Droites remarquables du triangle : construire et reconnaître

Propriété

Propriété d’équidistance

Tout point M de la médiatrice de [AB] vérifie MA = MB. Réciproquement, si MA = MB, alors M appartient à cette médiatrice.

Méthode

Construire au compas sans mesurer le milieu

1. Ouvre le compas à plus de la moitié de AB.
2. Avec cette même ouverture, trace deux arcs de centre A, de part et d’autre de [AB].
3. Sans modifier l’ouverture, trace deux arcs de centre B coupant les précédents en P et Q.
4. Trace (PQ) : c’est la médiatrice de [AB].

Propriété

Centre du cercle circonscrit

Les trois médiatrices d’un triangle se coupent en un même point O. Ce point est à égale distance des trois sommets : OA = OB = OC. Le cercle de centre O passant par un sommet passe donc par les trois.

Méthode

Construire le cercle circonscrit

1. Trace les médiatrices de deux côtés du triangle.
2. Nomme O leur point d’intersection.
3. Prends OA comme rayon et trace le cercle de centre O.
4. Vérifie que B et C appartiennent aussi au cercle.

Utiliser l’égalité des rayons

O est l’intersection des médiatrices de [AB] et [AC] et OA = 4 cm. Trouver OB et OC.

1. Sur la médiatrice de [AB], OA = OB.
2. Sur la médiatrice de [AC], OA = OC. Donc OB = OC = 4 cm.

Méthode

Tracer la hauteur issue d’un sommet

1. Identifie le côté opposé à ce sommet.
2. Prolonge la droite de ce côté si nécessaire.
3. Avec l’équerre, trace la perpendiculaire à cette droite passant par le sommet.
4. Nomme le pied et code l’angle droit.

Propriété

Orthocentre

Les trois hauteurs d’un triangle se coupent en un même point, appelé orthocentre. Dans un triangle rectangle, deux hauteurs sont les droites des côtés de l’angle droit ; l’orthocentre est donc le sommet de l’angle droit.

Méthode

Construire la bissectrice au compas

1. Trace un arc de centre A coupant les deux côtés de l’angle en P et Q.
2. Avec une même ouverture, trace des arcs de centres P et Q qui se coupent en M à l’intérieur de l’angle.
3. Trace la demi-droite [AM).

Partager un angle

L’angle BAC mesure 74°. [AI) est sa bissectrice.

1. Les angles BAI et IAC ont la même mesure.
2. Chacun mesure $74÷2=37$°.

Propriété

Distance aux côtés

Un point de la bissectrice situé à l’intérieur d’un angle est à égale distance des droites portant ses côtés. Chaque distance se mesure le long d’une perpendiculaire à la droite concernée.

Propriété

Centre du cercle inscrit

Les trois bissectrices intérieures d’un triangle se rencontrent en un même point I. Ce point est à égale distance des trois côtés. Il est le centre du cercle inscrit, tangent aux trois côtés.

Méthode

Construire le cercle inscrit

1. Trace deux bissectrices intérieures et nomme I leur intersection.
2. Depuis I, trace une perpendiculaire à un côté ; H est son pied.
3. Trace le cercle de centre I et de rayon IH.
4. Le cercle touche chacun des trois côtés sans passer par les sommets.