Droites remarquables du triangle 2AC : exercices corrigés

1. C’est la hauteur issue de B : elle passe par un sommet et elle est perpendiculaire au côté opposé.
2. C’est la médiatrice de [AB] : elle est perpendiculaire à ce côté en son milieu.
3. C’est la médiane issue de C : elle joint un sommet au milieu du côté opposé.
4. C’est la bissectrice de l’angle $\widehat{BAC}$.

À retenir : Hauteur : sommet et angle droit. Médiatrice : milieu et angle droit. Médiane : sommet et milieu. Bissectrice : deux angles égaux.

1. M est le milieu de [ST] : (RM) est la médiane issue de R.
2. (RH) passe par R et elle est perpendiculaire à (ST) : c’est la hauteur issue de R.
3. [RK) partage l’angle $\widehat{SRT}$ en deux angles égaux : c’est sa bissectrice.

À retenir : On repère d’abord si la droite passe par un sommet, puis l’information donnée : un milieu, un angle droit ou deux angles égaux.

1. Vrai : par définition, une médiane joint un sommet au milieu du côté opposé.
2. Faux : une médiatrice passe par le milieu d’un côté. Elle ne passe par le sommet opposé que dans certains triangles, comme le triangle isocèle.
3. Faux : dans un triangle qui a un angle obtus, le pied de deux hauteurs se trouve sur le prolongement d’un côté.

À retenir : Une propriété vraie dans un triangle particulier ne l’est pas forcément dans tous les triangles.

1. O est sur la médiatrice de [EF], donc $OF=OE=3,6$ cm. O est sur la médiatrice de [FG], donc $OG=OF=3,6$ cm.
2. O est à égale distance des trois sommets : c’est le centre du cercle circonscrit, de rayon 3,6 cm.
3. Oui : $OE=OG$, donc O est à égale distance de E et de G. Il appartient à la médiatrice de [EG].

À retenir : Un point d’une médiatrice est à égale distance des deux extrémités du segment, et réciproquement.

1. (AB) passe par B et elle est perpendiculaire à (AC) : c’est la hauteur issue de B. De même, (AC) est la hauteur issue de C.
2. Les trois hauteurs passent par A : l’orthocentre est le sommet A de l’angle droit.
3. (AH) est perpendiculaire à (BC) : le triangle ABH est rectangle en H.

À retenir : Dans un triangle rectangle, les deux côtés de l’angle droit sont des hauteurs et l’orthocentre est le sommet de l’angle droit.

1. I est le milieu de [KL] : $KI=7÷2=3,5$ cm.
2. P est sur la médiatrice de [KL] : $PL=PK=5$ cm.
3. $PK=PL$ : le triangle KPL est isocèle en P.

À retenir : La médiatrice d’un segment le coupe en son milieu, et chacun de ses points est à égale distance des deux extrémités.

1. $AG=\frac{2}{3}\times 15=10$ cm et $GI=\frac{1}{3}\times 15=5$ cm.
2. $AG=\frac{2}{3}\times 7,5=5$ cm.
3. $GI=AG÷2=8,4÷2=4,2$ cm, donc $AI=AG+GI=8,4+4,2=12,6$ cm.

À retenir : Sur la médiane [AI], le centre de gravité vérifie $AG=\frac{2}{3}AI$, $GI=\frac{1}{3}AI$ et $AG=2GI$.

1. $DG=\frac{2}{3}\times DK=\frac{2}{3}\times 12=8$ cm.
2. $GL=\frac{1}{3}\times EL=\frac{1}{3}\times 9=3$ cm.
3. $FG=2\times GM=2\times 2,5=5$ cm, puis $FM=FG+GM=5+2,5=7,5$ cm.

À retenir : Le centre de gravité partage chaque médiane de la même façon : deux tiers du côté du sommet, un tiers du côté du milieu.

1. On construit le milieu I de [BC] et le milieu J de [AC], puis on trace [AI] et [BJ]. Leur point d’intersection est G.
2. Oui : (CK) est la troisième médiane, et les trois médianes d’un triangle sont concourantes en G.
3. On mesure $CK\approx 7,2$ cm. Alors $CG=\frac{2}{3}\times CK\approx \frac{2}{3}\times 7,2=4,8$ cm.

À retenir : Deux médianes suffisent pour construire G ; la troisième sert à contrôler la précision du tracé.

1. Une bissectrice partage l’angle en deux angles égaux : $\widehat{IBC}=64^{\circ }÷2=32^{\circ }$ et $\widehat{ICB}=48^{\circ }÷2=24^{\circ }$.
2. Dans le triangle BIC, la somme des angles vaut $180^{\circ }$ : $\widehat{BIC}=180^{\circ }-32^{\circ }-24^{\circ }=124^{\circ }$.
3. I est le point d’intersection des bissectrices : c’est le centre du cercle inscrit, à égale distance des trois côtés.

À retenir : Les bissectrices d’un triangle se coupent au centre du cercle inscrit.

1. (AI) est la médiane issue de A. Comme le triangle est isocèle en A, c’est aussi la hauteur issue de A, la médiatrice de [BC] et la bissectrice de l’angle $\widehat{BAC}$.
2. (AI) est la bissectrice de $\widehat{BAC}$ : $\widehat{BAI}=40^{\circ }÷2=20^{\circ }$.
3. I est le milieu de [BC] : $BI=6÷2=3$ cm. (AI) est perpendiculaire à (BC), donc $\widehat{AIB}=90^{\circ }$.

À retenir : Dans un triangle isocèle, la médiane issue du sommet principal est aussi hauteur, médiatrice de la base et bissectrice.

1. $AG=\frac{2}{3}\times 6,9=4,6$ cm et $GI=\frac{1}{3}\times 6,9=2,3$ cm.
2. Dans un triangle équilatéral, chaque médiane est aussi une médiatrice. G est donc sur les trois médiatrices : c’est le centre du cercle circonscrit.
3. Le cercle circonscrit passe par A : son rayon est $GA=4,6$ cm. Le cercle inscrit touche [BC] en I, car (GI) est perpendiculaire à (BC) : son rayon est $GI=2,3$ cm.

À retenir : Dans un triangle équilatéral, les médianes, les hauteurs, les médiatrices et les bissectrices sont confondues : les quatre centres aussi.

1. A appartient à la médiatrice de [BC]. Or tout point d’une médiatrice est à égale distance des extrémités du segment, donc $AB=AC$.
2. Le triangle ABC a deux côtés de même longueur : il est isocèle en A.
3. Oui. La médiatrice de [BC] passe par A et par I : c’est la droite (AI), la médiane issue de A. Elle est perpendiculaire à (BC), c’est donc aussi la hauteur issue de A.

À retenir : On écrit la donnée, on cite la propriété de la médiatrice, puis on conclut avec les points de la figure.

1. $AG=\frac{2}{3}\times 18=12$ cm.
2. $GJ=\frac{1}{3}\times 13,5=4,5$ cm.
3. Non. Le milieu de [AI] est à $18÷2=9$ cm de A, alors que G est à 12 cm de A. Le centre de gravité n’est pas le milieu de la médiane.

À retenir : Le centre de gravité se place aux deux tiers de la médiane à partir du sommet, pas en son milieu.

1. C’est le centre du cercle circonscrit. On le construit avec les médiatrices des côtés.
2. C’est le centre du cercle inscrit. On le construit avec les bissectrices des angles.
3. G n’est pas le milieu de [AI] : il est aux deux tiers de la médiane à partir de A. La bonne égalité est $AG=2GI$.

À retenir : Chaque famille de droites a son point de concours : on choisit les droites d’après la propriété recherchée.