Fractions 1AC : exercices corrigés

1. Le numérateur est 7 et le dénominateur est 4.
2. $\frac{7}{4}=7÷4=1,75$.
3. Le numérateur est plus grand que le dénominateur, donc $\frac{7}{4}>1$. En effet, $\frac{7}{4}=\frac{4}{4}+\frac{3}{4}=1+\frac{3}{4}$.

À retenir : Une écriture fractionnaire désigne un quotient : le dénominateur, jamais nul, est le nombre par lequel on divise.

1. $\frac{3}{5}=3÷5=0,6$.
2. $\frac{9}{4}=9÷4=2,25$.
3. $0,7$ se lit sept dixièmes : $0,7=\frac{7}{10}$.
4. $1,25$ se lit cent vingt-cinq centièmes : $1,25=\frac{125}{100}=\frac{5}{4}$, en divisant les deux termes par 25.

À retenir : Un nombre décimal s’écrit comme une fraction de dénominateur 10, 100 ou 1 000, que l’on peut ensuite simplifier.

1. Pour passer de 4 à 20, on multiplie par 5 : $\frac{3}{4}=\frac{3\times 5}{4\times 5}=\frac{15}{20}$.
2. Pour passer de 5 à 35, on multiplie par 7 : $\frac{5}{6}=\frac{35}{42}$.
3. Pour passer de 18 à 3, on divise par 6 : $\frac{18}{30}=\frac{3}{5}$.
4. Pour passer de $0,4$ à 4, on multiplie par 10 : $\frac{1,5}{0,4}=\frac{15}{4}$.

À retenir : On conserve un quotient en multipliant ou en divisant son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul.

1. 14 et 21 sont dans la table de 7 : $\frac{14}{21}=\frac{2}{3}$.
2. On divise les deux termes par 10 : $\frac{20}{50}=\frac{2}{5}$.
3. 27 et 36 sont dans la table de 9 : $\frac{27}{36}=\frac{3}{4}$.
4. On simplifie par étapes : $\frac{60}{84}=\frac{30}{42}=\frac{15}{21}=\frac{5}{7}$. On a divisé par 2, encore par 2, puis par 3.

À retenir : Simplifier, c’est diviser le numérateur et le dénominateur par un diviseur commun ; on recommence tant que c’est possible.

1. Les dénominateurs sont égaux et $5<7$, donc $\frac{5}{9}<\frac{7}{9}$.
2. Les numérateurs sont égaux : un septième est plus petit qu’un cinquième, donc $\frac{4}{7}<\frac{4}{5}$.
3. On écrit $\frac{2}{3}=\frac{8}{12}$. Comme $8>7$, on a $\frac{2}{3}>\frac{7}{12}$.
4. Les deux fractions se simplifient en $\frac{3}{4}$ : elles sont égales.

À retenir : Avec un même dénominateur, on compare les numérateurs ; sinon, on commence par chercher un dénominateur commun.

1. $\frac{5}{6}$ et $\frac{1}{2}$ sont inférieures à 1, car leur numérateur est plus petit que leur dénominateur. $\frac{4}{3}$ et $\frac{7}{6}$ sont supérieures à 1.
2. $\frac{5}{6}$ et $\frac{7}{6}$ ont déjà le dénominateur 6. De plus, $\frac{4}{3}=\frac{8}{6}$ et $\frac{1}{2}=\frac{3}{6}$.
3. $\frac{3}{6}<\frac{5}{6}<\frac{7}{6}<\frac{8}{6}$, donc $\frac{1}{2}<\frac{5}{6}<\frac{7}{6}<\frac{4}{3}$.

À retenir : Une fraction positive est inférieure à 1 quand son numérateur est plus petit que son dénominateur, et supérieure à 1 dans le cas contraire.

1. $\frac{3}{7}+\frac{2}{7}=\frac{3+2}{7}=\frac{5}{7}$.
2. $\frac{11}{12}-\frac{5}{12}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$.
3. $\frac{5}{8}+\frac{7}{8}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}$.
4. $\frac{13}{10}-\frac{3}{10}=\frac{10}{10}=1$.

À retenir : À dénominateur commun, on additionne ou on soustrait les numérateurs et on garde le dénominateur.

1. 8 est un multiple de 2 : $\frac{1}{2}+\frac{3}{8}=\frac{4}{8}+\frac{3}{8}=\frac{7}{8}$.
2. 6 est un multiple de 3 : $\frac{5}{6}-\frac{2}{3}=\frac{5}{6}-\frac{4}{6}=\frac{1}{6}$.
3. On choisit le dénominateur $4\times 5=20$ : $\frac{3}{4}+\frac{2}{5}=\frac{15}{20}+\frac{8}{20}=\frac{23}{20}$.
4. 18 est un multiple commun de 9 et de 6 : $\frac{7}{9}-\frac{1}{6}=\frac{14}{18}-\frac{3}{18}=\frac{11}{18}$.

À retenir : Un multiple commun des deux dénominateurs sert de dénominateur commun ; leur produit convient toujours.

1. $2=\frac{10}{5}$, donc $2+\frac{3}{5}=\frac{10}{5}+\frac{3}{5}=\frac{13}{5}$.
2. $3=\frac{12}{4}$, donc $3-\frac{5}{4}=\frac{12}{4}-\frac{5}{4}=\frac{7}{4}$.
3. $1=\frac{3}{3}$, donc $\frac{7}{3}-1=\frac{7}{3}-\frac{3}{3}=\frac{4}{3}$.
4. $1=\frac{7}{7}$, donc $1-\frac{2}{7}-\frac{3}{7}=\frac{7-2-3}{7}=\frac{2}{7}$.

À retenir : Un entier s’écrit avec le dénominateur voulu : $2=\frac{10}{5}$ et $1=\frac{7}{7}$.

1. $\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}=\frac{2\times 4}{3\times 5}=\frac{8}{15}$.
2. $\frac{3}{4}\times \frac{8}{9}=\frac{24}{36}=\frac{2}{3}$, en divisant les deux termes par 12.
3. $6\times \frac{5}{12}=\frac{6\times 5}{12}=\frac{30}{12}=\frac{5}{2}$, en divisant les deux termes par 6.
4. $\frac{7}{10}\times \frac{5}{14}=\frac{35}{140}=\frac{1}{4}$, en divisant les deux termes par 35.

À retenir : Pour multiplier, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux ; aucun dénominateur commun n’est nécessaire.

1. Un quart de 28 vaut $28÷4=7$. Trois quarts valent $3\times 7=21$ élèves.
2. Un cinquième de 45 vaut $45÷5=9$. Deux cinquièmes valent $2\times 9=18$ DH.
3. 3 heures font 180 minutes. Un sixième vaut $180÷6=30$ et cinq sixièmes valent $5\times 30=150$ minutes, soit 2 h 30 min.

À retenir : Prendre une fraction d’une quantité, c’est diviser par le dénominateur puis multiplier par le numérateur.

1. Le produit est prioritaire : $\frac{3}{4}\times \frac{1}{3}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$. Donc $A=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$.
2. On commence par la parenthèse : $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}$. Donc $B=\frac{5}{6}\times \frac{6}{5}=\frac{30}{30}=1$.
3. Le produit vaut $\frac{1}{2}\times \frac{2}{3}=\frac{2}{6}$. Donc $C=\frac{5}{6}-\frac{2}{6}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$.

À retenir : Avec des fractions aussi, les parenthèses passent en premier, puis les produits, puis les sommes et les différences.

1. $\frac{1}{4}+\frac{3}{8}=\frac{2}{8}+\frac{3}{8}=\frac{5}{8}$ de la tablette.
2. La tablette entière représente $\frac{8}{8}$. Il reste $\frac{8}{8}-\frac{5}{8}=\frac{3}{8}$ de la tablette.
3. Un huitième de 24 vaut $24÷8=3$. Il reste $3\times 3=9$ carreaux. Vérification : Salma en a mangé 6, son frère 9, et $6+9+9=24$.

À retenir : La tablette entière correspond à l’unité : on calcule ce qui reste en soustrayant de 1 la fraction déjà mangée.

1. Transport : $(600÷5)\times 2=240$ DH. Repas : $600÷3=200$ DH.
2. $\frac{2}{5}+\frac{1}{3}=\frac{6}{15}+\frac{5}{15}=\frac{11}{15}$ du budget.
3. Avec les montants : $600-240-200=160$ DH. Avec les fractions : il reste $\frac{15}{15}-\frac{11}{15}=\frac{4}{15}$ du budget, soit $(600÷15)\times 4=160$ DH.

À retenir : Deux méthodes qui donnent le même résultat se contrôlent l’une l’autre : par les montants ou par les fractions.

1. Yassine a additionné les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. Il faut un dénominateur commun : $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}$. D’ailleurs, $\frac{2}{5}$ est plus petit que $\frac{1}{2}$ : la somme ne peut pas être inférieure à l’un de ses termes.
2. On ne simplifie pas en soustrayant, mais en divisant : $\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$. On vérifie que $\frac{6}{10}=0,6$, alors que $\frac{5}{9}$ vaut environ $0,56$.
3. À numérateur égal, plus le dénominateur est grand, plus les parts sont petites : $\frac{3}{8}<\frac{3}{5}$. En effet, $\frac{3}{8}=0,375$ et $\frac{3}{5}=0,6$.

À retenir : Une valeur décimale ou un ordre de grandeur suffit souvent à repérer une erreur sur des fractions.