Puissances
Une puissance abrège un produit de facteurs identiques : 2³ = 2 × 2 × 2 = 8. La base est le facteur répété ; l’exposant compte les facteurs. En maths 1AC, on calcule les puissances d’exposant naturel, on étudie le signe d’une base négative et on utilise les puissances de 10.
À la fin de ce chapitre, vous saurez
- Passer d’un produit à une puissance
- Calculer une puissance de base positive ou négative
- Distinguer les écritures avec et sans parenthèses
- Utiliser les propriétés des puissances
- Utiliser les puissances de 10 dans un calcul
PrérequisRègle des signes d’un produit · Priorités opératoires · Multiplication par 10, 100 et 1 000
Un bon cours, ça se partage.
Que signifie l’exposant ?
Une feuille pliée en deux donne deux épaisseurs. Un deuxième pli donne quatre épaisseurs et un troisième en donne huit. Pour suivre ce doublement, on écrit . La notation permet d’abréger ce produit sans perdre l’information.
Définition
Puissance d’exposant naturel : Pour un entier , est le produit de facteurs égaux à . Le nombre est la base et l’exposant. On lit « a au carré » et « a au cube ».
Attention
L’exposant ne multiplie pas la base : , tandis que . Compte les facteurs, pas les signes de multiplication.
Calculer les premières puissances
| Écriture | Produit | Valeur |
|---|---|---|
| 25 | ||
| 16 | ||
| 0,25 |
Propriété
Exposants 1 et 0
Pour tout nombre , . Pour , on pose . La notation n’est pas utilisée dans ce cours. Pour , et .
Une puissance n’est pas forcément plus grande que la base : . Le résultat dépend de la base et de l’exposant. Développer en produit reste la meilleure façon de vérifier une petite puissance.
Trouver le signe d’une puissance
Propriété
Base négative et parité
Une puissance d’une base négative est positive si l’exposant est pair et négative si l’exposant est impair. C’est la règle du signe d’un produit appliquée à des facteurs identiques.
Exposant pair ou impair
Calculer et .
- .
- .
Pourquoi les parenthèses changent-elles le résultat ?
Dans , la base entière est −4. Dans , la puissance porte seulement sur 4 ; le signe moins reste devant le résultat. La puissance se calcule avant ce signe.
Deux écritures à distinguer
Comparer et .
- .
- .
Méthode
Identifier la base
- Regarde si un nombre négatif est placé entre parenthèses.
- Développe la puissance en produit pour vérifier ce qui est répété.
- Applique la règle des signes, puis calcule.
Les propriétés des puissances
Propriété
Multiplier des puissances de même base
. Par exemple, contient cinq facteurs 2, donc vaut .
Propriété
Diviser des puissances de même base
Si et , alors . Par exemple, . On simplifie deux facteurs 3 au numérateur et au dénominateur.
Propriété
Puissance d’une puissance et d’un produit
et . On peut vérifier chaque règle en écrivant les produits. Avec , on a aussi .
Choisir la bonne propriété
Écrire sous forme d’une seule puissance puis .
- .
- . Les opérations sur les exposants sont différentes.
Attention
Il n’existe pas de règle . Par exemple, , alors que .
Utiliser les puissances de 10
| Puissance | Valeur |
|---|---|
| 1 | |
| 10 | |
| 100 | |
| 1 000 | |
| 1 000 000 |
Pour un entier naturel n, s’écrit avec 1 suivi de n zéros. Multiplier un décimal par revient à le multiplier n fois par 10. Ainsi, .
À ce niveau, écris par exemple 62 000 = 62 × 10³ ou 6,2 × 10⁴, puis vérifie en multipliant. La forme normalisée appelée écriture scientifique et les exposants négatifs seront approfondis dans les niveaux suivants. L’objectif ici est de comprendre le rôle de la puissance de 10.
Calculer une expression contenant une puissance
Une puissance dans un calcul
Calculer .
- La puissance vaut 16.
- .
L’ordre complet devient : parenthèses, puissances, multiplications et divisions, additions et soustractions. Écris toujours une ligne intermédiaire quand un signe négatif et une puissance se rencontrent.
Questions fréquentes
Comment calculer une puissance en 1AC ?
Pourquoi (−3)² et −3² sont-ils différents ?
Quand additionner ou multiplier les exposants ?
Comment utiliser les puissances de 10 en 1AC ?
Quiz : 12 questions sur ce chapitre
12 questions tirées au hasard parmi les 12 de ce chapitre : le quiz est différent à chaque visite. Une seule réponse est correcte, et vous voyez immédiatement si la vôtre l'est.
Q1Dans 5³, la base est…
Réponse incorrecte
La base est le facteur répété, ici 5.
Bonne réponse : 5
La base est le facteur répété, ici 5.
Q22⁴ vaut…
Réponse incorrecte
On multiplie quatre facteurs égaux à 2 : 2 × 2 × 2 × 2 = 16.
Bonne réponse : 16
On multiplie quatre facteurs égaux à 2 : 2 × 2 × 2 × 2 = 16.
Q3(−2)³ vaut…
Réponse incorrecte
Trois facteurs négatifs donnent un produit négatif de distance 8.
Bonne réponse : −8
Trois facteurs négatifs donnent un produit négatif de distance 8.
Q4(−3)² vaut…
Réponse incorrecte
Deux facteurs négatifs donnent un produit positif.
Bonne réponse : 9
Deux facteurs négatifs donnent un produit positif.
Q5−3² vaut…
Réponse incorrecte
La puissance porte sur 3 : on prend ensuite l’opposé de 9.
Bonne réponse : −9
La puissance porte sur 3 : on prend ensuite l’opposé de 9.
Q67⁰ vaut…
Réponse incorrecte
Toute base non nulle à l’exposant zéro donne 1.
Bonne réponse : 1
Toute base non nulle à l’exposant zéro donne 1.
Q72³ × 2⁵ vaut…
Réponse incorrecte
Les bases sont identiques : on additionne les exposants.
Bonne réponse : 2⁸
Les bases sont identiques : on additionne les exposants.
Q8(3²)⁴ vaut…
Réponse incorrecte
Pour une puissance de puissance, on multiplie les exposants : 2 × 4 = 8.
Bonne réponse : 3⁸
Pour une puissance de puissance, on multiplie les exposants : 2 × 4 = 8.
Q910⁴ vaut…
Réponse incorrecte
10⁴ s’écrit 1 suivi de quatre zéros.
Bonne réponse : 10 000
10⁴ s’écrit 1 suivi de quatre zéros.
Q104,5 × 10³ vaut…
Réponse incorrecte
10³ vaut 1 000 ; 4,5 × 1 000 = 4 500.
Bonne réponse : 4 500
10³ vaut 1 000 ; 4,5 × 1 000 = 4 500.
Q112² + 2³ vaut…
Réponse incorrecte
On calcule chaque puissance puis la somme : 4 + 8 = 12.
Bonne réponse : 12
On calcule chaque puissance puis la somme : 4 + 8 = 12.
Q125⁶ ÷ 5² vaut…
Réponse incorrecte
On soustrait les exposants des puissances de même base non nulle.
Bonne réponse : 5⁴
On soustrait les exposants des puissances de même base non nulle.
Votre note
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Le chapitre est à revoir en entier
Ne recommencez pas le quiz tout de suite : relisez d'abord tout le cours, en refaisant sur votre cahier chaque exemple guidé au lieu de le lire. Enchaînez avec les exercices « facile », correction masquée, puis revenez ici. C'est en une seule séance de travail que la note change.
À revoir : 12 questions manquées
Dans 5³, la base est…
Bonne réponse5
La base est le facteur répété, ici 5.
2⁴ vaut…
Bonne réponse16
On multiplie quatre facteurs égaux à 2 : 2 × 2 × 2 × 2 = 16.
(−2)³ vaut…
Bonne réponse−8
Trois facteurs négatifs donnent un produit négatif de distance 8.
(−3)² vaut…
Bonne réponse9
Deux facteurs négatifs donnent un produit positif.
−3² vaut…
Bonne réponse−9
La puissance porte sur 3 : on prend ensuite l’opposé de 9.
7⁰ vaut…
Bonne réponse1
Toute base non nulle à l’exposant zéro donne 1.
2³ × 2⁵ vaut…
Bonne réponse2⁸
Les bases sont identiques : on additionne les exposants.
(3²)⁴ vaut…
Bonne réponse3⁸
Pour une puissance de puissance, on multiplie les exposants : 2 × 4 = 8.
10⁴ vaut…
Bonne réponse10 000
10⁴ s’écrit 1 suivi de quatre zéros.
4,5 × 10³ vaut…
Bonne réponse4 500
10³ vaut 1 000 ; 4,5 × 1 000 = 4 500.
2² + 2³ vaut…
Bonne réponse12
On calcule chaque puissance puis la somme : 4 + 8 = 12.
5⁶ ÷ 5² vaut…
Bonne réponse5⁴
On soustrait les exposants des puissances de même base non nulle.
Exercices corrigés
10 exercices classés du plus simple au plus difficile. Cherchez d'abord seul, puis révélez la correction rédigée étape par étape.
Exercice 1
FacileÉcris 7 × 7 × 7 × 7 et (−2) × (−2) × (−2) sous forme de puissances.
Correction
Le premier produit contient quatre facteurs 7 : .
Le second contient trois facteurs −2 : .
Exercice 2
FacileCalcule 4², 2⁵ et 0,3².
Correction
et .
.
Exercice 3
FacileCalcule 9⁰, (−5)¹ et 0⁴.
Correction
La base 9 est non nulle, donc .
et .
Exercice 4
FacileSans calculer la valeur, donne le signe de (−7)⁸ et (−2)⁹.
Correction
8 est pair : est positif.
9 est impair : est négatif.
Exercice 5
MoyenCalcule (−6)² puis −6².
Correction
.
.
Exercice 6
MoyenÉcris 3² × 3⁴ et 5⁷ ÷ 5³ comme une seule puissance.
Correction
Dans le produit de même base, on additionne : .
Dans le quotient de même base non nulle, on soustrait : .
Exercice 7
MoyenÉcris (2³)² comme une puissance, puis calcule.
Correction
On multiplie les exposants : .
. Vérification : .
Exercice 8
MoyenCalcule 7,6 × 10³ et complète 45 × 10… = 450 000.
Correction
7,6 × 1 000 = 7 600.
45 × 10 000 = 450 000 ; l’exposant cherché est 4.
Exercice 9
DifficileCalcule 10 − 2 × (−3)² + 5.
Correction
La puissance vaut 9 et le produit 2 × 9 vaut 18.
.
Exercice 10
DifficileUn jeu commence avec 3 jetons. À chaque manche, leur nombre double. Combien y en a-t-il après quatre manches ?
Correction
Quatre doublements donnent .
; il y a donc 48 jetons. Le départ ne compte pas comme une manche.
Mathématiques 1AC · S1
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