Nombres rationnels 2AC : exercices corrigés

1. Oui : $-12=\frac{-12}{1}$ est le quotient de deux entiers.
2. Oui : $2,5=\frac{25}{10}=\frac{5}{2}$.
3. Oui : c’est le quotient de deux entiers et son dénominateur est non nul.
4. Non : le dénominateur est nul, cette écriture ne désigne aucun nombre.

À retenir : Un rationnel est un quotient de deux entiers dont le dénominateur n’est pas nul. Le numérateur, lui, peut être nul.

1. Un seul signe négatif : $\frac{4}{-9}=-\frac{4}{9}$.
2. Deux signes négatifs donnent un quotient positif : $\frac{-11}{-6}=\frac{11}{6}$.
3. Un seul signe négatif : $\frac{-7}{3}=-\frac{7}{3}$.
4. Le numérateur est nul : $\frac{0}{-5}=0$.

À retenir : Deux entiers de même signe donnent un quotient positif, deux entiers de signes contraires un quotient négatif.

1. $0,4=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$, en divisant les deux termes par 2.
2. $-1,5=-\frac{15}{10}=-\frac{3}{2}$, en divisant par 5.
3. $0,75=\frac{75}{100}=\frac{3}{4}$, en divisant par 25.
4. $-0,125=-\frac{125}{1000}=-\frac{1}{8}$, en divisant par 125.

À retenir : Un décimal s’écrit d’abord avec le dénominateur 10, 100 ou 1 000, puis on simplifie.

1. On multiplie les deux termes par 3 : $\frac{2}{7}=\frac{6}{21}$.
2. On multiplie les deux termes par 4 : $-\frac{5}{6}=-\frac{20}{24}$.
3. On multiplie les deux termes par 7 : $\frac{-9}{4}=\frac{-63}{28}$.
4. On divise les deux termes par 12 et le quotient est négatif : $\frac{36}{-48}=-\frac{3}{4}$.

À retenir : Multiplier ou diviser le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul ne change pas le quotient.

1. 24 et 36 sont divisibles par 12 : $\frac{24}{36}=\frac{2}{3}$.
2. 35 et 49 sont divisibles par 7 : $-\frac{35}{49}=-\frac{5}{7}$.
3. 54 et 72 sont divisibles par 18 : $\frac{-54}{72}=-\frac{3}{4}$.
4. Deux signes négatifs donnent un quotient positif, et 48 et 80 sont divisibles par 16 : $\frac{-48}{-80}=\frac{3}{5}$.

À retenir : On place d’abord le signe, puis on divise les deux termes par un diviseur commun jusqu’à ne plus en trouver.

1. Vrai : on divise 26 et 65 par 13.
2. Faux : on divise 15 et 35 par 5, ce qui donne $\frac{15}{35}=\frac{3}{7}$. On ne barre pas des chiffres.
3. Vrai : on divise 27 et 45 par 9 et le quotient est négatif.

À retenir : On simplifie par un diviseur commun aux deux termes, jamais en supprimant des chiffres qui se ressemblent.

1. $9\times 20=180$ et $12\times 15=180$ : les deux fractions sont égales.
2. $(-8)\times 21=-168$ et $14\times (-12)=-168$ : les deux nombres sont égaux.
3. $7\times 13=91$ et $9\times 10=90$ : les produits sont différents, les fractions ne sont pas égales.

À retenir : Pour des dénominateurs non nuls, $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ exactement lorsque $a\times d=b\times c$.

1. Au dénominateur 30 : $\frac{7}{10}=\frac{21}{30}$ et $\frac{11}{15}=\frac{22}{30}$. Comme $21<22$, on a $\frac{7}{10}<\frac{11}{15}$.
2. Au dénominateur 36 : $-\frac{4}{9}=-\frac{16}{36}$ et $-\frac{5}{12}=-\frac{15}{36}$. Comme $-16<-15$, on a $-\frac{4}{9}<-\frac{5}{12}$.
3. Un nombre négatif est inférieur à un nombre positif : $-\frac{2}{3}<\frac{1}{10}$.

À retenir : On regarde d’abord les signes. Pour deux nombres de même signe, on compare les numérateurs au même dénominateur positif.

1. Au dénominateur 12, les nombres s’écrivent $\frac{8}{12}$, $\frac{10}{12}$ et $\frac{7}{12}$. Donc $\frac{7}{12}<\frac{2}{3}<\frac{5}{6}$.
2. Au dénominateur 8, ils s’écrivent $-\frac{4}{8}$, $-\frac{3}{8}$ et $-\frac{6}{8}$. Comme $-6<-4<-3$, on a $-\frac{3}{4}<-\frac{1}{2}<-\frac{3}{8}$.
3. Au dénominateur 10, ils s’écrivent $-\frac{7}{10}$, $\frac{6}{10}$, $0$ et $-\frac{5}{10}$. Donc $-\frac{7}{10}<-\frac{1}{2}<0<\frac{3}{5}$.

À retenir : Les négatifs précèdent zéro, puis viennent les positifs. Au même dénominateur positif, l’ordre est celui des numérateurs.

1. Chaque intervalle représente $\frac{1}{5}$ d’unité : l’abscisse de A est $\frac{3}{5}$.
2. B est à gauche de l’origine, son abscisse est négative : $-\frac{7}{5}$.
3. $-\frac{10}{5}<-\frac{7}{5}<-\frac{5}{5}$, donc B se trouve entre $-2$ et $-1$.

À retenir : On compte les intervalles, pas les traits : le dénominateur est le nombre d’intervalles dans une unité.

1. $\frac{8}{4}<\frac{11}{4}<\frac{12}{4}$, donc $2<\frac{11}{4}<3$.
2. $-\frac{10}{2}<-\frac{9}{2}<-\frac{8}{2}$, donc $-5<-\frac{9}{2}<-4$.
3. $-\frac{15}{5}<-\frac{13}{5}<-\frac{10}{5}$, donc $-3<-\frac{13}{5}<-2$.

À retenir : On cherche les deux multiples du dénominateur qui entourent le numérateur.

1. $7÷8=0,875$ : l’égalité $\frac{7}{8}=0,875$ est exacte.
2. $5÷6=0,8333\dots$ : la division ne s’arrête pas. Arrondi au centième : $\frac{5}{6}\approx 0,83$.
3. $9÷20=0,45$, donc $-\frac{9}{20}=-0,45$ : la valeur est exacte.

À retenir : Le signe $=$ annonce une valeur exacte, le signe $\approx$ une valeur approchée.

1. Rim : $\frac{9}{15}=\frac{3}{5}$. Anas : $\frac{11}{20}$, fraction déjà irréductible.
2. $\frac{3}{5}=\frac{12}{20}$ et $\frac{12}{20}>\frac{11}{20}$ : la proportion de Rim est la plus grande.
3. Non : Anas a réussi plus de tirs, mais il en a tenté davantage. On compare des proportions, pas des nombres de tirs.

À retenir : Pour comparer deux réussites sur des totaux différents, on compare les fractions, pas seulement les numérateurs.

1. Un quart d’unité mesure $8÷4=2$ cm, donc trois quarts mesurent 6 cm. L’abscisse est négative : E se place 6 cm à gauche de l’origine.
2. Un huitième d’unité mesure 1 cm, donc cinq huitièmes mesurent 5 cm. F se place 5 cm à droite de l’origine.
3. F est à 5 cm de l’origine et E à 6 cm : F est le plus proche. On retrouve $\frac{5}{8}<\frac{6}{8}$.

À retenir : La distance à l’origine se lit sans le signe ; le signe indique seulement le côté de l’origine.

1. Au dénominateur 12 : $\frac{1}{3}=\frac{4}{12}$ et $\frac{1}{2}=\frac{6}{12}$. Le nombre $\frac{5}{12}$ convient.
2. $-\frac{3}{4}=-\frac{9}{12}$ : il faut écrire $-9$. Les produits en croix le confirment : $(-9)\times 4=-36$ et $12\times (-3)=-36$.
3. Pour deux négatifs de même dénominateur positif, on compare les numérateurs $-7$ et $-5$. Comme $-7<-5$, on a $-\frac{7}{9}<-\frac{5}{9}$.

À retenir : Un dénominateur commun permet d’intercaler, de compléter et de comparer des fractions.