Puissances 1AC : exercices corrigés

1. Le produit contient trois facteurs égaux à 5 : c’est $5^3$.
2. Le produit contient quatre facteurs égaux à $-3$ : c’est $(-3{)}^4$. Les parenthèses sont indispensables.
3. Le produit contient deux facteurs égaux à $0,2$ : c’est $0,2^2$.
4. Le produit contient six facteurs égaux à 10 : c’est $10^6$.

À retenir : L’exposant compte le nombre de facteurs égaux à la base.

1. $2^6=2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 2=64$.
2. $3^4=3\times 3\times 3\times 3=81$.
3. $0,5^2=0,5\times 0,5=0,25$.
4. $1,1^2=1,1\times 1,1=1,21$.

À retenir : L’exposant ne multiplie pas la base : $2^6=64$, alors que $2\times 6=12$.

1. Avec l’exposant 1, la puissance est égale à la base : $7^1=7$.
2. La base est non nulle, donc $(-4{)}^0=1$.
3. $0^5=0\times 0\times 0\times 0\times 0=0$.
4. Un produit de facteurs tous égaux à 1 vaut 1 : $1^{20}=1$.

À retenir : Pour tout nombre $a$, $a^1=a$ ; si $a$ est non nul, $a^0=1$.

1. L’exposant 4 est pair : $(-5{)}^4$ est positif.
2. L’exposant 7 est impair : $(-2{)}^7$ est négatif.
3. L’exposant 100 est pair : $(-1{)}^{100}$ est positif. Il vaut 1.
4. L’exposant 9 est impair : $(-10{)}^9$ est négatif.

À retenir : Une puissance de base négative est positive si l’exposant est pair, négative s’il est impair.

1. $(-2{)}^3=(-2)\times (-2)\times (-2)=4\times (-2)=-8$.
2. $(-3{)}^4=(-3)\times (-3)\times (-3)\times (-3)=9\times 9=81$.
3. $(-0,1{)}^2=(-0,1)\times (-0,1)=0,01$.
4. L’exposant est impair, donc le signe est négatif : $(-1{)}^5=-1$.

À retenir : On détermine d’abord le signe grâce à la parité de l’exposant, puis on calcule la puissance de la distance à zéro.

1. La base est $-5$ : $(-5{)}^2=(-5)\times (-5)=25$.
2. La base est 5 et le signe $-$ reste devant : $-5^2=-(5\times 5)=-25$.
3. $(-2{)}^3=-8$, donc $-(-2{)}^3=-(-8)=8$.
4. La base est 2 : $-2^4=-(2\times 2\times 2\times 2)=-16$.

À retenir : Sans parenthèses, la puissance ne porte que sur le nombre placé juste avant l’exposant : $-5^2=-(5^2)$.

1. Même base dans un produit : on additionne les exposants. $2^3\times 2^4=2^{3+4}=2^7$.
2. $(-5{)}^2\times (-5{)}^6=(-5{)}^{2+6}=(-5{)}^8$.
3. Même base dans un quotient : on soustrait les exposants. $\frac{7^9}{7^4}=7^{9-4}=7^5$.
4. $\frac{3^6}{3^5}=3^{6-5}=3^1=3$.

À retenir : Pour une même base, on additionne les exposants dans un produit et on les soustrait dans un quotient.

1. On multiplie les exposants : $(3^2{)}^4=3^{2\times 4}=3^8$.
2. $(10^3{)}^2=10^{3\times 2}=10^6$.
3. Les exposants sont égaux : $2^3\times 5^3=(2\times 5{)}^3=10^3=1000$.
4. D’une part, $(2\times 3{)}^2=6^2=36$. D’autre part, $(2\times 3{)}^2=2^2\times 3^2=4\times 9=36$.

À retenir : $(a^m{)}^n=a^{m\times n}$ et $(a\times b{)}^n=a^n\times b^n$ : on vérifie chaque règle en revenant aux produits.

1. Faux. $2^3+2^2=8+4=12$, alors que $2^5=32$. Aucune propriété ne permet d’additionner les exposants dans une somme.
2. Faux. Dans un produit de même base, on additionne les exposants : $5^2\times 5^3=5^5$.
3. Vrai. On multiplie les exposants : $(4^2{)}^3=4^{2\times 3}=4^6$.
4. Vrai. $3^2\times 2^2=(3\times 2{)}^2=6^2$. On vérifie : $9\times 4=36$.

À retenir : Les propriétés des puissances concernent les produits et les quotients, jamais les sommes.

1. $10^4$ s’écrit avec un 1 suivi de quatre zéros : $10000$.
2. $3,7\times 10^2=3,7\times 100=370$.
3. $0,45\times 10^3=0,45\times 1000=450$.
4. $10^2\times 10^3=10^{2+3}=10^5=100000$.

À retenir : Pour un entier naturel $n$, $10^n$ s’écrit avec un 1 suivi de $n$ zéros.

1. $5000=5\times 1000=5\times 10^3$.
2. $72000=7,2\times 10000=7,2\times 10^4$.
3. Un million s’écrit avec un 1 suivi de six zéros : $1000000=10^6$.
4. $340=3,4\times 100=3,4\times 10^2$.

À retenir : On cherche par combien il faut multiplier le premier facteur, puis on écrit ce nombre comme une puissance de 10.

1. $8000=8\times 10^3$.
2. $125000=1,25\times 100000=1,25\times 10^5$.
3. 36 est trop grand : $36=3,6\times 10$, donc $36\times 10^4=3,6\times 10\times 10^4=3,6\times 10^5$.
4. $4530000=4,53\times 1000000=4,53\times 10^6$.

À retenir : Dans une écriture scientifique, le premier facteur a un seul chiffre, non nul, avant la virgule.

1. $3^2=9$, donc $A=5+2\times 9=5+18=23$.
2. $B=7\times 9=63$ : la parenthèse et la puissance se calculent avant le produit.
3. $(-2{)}^3=-8$, donc $C=20-(-8)\times 2=20-(-16)=20+16=36$.
4. $-3^2=-9$, $(-3{)}^2=9$ et $4^0=1$, donc $D=-9+9+1=1$.

À retenir : L’ordre complet est : parenthèses, puissances, multiplications et divisions, puis additions et soustractions.

1. Le nombre double chaque heure : $2=2^1$, puis $4=2^2$, puis $8=2^3$.
2. Après 10 heures, il y a $2^{10}$ bactéries. Comme $2^5=32$, on a $2^{10}=32\times 32=1024$.
3. Chacune des 5 bactéries en donne $2^6=64$ : il y en a $5\times 2^6=5\times 64=320$.

À retenir : Un doublement répété se traduit par une puissance de 2 : l’exposant est le nombre de doublements.

1. $2^5=32$ et $5^2=25$, donc $2^5>5^2$. Échanger la base et l’exposant change la valeur.
2. Au numérateur, $2^7\times 2^3=2^{10}$. Donc $\frac{2^{10}}{2^8}=2^{10-8}=2^2=4$.
3. $150000000=1,5\times 100000000=1,5\times 10^8$ km.

À retenir : Échanger la base et l’exposant change en général la valeur : $2^5$ n’est pas égal à $5^2$.