Droites remarquables dans le triangle

Méthode

Construire une hauteur

1. Place un côté de l’équerre sur la droite (BC), prolongée si nécessaire.
2. Fais glisser l’équerre jusqu’à ce que l’autre côté passe par A.
3. Trace la perpendiculaire et marque le pied H.
4. Code l’angle droit.

Propriété

Orthocentre

Les trois hauteurs d’un triangle sont concourantes en un point appelé orthocentre. Dans un triangle obtus, ce point est à l’extérieur ; dans un triangle rectangle, c’est le sommet de l’angle droit.

Méthode

Construire au compas

1. Choisis un rayon strictement supérieur à la moitié de BC.
2. Trace deux arcs de même rayon, de centres B et C, qui se coupent en deux points.
3. Relie les deux intersections : tu obtiens la médiatrice de [BC].

Propriété

Centre du cercle circonscrit

Les trois médiatrices d’un triangle se rencontrent en O, centre du cercle passant par les trois sommets. On a OA = OB = OC.

Prouver l’équidistance

O appartient aux médiatrices de [AB] et de [AC]. Pourquoi le cercle de centre O passant par A passe-t-il aussi par B et C ?

1. La première médiatrice donne OA = OB ; la seconde donne OA = OC.
2. Les trois sommets sont donc à la même distance de O, qui est le rayon du cercle.

Propriété

Centre du cercle inscrit

Les trois bissectrices intérieures se rencontrent en un point situé à égale distance des trois côtés : c’est le centre du cercle inscrit. La distance à un côté se mesure perpendiculairement à la droite qui le porte.

Partager un angle

L’angle BAC mesure 68°. La demi-droite [AI) est sa bissectrice. Calculer BAI.

1. La bissectrice crée deux angles égaux.
2. $\widehat{BAI}=68^{\circ }÷2=34^{\circ }$.

Méthode

Construire les médianes

1. Construis le milieu I de [BC], puis trace (AI).
2. Construis le milieu J de [AC], puis trace (BJ).
3. Nomme G leur point d’intersection.
4. La troisième médiane passe aussi par G.

Propriété

Position sur une médiane

Les trois médianes sont concourantes au centre de gravité G. Sur [AI], on a $AG=\frac{2}{3}AI$, $GI=\frac{1}{3}AI$ et $AG=2GI$. G est à l’intérieur du triangle.

Calcul direct

AI = 9 cm. Calculer AG et GI.

1. $AG=\frac{2}{3}\times 9=6$ cm.
2. $GI=\frac{1}{3}\times 9=3$ cm.
3. Vérification : AG + GI = 9 cm et AG = 2GI.

Retrouver la médiane

GI = 2,4 cm. Calculer AI et AG.

1. GI représente un tiers de AI, donc $AI=3\times 2,4=7,2$ cm.
2. $AG=2\times 2,4=4,8$ cm.