Angles et triangles 1AC : exercices corrigés

1. Le sommet est S : c’est la lettre placée au milieu du nom.
2. Ses côtés sont les demi-droites [SR) et [ST).
3. On peut aussi l’écrire $\widehat{TSR}$ : le sommet reste au milieu.

À retenir : Le sommet d’un angle s’écrit toujours au milieu de son nom.

1. 17° est compris entre 0° et 90° : l’angle est aigu.
2. Un angle de 90° est un angle droit.
3. 176° est compris entre 90° et 180° : l’angle est obtus.
4. Un angle de 180° est un angle plat : ses deux côtés sont dans le prolongement l’un de l’autre.

À retenir : Un angle aigu mesure moins de 90° ; un angle obtus mesure entre 90° et 180°.

1. On trace la demi-droite [OA). On place le centre du rapporteur sur O et sa ligne de base sur [OA). On marque un point B en face de 50°, sur l’échelle qui part de 0 du côté de A, puis on trace [OB).
2. On procède de la même façon à partir d’une demi-droite [MC), en marquant D en face de 135°. L’angle obtenu est obtus.
3. Un angle obtus mesure plus de 90° : la mesure est 120°, et non 60°.

À retenir : On lit la graduation sur l’échelle qui part de 0 du côté du premier côté de l’angle, puis on contrôle avec la nature de l’angle.

1. 90 − 34 = 56. Le complémentaire mesure 56°.
2. 180 − 34 = 146. Le supplémentaire mesure 146°.
3. 180 − 142 = 38. Le supplémentaire mesure 38°.
4. Leur somme vaut 90° et ils sont égaux : chacun mesure 90 ÷ 2 = 45°.

À retenir : Deux angles sont complémentaires si leur somme vaut 90°, supplémentaires si leur somme vaut 180°.

1. Deux angles opposés par le sommet ont la même mesure : 52°.
2. Chacun forme un angle plat avec l’angle de 52° : il mesure 180 − 52 = 128°.
3. 52 + 128 + 52 + 128 = 360. La somme vaut bien 360°.

À retenir : Deux angles opposés par le sommet ont la même mesure ; deux angles voisins qui forment un angle plat sont supplémentaires.

1. Le côté commun est la demi-droite [OB).
2. Les deux angles sont adjacents : $\widehat{AOC}=38^{\circ }+52^{\circ }=90^{\circ }$.
3. Leur somme vaut 90° : ils sont complémentaires. L’angle $\widehat{AOC}$ est un angle droit.

À retenir : Deux angles adjacents ont le même sommet et un côté commun, et sont situés de part et d’autre de ce côté.

1. $\hat{C}=180^{\circ }-(50^{\circ }+60^{\circ })=180^{\circ }-110^{\circ }=70^{\circ }$.
2. $\hat{B}=180^{\circ }-(35^{\circ }+110^{\circ })=180^{\circ }-145^{\circ }=35^{\circ }$.
3. $\hat{A}=180^{\circ }-(90^{\circ }+28^{\circ })=180^{\circ }-118^{\circ }=62^{\circ }$.

À retenir : La somme des mesures des trois angles d’un triangle vaut 180°.

1. Les angles à la base sont égaux. Leur somme vaut 180 − 40 = 140°, donc chacun mesure 140 ÷ 2 = 70°.
2. Les angles à la base sont égaux : $\hat{F}=\hat{E}=65^{\circ }$. Puis $\hat{D}=180^{\circ }-2\times 65^{\circ }=50^{\circ }$.
3. Les trois angles sont égaux : chacun mesure 180 ÷ 3 = 60°.
4. Les deux angles aigus d’un triangle rectangle sont complémentaires : $\hat{L}=90^{\circ }-37^{\circ }=53^{\circ }$.

À retenir : Isocèle : deux angles à la base égaux. Équilatéral : trois angles de 60°. Rectangle : deux angles aigus complémentaires.

1. Oui : 60 + 70 + 50 = 180.
2. Non : 90 + 45 + 50 = 185, ce qui dépasse 180.
3. Non : 100 + 95 = 195, ce qui dépasse déjà 180. Un triangle ne peut pas avoir deux angles obtus.
4. Oui : 30 + 30 + 120 = 180. C’est un triangle isocèle qui a un angle obtus.

À retenir : Trois mesures sont celles des angles d’un triangle seulement si leur somme vaut 180°.

1. Oui : la plus grande longueur est 9 cm, et 9 < 5 + 6 = 11.
2. Non : 3 + 4 = 7, et 9 est plus grand que 7.
3. Non : 4 + 6 = 10. Il y a égalité, donc les trois points seraient alignés : le triangle serait aplati.
4. Oui : 7 < 7 + 7. Le triangle est équilatéral.

À retenir : On compare la plus grande longueur à la somme des deux autres : elle doit être strictement plus petite.

1. On vérifie que 7 < 5 + 4. On trace [AB] de 7 cm, puis un arc de cercle de centre A et de rayon 5 cm, et un arc de centre B et de rayon 4 cm. Leur point d’intersection est C ; on trace [AC] et [BC].
2. On trace [DE] de 6 cm. Avec le rapporteur, on trace une demi-droite d’origine D qui forme un angle de 50° avec [DE), puis, du même côté, une demi-droite d’origine E qui forme un angle de 60° avec [ED). Elles se coupent en F.
3. $\hat{F}=180^{\circ }-(50^{\circ }+60^{\circ })=70^{\circ }$. La mesure au rapporteur doit être proche de 70°.

À retenir : Trois côtés connus : on utilise la règle et le compas. Un côté et deux angles connus : la règle et le rapporteur.

1. Non : 4 + 5 = 9. Il y a égalité, le triangle serait aplati.
2. Non : 4 + 9 = 13. Il y a encore égalité.
3. Le troisième côté doit être plus grand que 5 cm, pour que 9 soit inférieur à la somme des deux autres, et plus petit que 13 cm. Les longueurs possibles sont 6, 7, 8, 9, 10, 11 et 12 cm.

À retenir : La troisième longueur est comprise strictement entre la différence et la somme des deux autres : ici entre 5 cm et 13 cm.

1. Les deux angles sont adjacents et forment l’angle plat $\widehat{AOB}$ : leur somme vaut 180°.
2. L’angle plat est formé de 1 + 3 = 4 parts égales. Une part mesure 180 ÷ 4 = 45°. Donc $\widehat{COB}=45^{\circ }$ et $\widehat{AOC}=3\times 45^{\circ }=135^{\circ }$.
3. $\widehat{COB}$ est aigu, car 45° est inférieur à 90°. $\widehat{AOC}$ est obtus, car 135° est compris entre 90° et 180°.

À retenir : Deux angles adjacents qui forment un angle plat sont supplémentaires.

1. Les angles à la base sont égaux. Leur somme vaut 180 − 110 = 70°, donc chacun mesure 70 ÷ 2 = 35°.
2. Non : 4 + 4 = 8, et 9 est plus grand que 8. Les deux petites poutres ne peuvent pas se rejoindre.
3. Oui : 6,5 < 4 + 4 = 8. Le triangle a deux côtés de même longueur : il est isocèle.

À retenir : Avant de construire un triangle, on teste l’inégalité triangulaire avec le plus grand côté.

1. Non : deux angles droits totalisent déjà 180°, il ne resterait rien pour le troisième angle.
2. Les deux angles aigus sont complémentaires : leur somme vaut 90°, formée de 1 + 2 = 3 parts égales. Le plus petit mesure 90 ÷ 3 = 30° et l’autre 60°. Les trois angles sont 90°, 30° et 60°.
3. L’angle de 100° ne peut pas être un angle à la base : il y en aurait deux, soit 200°. C’est donc l’angle au sommet principal, et chaque angle à la base mesure (180 − 100) ÷ 2 = 40°.

À retenir : On élimine les cas impossibles en utilisant la somme de 180°.