Les nombres rationnels

Propriété

Signe du quotient

Deux entiers non nuls de même signe donnent un quotient positif. Deux entiers de signes contraires donnent un quotient négatif. Ainsi, $\frac{-3}{4}=\frac{3}{-4}=-\frac{3}{4}$ et $\frac{-3}{-4}=\frac{3}{4}$.

Choisir un dénominateur positif

Réécrire $\frac{7}{-5}$ et $\frac{-8}{-3}$.

1. $\frac{7}{-5}=-\frac{7}{5}$ : un seul signe négatif.
2. $\frac{-8}{-3}=\frac{8}{3}$ : deux signes négatifs.

Propriété

Écritures équivalentes

Multiplier ou diviser le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul ne change pas le quotient. Pour $b\ne 0$ et $k\ne 0$, $\frac{a}{b}=\frac{ak}{bk}$.

Fabriquer une écriture utile

Écrire $-\frac{2}{3}$ avec le dénominateur 12.

1. Comme $3\times 4=12$, multiplie aussi le numérateur par 4.
2. $-\frac{2}{3}=-\frac{8}{12}$.

Méthode

Réduire étape par étape

1. Place le signe devant la fraction et garde un dénominateur positif.
2. Cherche un diviseur commun au numérateur et au dénominateur.
3. Divise les deux par ce diviseur.
4. Recommence jusqu’à ne plus trouver de diviseur commun autre que 1.

Une fraction négative

Simplifier $\frac{-42}{56}$.

1. 42 et 56 sont divisibles par 7 : $\frac{-42}{56}=-\frac{6}{8}$.
2. 6 et 8 sont divisibles par 2 : $-\frac{6}{8}=-\frac{3}{4}$.
3. 3 et 4 n’ont pas de diviseur commun supérieur à 1 : la fraction est irréductible.

Propriété

Produits en croix

Pour $b\ne 0$ et $d\ne 0$, $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ si et seulement si $ad=bc$. Cette propriété permet de tester une égalité sans utiliser de valeur approchée.

Deux écritures à tester

Les nombres $-\frac{6}{9}$ et $-\frac{10}{15}$ sont-ils égaux ?

1. $(-6)\times 15=-90$ et $9\times (-10)=-90$.
2. Les produits sont égaux : les deux fractions désignent le même nombre.

Méthode

Une méthode sûre

1. Compare d’abord les signes : un négatif est inférieur à un positif.
2. Si nécessaire, écris les deux fractions avec le même dénominateur positif.
3. Compare alors leurs numérateurs comme des nombres relatifs.

Comparer deux négatifs

Comparer $-\frac{5}{6}$ et $-\frac{3}{4}$.

1. Avec le dénominateur 12, on obtient $-\frac{10}{12}$ et $-\frac{9}{12}$.
2. Comme $-10<-9$, alors $-\frac{5}{6}<-\frac{3}{4}$.

Repérer trois quarts négatifs

Placer $-\frac{3}{4}$.

1. Partage l’unité entre 0 et −1 en quatre intervalles égaux.
2. À partir de 0, avance de trois intervalles vers la gauche.
3. Le point obtenu est entre −1 et 0, à la distance 0,75 de zéro.