Multiplication et division des relatifs 1AC : exercices corrigés

1. Les signes sont contraires : le produit est négatif. 6 × 7 = 42, donc (+6) × (−7) = −42.
2. Les signes sont les mêmes : le produit est positif. (−8) × (−5) = 40.
3. Les signes sont contraires : (−9) × (+4) = −36.
4. Les signes sont les mêmes : (+3) × (+12) = 36.

À retenir : Même signe : produit positif. Signes contraires : produit négatif. On multiplie ensuite les distances à zéro.

1. Signes contraires : 2,5 × 4 = 10, donc le produit vaut −10.
2. Même signe : 0,6 × 0,5 = 0,3, donc le produit vaut 0,3.
3. Signes contraires : 1,2 × 3 = 3,6, donc le produit vaut −3,6.
4. Même signe : 10 × 4,75 = 47,5, donc le produit vaut 47,5.

À retenir : On traite d’abord le signe, puis on calcule le produit des distances à zéro comme avec les décimaux positifs.

1. Un facteur est nul : le produit vaut 0.
2. Multiplier par −1 donne l’opposé : (−1) × (−23) = 23.
3. Multiplier par 1 ne change pas le nombre : 1 × (−6,4) = −6,4.
4. Multiplier par −1 donne l’opposé : (−1) × 8,5 = −8,5.

À retenir : Un produit contenant un facteur nul est nul ; multiplier un nombre par −1 donne son opposé.

1. Signes contraires : (−36) ÷ 4 = −9. Vérification : (−9) × 4 = −36.
2. Même signe : (−45) ÷ (−9) = 5. Vérification : 5 × (−9) = −45.
3. Signes contraires : 56 ÷ (−8) = −7. Vérification : (−7) × (−8) = 56.
4. Même signe : (−7,2) ÷ (−6) = 1,2. Vérification : 1,2 × (−6) = −7,2.

À retenir : La règle des signes d’un quotient est la même que celle d’un produit ; le diviseur doit être non nul.

1. Le nombre manquant est 54 ÷ (−6) = −9. Vérification : (−6) × (−9) = 54.
2. Le nombre manquant est (−28) ÷ (−4) = 7. Vérification : 7 × (−4) = −28.
3. Le nombre manquant est 7 × (−5) = −35. Vérification : (−35) ÷ (−5) = 7.
4. 0 ÷ (−9) = 0, car 0 × (−9) = 0. En revanche, (−9) ÷ 0 est impossible : aucun nombre multiplié par 0 ne donne −9.

À retenir : Pour retrouver un facteur, on divise le produit par le facteur connu ; pour retrouver un dividende, on multiplie le quotient par le diviseur.

1. L’opposé de 5 est −5. Son inverse est $\frac{1}{5}=0,2$, car 5 × 0,2 = 1.
2. L’opposé de −2 est 2. Son inverse est $-\frac{1}{2}=-0,5$, car (−2) × (−0,5) = 1.
3. L’opposé de 0,25 est −0,25. Son inverse est 4, car 0,25 × 4 = 1.
4. L’opposé de −10 est 10. Son inverse est $-\frac{1}{10}=-0,1$, car (−10) × (−0,1) = 1.

À retenir : La somme d’un nombre et de son opposé vaut 0 ; le produit d’un nombre non nul et de son inverse vaut 1.

1. Trois facteurs sont négatifs, et 3 est impair : le produit est négatif.
2. Quatre facteurs sont négatifs, et 4 est pair : le produit est positif.
3. Un facteur est nul : le produit vaut 0.
4. Trois facteurs sont négatifs : le produit est négatif.

À retenir : On cherche d’abord un facteur nul. Sinon, on compte les facteurs négatifs : nombre pair, produit positif ; nombre impair, produit négatif.

1. Trois facteurs négatifs : le produit est négatif. 2 × 5 × 7 = 70, donc le résultat est −70.
2. Deux facteurs négatifs : le produit est positif. 4 × 2,5 = 10 et 10 × 3 = 30, donc le résultat est 30.
3. Quatre facteurs négatifs : le produit est positif. 1 × 1 × 1 × 9 = 9, donc le résultat est 9.
4. Trois facteurs négatifs : le produit est négatif. 0,5 × 8 = 4, puis 4 × 2 = 8 et 8 × 10 = 80, donc le résultat est −80.

À retenir : On peut regrouper les facteurs dans l’ordre le plus pratique : 4 × 2,5 = 10 simplifie la suite du calcul.

1. L’inverse de 0,5 est 2 : 12 ÷ 0,5 = 12 × 2 = 24.
2. L’inverse de 0,25 est 4 : (−9) ÷ 0,25 = (−9) × 4 = −36.
3. L’inverse de −0,1 est −10 : (−6) ÷ (−0,1) = (−6) × (−10) = 60.
4. L’inverse de −0,2 est −5 : 7 ÷ (−0,2) = 7 × (−5) = −35.

À retenir : Diviser par un nombre non nul revient à multiplier par son inverse.

1. Le produit d’abord : A = 7 + (−15) = −8.
2. Le quotient d’abord : B = −5 − 6 = −11.
3. Les deux produits d’abord : C = 16 − 15 = 1.
4. Le quotient d’abord : D = 18 − (−4) = 18 + 4 = 22.

À retenir : Les produits et les quotients se calculent avant les sommes et les différences.

1. −3 + 7 = 4, donc E = 4 × (−5) = −20.
2. 4 − 10 = −6, donc F = (−6) ÷ (−2) = 3.
3. 3 − 8 = −5, donc G = −2 × (−5) + (−12) ÷ 4 = 10 + (−3) = 7.
4. Dans le crochet, le produit passe en premier : (−2) × 5 = −10, puis 6 − (−10) = 16. Donc H = 16 ÷ (−4) = −4.

À retenir : Dans un crochet, les priorités s’appliquent aussi : on calcule le produit avant la soustraction.

1. 3,6 < 11 ÷ 3 < 3,7 : la valeur par défaut est 3,6 et la valeur par excès est 3,7.
2. (−11) ÷ 3 = −3,666… Ce nombre est compris entre −3,7 et −3,6 : −3,7 < (−11) ÷ 3 < −3,6.
3. La valeur par défaut est inférieure au nombre : c’est −3,7. La valeur par excès lui est supérieure : c’est −3,6.

À retenir : La valeur par défaut est inférieure au nombre, la valeur par excès lui est supérieure : pour un négatif, l’ordre des distances à zéro s’inverse.

1. Chaque heure, la variation est de −1,5 °C. En 6 heures : 6 × (−1,5) = −9 °C.
2. 4 + (−9) = −5. La température est de −5 °C.
3. La variation totale est 1 − (−5) = 6 °C. Par heure : 6 ÷ 4 = 1,5 °C. La température augmente de 1,5 °C par heure.

À retenir : Une variation répétée se traduit par un produit : nombre de répétitions × variation à chaque fois.

1. 2 × (−135) + 5 × 110 = −270 + 550 = 280. Le bilan est un bénéfice de 280 DH.
2. 280 ÷ 7 = 40 : cela correspond à un bénéfice de 40 DH par jour.
3. 7 × (−135) = −945 : il aurait perdu 945 DH.

À retenir : Dans une expression qui mêle produits et sommes, on calcule d’abord chaque produit avec son signe.

1. Dans le crochet : (−3) × 4 = −12, puis 5 − (−12) = 17. Ensuite, de gauche à droite : (−2) × 17 = −34 et (−34) ÷ (−17) = 2. Donc J = 2.
2. Leur produit est négatif : ils sont de signes contraires. Leur somme est positive : c’est le nombre positif qui est le plus éloigné de zéro. Par exemple, 5 et −2 : 5 × (−2) = −10 et 5 + (−2) = 3.
3. 15 est impair : le produit de 15 facteurs égaux à −1 vaut −1. 20 est pair : le produit de 20 facteurs égaux à −1 vaut 1.

À retenir : Le signe d’un produit de facteurs non nuls dépend seulement du nombre de facteurs négatifs, pas de leur valeur.