Puissances des nombres relatifs et puissances de 10

Propriété

Exposants 1 et 0

Pour tout nombre $a$, $a^1=a$. Pour $a\ne 0$, on pose $a^0=1$. La notation $0^0$ n’est pas utilisée dans ce cours. Pour $n\ge 1$, $0^n=0$ et $1^n=1$.

Propriété

Base négative et parité

Une puissance d’une base négative est positive si l’exposant est pair et négative si l’exposant est impair. C’est la règle du signe d’un produit appliquée à des facteurs identiques.

Exposant pair ou impair

Calculer $(-3{)}^2$ et $(-3{)}^3$.

1. $(-3{)}^2=(-3)\times (-3)=9$.
2. $(-3{)}^3=(-3)\times (-3)\times (-3)=-27$.

Deux écritures à distinguer

Comparer $(-4{)}^2$ et $-4^2$.

1. $(-4{)}^2=(-4)\times (-4)=16$.
2. $-4^2=-(4\times 4)=-16$.

Méthode

Identifier la base

1. Regarde si un nombre négatif est placé entre parenthèses.
2. Développe la puissance en produit pour vérifier ce qui est répété.
3. Applique la règle des signes, puis calcule.

Propriété

Multiplier des puissances de même base

$a^m\times a^n=a^{m+n}$. Par exemple, $2^3\times 2^2$ contient cinq facteurs 2, donc vaut $2^5$.

Propriété

Diviser des puissances de même base

Si $a\ne 0$ et $m\ge n$, alors $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$. Par exemple, $\frac{3^5}{3^2}=3^3$. On simplifie deux facteurs 3 au numérateur et au dénominateur.

Propriété

Puissance d’une puissance et d’un produit

$(a^m{)}^n=a^{m\times n}$ et $(a\times b{)}^n=a^n\times b^n$. On peut vérifier chaque règle en écrivant les produits. Avec $b\ne 0$, on a aussi $(\frac{a}{b}{)}^n=\frac{a^n}{b^n}$.

Choisir la bonne propriété

Écrire sous forme d’une seule puissance $(5^2{)}^3$ puis $5^2\times 5^3$.

1. $(5^2{)}^3=5^{2\times 3}=5^6$.
2. $5^2\times 5^3=5^{2+3}=5^5$. Les opérations sur les exposants sont différentes.

Une puissance dans un calcul

Calculer $A=3+2\times (-4{)}^2$.

1. La puissance vaut 16.
2. $A=3+2\times 16=3+32=35$.