Droites remarquables du triangle 1AC : exercices corrigés

1. Oui : les deux conditions de la définition sont réunies.
2. Non : il manque le passage par le milieu de [AB].
3. Non : (d) n’est pas perpendiculaire à (AB), puisque l’angle mesure 70° et non 90°.

À retenir : La médiatrice d’un segment vérifie deux conditions : elle passe par son milieu et elle lui est perpendiculaire.

1. Tout point de la médiatrice est à égale distance de A et de B : MB = MA = 4,5 cm.
2. De même, NA = NB = 7 cm.
3. Non : PA et PB ne sont pas égales, donc P n’appartient pas à la médiatrice de [AB].

À retenir : Un point appartient à la médiatrice d’un segment exactement lorsqu’il est à égale distance de ses deux extrémités.

1. Avec une même ouverture supérieure à 4 cm, on trace deux arcs de centre A, de part et d’autre de [AB], puis deux arcs de centre B. Les arcs se coupent en P et Q : la droite (PQ) est la médiatrice de [AB].
2. 4 cm est la moitié de AB. Avec une ouverture plus petite, les arcs de centres A et B ne se coupent pas.
3. I est le milieu de [AB] : AI = 8 ÷ 2 = 4 cm.

À retenir : Les deux points d’intersection des arcs sont à égale distance de A et de B : ils appartiennent à la médiatrice.

1. O appartient à la médiatrice de [AB], donc OA = OB. O appartient à la médiatrice de [BC], donc OB = OC.
2. OA = OB = OC : le point O est à égale distance des trois sommets. C’est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.
3. Le rayon est OA = 3,2 cm. Le cercle passe par les trois sommets A, B et C.

À retenir : Le centre du cercle circonscrit est le point d’intersection des médiatrices : il est à égale distance des trois sommets.

1. On construit au compas, par exemple, les médiatrices de [AB] et de [AC]. Elles se coupent en O.
2. Le cercle passe aussi par B et par C : c’est le cercle circonscrit au triangle ABC.
3. Non : deux médiatrices suffisent. La troisième passe aussi par O ; la tracer permet de contrôler la construction.

À retenir : Deux médiatrices suffisent pour trouver le centre du cercle circonscrit ; la troisième sert de vérification.

1. Faux : elle passe par le milieu du côté, et en général pas par le sommet opposé.
2. Vrai : ce point est le centre du cercle circonscrit.
3. Faux : sa position dépend de la forme du triangle. Pour un triangle qui a un angle obtus, il est à l’extérieur.

À retenir : Une médiatrice dépend d’un seul côté du triangle : elle ne tient pas compte du troisième sommet.

1. (AH) passe par le sommet A et est perpendiculaire à la droite qui porte le côté opposé : c’est la hauteur issue de A. Le point H est le pied de cette hauteur.
2. C’est la droite qui passe par B et qui est perpendiculaire à (AC).
3. Un triangle possède trois hauteurs, une par sommet. Elles se coupent en un même point, l’orthocentre.

À retenir : Une hauteur passe par un sommet et est perpendiculaire à la droite qui porte le côté opposé.

1. Le triangle est rectangle en A, donc (AB) est perpendiculaire à (AC). La droite (AB) passe par B et est perpendiculaire au côté opposé : c’est la hauteur issue de B.
2. De même, (AC) passe par C et est perpendiculaire à (AB) : c’est la hauteur issue de C.
3. Ces deux hauteurs se coupent en A. L’orthocentre du triangle est donc le sommet A de l’angle droit.

À retenir : Dans un triangle rectangle, les côtés de l’angle droit portent deux hauteurs : l’orthocentre est le sommet de l’angle droit.

1. On pose un côté de l’angle droit de l’équerre sur (BC), on fait glisser l’équerre jusqu’à ce que l’autre côté passe par A, on trace, puis on code l’angle droit en H.
2. Aire : (BC × AH) ÷ 2 = (9 × 4) ÷ 2 = 18 cm².
3. Il se trouve à l’extérieur du segment [BC], sur son prolongement du côté de B. Il faut prolonger le côté pour tracer la hauteur.

À retenir : La hauteur est perpendiculaire à la droite (BC), pas forcément au segment : son pied peut être à l’extérieur du triangle.

1. La bissectrice partage l’angle en deux angles égaux : $\widehat{BAI}=\widehat{IAC}=70^{\circ }÷2=35^{\circ }$.
2. $\widehat{BAC}=2\times 28^{\circ }=56^{\circ }$.
3. $\widehat{IAC}=90^{\circ }÷2=45^{\circ }$.

À retenir : La bissectrice d’un angle le partage en deux angles de même mesure.

1. On trace un arc de centre O qui coupe les deux côtés de l’angle en P et Q. Avec une même ouverture, on trace deux arcs de centres P et Q qui se coupent en un point M à l’intérieur de l’angle. La demi-droite [OM) est la bissectrice.
2. Chaque angle mesure 80 ÷ 2 = 40°.
3. À 2 cm également : un point de la bissectrice est à égale distance des deux côtés de l’angle.

À retenir : Tout point de la bissectrice d’un angle est à égale distance des deux côtés de cet angle.

1. I est à égale distance des trois côtés du triangle : c’est le centre du cercle inscrit.
2. Le rayon est la distance de I à un côté, mesurée perpendiculairement : IH = 1,5 cm.
3. Non : il touche chacun des trois côtés en un point, sans passer par les sommets.

À retenir : Le rayon du cercle inscrit est la distance du centre à un côté, mesurée perpendiculairement.

1. Ils se trouvent sur la médiatrice du segment [AB].
2. P doit aussi être à égale distance de B et de C : c’est le point d’intersection des médiatrices de [AB] et de [BC].
3. PA = PB = PC = 2,4 km. Les trois villages sont sur le cercle de centre P et de rayon 2,4 km : c’est le cercle circonscrit au triangle ABC.

À retenir : « À égale distance de deux points » se traduit par « sur la médiatrice du segment qui les joint ».

1. Elle passe par un sommet et est perpendiculaire au côté opposé : c’est la hauteur issue de A.
2. Elle est perpendiculaire à un côté en son milieu : c’est la médiatrice de [BC].
3. Elle partage un angle en deux angles égaux : c’est la bissectrice de l’angle $\widehat{BAC}$.
4. Elle joint un sommet au milieu du côté opposé : c’est la médiane issue de A. En général, ce n’est ni une hauteur ni une médiatrice.

À retenir : On repère deux indices : le point imposé, sommet ou milieu, et la condition, angle droit ou angles égaux.

1. Le triangle est isocèle en A, donc AB = AC. Le point A est à égale distance de B et de C : il appartient à la médiatrice de [BC].
2. Le milieu I de [BC] appartient lui aussi à cette médiatrice. Comme il passe une seule droite par les deux points A et I, la médiatrice de [BC] est la droite (AI).
3. La médiatrice (AI) est perpendiculaire à (BC), et elle passe par le sommet A : c’est la hauteur issue de A.

À retenir : Dans un triangle isocèle, la médiatrice de la base passe par le sommet principal : elle est aussi une hauteur.