviendra utile avec la médiatrice.

Reconnaître les positions de deux droites

Deux droites parallèles sont comparées à deux droites perpendiculaires avec un angle droit codé.
Deux droites perpendiculaires se coupent en formant quatre angles droits.

Définition

Droites sécantes : Deux droites sécantes possèdent un unique point commun, appelé point d’intersection.

Définition

Droites parallèles : Deux droites distinctes sont parallèles lorsqu’elles n’ont aucun point commun, même en les prolongeant. On note . Des droites confondues représentent une seule et même droite.

Définition

Droites perpendiculaires : Deux droites sont perpendiculaires lorsqu’elles se coupent en formant un angle droit. Elles forment alors quatre angles droits. On note .

Toute paire de droites perpendiculaires est sécante. L’inverse est faux : des droites peuvent se croiser sans former d’angle droit. Le petit carré placé au croisement code une perpendicularité connue.

Construire une perpendiculaire

Méthode

Avec la règle et l’équerre

  1. Pose un côté de l’angle droit de l’équerre sur la droite donnée.
  2. Fais glisser l’équerre jusqu’à ce que son autre côté passe par le point choisi.
  3. Trace la droite le long de ce deuxième côté.
  4. Prolonge avec la règle si nécessaire et code l’angle droit.

Le point peut appartenir à la droite ou être situé à l’extérieur. Dans les deux cas, une seule perpendiculaire à cette droite passe par ce point. Évite d’utiliser le grand côté oblique de l’équerre comme s’il formait l’angle droit.

Construire une parallèle

Méthode

La double perpendicularité

  1. Par un point de la droite (d), trace une perpendiculaire (e) à (d).
  2. Par le point A demandé, trace une perpendiculaire (f) à (e).
  3. La droite (f) obtenue est parallèle à (d).

Propriété

Deux perpendiculaires à une même droite

Dans le plan, si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles.

On peut aussi faire glisser l’équerre le long d’une règle maintenue immobile. Le bord garde sa direction et permet de tracer une parallèle passant par A. Dans tous les cas, vérifie que la droite finale passe réellement par le point demandé.

Deux angles droits donnent des parallèlesDeux droites horizontales d et e coupent une même droite verticale r à angle droit.{"title":"Deux angles droits donnent des parallèles","description":"Deux droites horizontales d et e coupent une même droite verticale r à angle droit.","keywords":["mathématiques 1AC","semestre 1","droites parallèles","double perpendicularité"],"language":"fr","creator":"MATHFJIB"}(e)(d)(r)
Deux angles droits donnent des parallèles. Dans le plan, (d) et (e) sont perpendiculaires à (r), donc (d) est parallèle à (e).

Raisonner avec les propriétés des droites

Propriété

Parallèles à une même droite

Si deux droites sont parallèles à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles.

Propriété

Perpendiculaire à deux parallèles

Si deux droites sont parallèles et qu’une troisième est perpendiculaire à l’une, alors elle est perpendiculaire à l’autre.

Une justification courte

On sait que et . Que peut-on dire de (f) et (e) ?

  1. Une droite perpendiculaire à l’une de deux parallèles est perpendiculaire à l’autre.
  2. Donc . On utilise les données, pas l’apparence du dessin.

Rédiger et contrôler une construction

Une réponse de géométrie comporte une figure lisible, les noms des points et des droites, les codages utiles et une phrase de justification. Si tu écris « elles sont parallèles parce que cela se voit », tu décris une impression. Pour prouver, cite une propriété et précise les données qui permettent de l’appliquer.

Questions fréquentes

Quelle différence entre droite, segment et demi-droite ?

Une droite est illimitée dans les deux sens, un segment possède deux extrémités et une demi-droite une origine avec un prolongement illimité d’un seul côté.

Comment construire une parallèle à l’équerre ?

Construis une perpendiculaire à la droite donnée, puis une perpendiculaire à cette nouvelle droite passant par le point demandé. Deux perpendiculaires à une même droite sont parallèles.

Deux droites sécantes sont-elles toujours perpendiculaires ?

Non. Elles sont perpendiculaires uniquement si elles forment un angle droit. Sinon, elles sont simplement sécantes.

Comment prouver qu’un point est un milieu ?

Il faut montrer qu’il appartient au segment et que ses distances aux deux extrémités sont égales.

Quiz : 12 questions sur ce chapitre

12 questions tirées au hasard parmi les 12 de ce chapitre : le quiz est différent à chaque visite. Une seule réponse est correcte, et vous voyez immédiatement si la vôtre l'est.

Q1[AB] désigne…

Bonne réponse : un segment

Les deux crochets marquent les deux extrémités du segment.

Q2L’origine de [AB) est…

Bonne réponse : A

Le crochet est placé du côté de l’origine A.

Q3AB désigne…

Bonne réponse : une longueur

Sans crochets ni parenthèses, AB est la longueur du segment.

Q4Un milieu M vérifie…

Bonne réponse : M appartient à [AB] et AM = MB

L’appartenance au segment et l’égalité des distances sont toutes deux nécessaires.

Q5Deux droites perpendiculaires forment…

Bonne réponse : quatre angles droits

Deux droites qui se coupent perpendiculairement forment quatre angles de 90°.

Q6Deux droites sécantes ont…

Bonne réponse : un point commun

Leur unique point commun est leur point d’intersection.

Q7Deux droites distinctes perpendiculaires à une même droite sont…

Bonne réponse : parallèles

C’est la propriété de double perpendicularité dans le plan.

Q8L’outil qui vérifie directement un angle droit est…

Bonne réponse : l’équerre

L’équerre comporte un angle droit que l’on superpose à l’angle à vérifier.

Q9M appartient à (AB) signifie que…

Bonne réponse : A, B et M sont alignés

Appartenir à la même droite signifie être alignés.

Q10Si AB = 6,4 cm, la moitié vaut…

Bonne réponse : 3,2 cm

On divise 6,4 par 2, ce qui donne 3,2.

Q11Pour prouver un parallélisme, il faut…

Bonne réponse : des données et une propriété

Une démonstration repose sur les propriétés, pas sur l’apparence du dessin.

Q12Deux points distincts déterminent…

Bonne réponse : une seule droite

Par deux points distincts passe une et une seule droite.

Exercices corrigés

10 exercices classés du plus simple au plus difficile. Cherchez d'abord seul, puis révélez la correction rédigée étape par étape.

Exercice 1

Facile

Nomme les objets [CD], (CD), [CD) et CD.

Correction

[CD] est un segment, (CD) une droite, [CD) une demi-droite d’origine C.

CD désigne la longueur du segment.

Exercice 2

Facile

AB = 9 cm et M est le milieu de [AB]. Calcule AM et MB.

Correction

Un milieu partage le segment en deux longueurs égales.

AM = MB = 9 ÷ 2 = 4,5 cm.

Exercice 3

Facile

A, B et C appartiennent à une même droite. Comment qualifie-t-on ces points ?

Correction

Ils sont alignés par définition.

Cela ne précise pas lequel des trois points est situé entre les deux autres.

Exercice 4

Facile

Deux droites se coupent en formant un angle de 70°. Sont-elles sécantes ? Perpendiculaires ?

Correction

Elles sont sécantes car elles se coupent.

Elles ne sont pas perpendiculaires car 70° n’est pas un angle droit.

Exercice 5

Moyen

Trace une droite (d), place A à l’extérieur et construis la perpendiculaire à (d) passant par A.

Correction

Place un côté de l’angle droit de l’équerre sur (d), puis fais glisser jusqu’à A.

Trace selon l’autre côté et code l’angle droit au point d’intersection.

Exercice 6

Moyen

On a (a) perpendiculaire à (c) et (b) perpendiculaire à (c). Déduis la position de (a) et (b).

Correction

Deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles dans le plan.

Donc .

Exercice 7

Moyen

On a (d) parallèle à (e) et (r) perpendiculaire à (d). Justifie que (r) est perpendiculaire à (e).

Correction

Une perpendiculaire à l’une de deux parallèles est perpendiculaire à l’autre.

Donc , sans avoir besoin de mesurer l’angle.

Exercice 8

Moyen

Trace une droite (d) et un point P extérieur. Construis la parallèle à (d) passant par P avec deux perpendiculaires.

Correction

Trace une droite (e) perpendiculaire à (d), puis la droite (f) passant par P et perpendiculaire à (e).

Les droites (d) et (f) sont perpendiculaires à (e), donc parallèles.

Exercice 9

Difficile

M vérifie AM = BM. Peut-on affirmer que M est le milieu de [AB] ?

Correction

Non : il manque la condition que M appartienne au segment [AB].

Un point placé hors de la droite, au sommet d’un triangle isocèle de base [AB], peut vérifier AM = BM.

Exercice 10

Difficile

On sait que (a) et (b) sont perpendiculaires à (c), et que (r) est parallèle à (a). Prouve que (r) est parallèle à (b).

Correction

D’abord, (a) et (b) sont parallèles car elles sont perpendiculaires à (c).

Ensuite, (r) et (b) sont parallèles à (a), donc parallèles entre elles.