Puissances 2AC : exercices corrigés

1. $3^4=3\times 3\times 3\times 3=81$.
2. ${\left(\frac{3}{5}\right)}^2=\frac{3}{5}\times \frac{3}{5}=\frac{9}{25}$.
3. $(-2{)}^5=(-2)\times (-2)\times (-2)\times (-2)\times (-2)=-32$ : cinq facteurs négatifs donnent un produit négatif.
4. ${\left(-\frac{1}{3}\right)}^3=\left(-\frac{1}{3}\right)\times \left(-\frac{1}{3}\right)\times \left(-\frac{1}{3}\right)=-\frac{1}{27}$.

À retenir : L’exposant compte le nombre de facteurs égaux à la base.

1. La base est $-5$ : $(-5{)}^2=(-5)\times (-5)=25$.
2. La base est seulement 5 : $-5^2=-(5\times 5)=-25$.
3. L’exposant est impair : $(-1{)}^7=-1$.
4. $(-2{)}^4=16$, donc $-(-2{)}^4=-16$.

À retenir : Les parenthèses délimitent la base : sans elles, le signe $-$ ne fait pas partie de la base.

1. Positif : la base $-7$ est négative et l’exposant 12 est pair.
2. Négatif : la base $-3$ est négative et l’exposant 15 est impair.
3. Négatif : la base est 4, donc $4^{10}$ est positif, et le signe $-$ est placé devant.
4. Positif : la base $-\frac{2}{5}$ est négative et l’exposant 8 est pair.

À retenir : Une puissance de base négative est positive si l’exposant est pair, négative s’il est impair.

1. $9^0=1$ : toute puissance d’exposant 0 d’un nombre non nul vaut 1.
2. $(-6{)}^1=-6$ : l’exposant 1 redonne la base.
3. ${\left(\frac{4}{7}\right)}^0=1$, car la base est non nulle.
4. $0^5=0$ : un produit de facteurs nuls est nul.

À retenir : Pour $a$ non nul, $a^0=1$ ; pour tout $a$, $a^1=a$.

1. $3^{-2}=\frac{1}{3^2}=\frac{1}{9}$.
2. $2^{-5}=\frac{1}{2^5}=\frac{1}{32}$.
3. $(-4{)}^{-2}=\frac{1}{(-4{)}^2}=\frac{1}{16}$ : l’exposant est pair, le résultat est positif.
4. $(-5{)}^{-3}=\frac{1}{(-5{)}^3}=-\frac{1}{125}$ : l’exposant est impair, le résultat est négatif.

À retenir : Pour $a$ non nul, $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ : un exposant négatif indique un inverse, pas un nombre négatif.

1. L’inverse de $\frac{3}{4}$ est $\frac{4}{3}$ : ${\left(\frac{3}{4}\right)}^{-2}={\left(\frac{4}{3}\right)}^2=\frac{16}{9}$.
2. L’inverse de $\frac{1}{5}$ est 5 : ${\left(\frac{1}{5}\right)}^{-3}=5^3=125$.
3. L’exposant $-1$ donne l’inverse : ${\left(-\frac{2}{7}\right)}^{-1}=-\frac{7}{2}$.

À retenir : Pour une fraction non nulle, ${\left(\frac{a}{b}\right)}^{-n}={\left(\frac{b}{a}\right)}^n$.

1. On additionne les exposants : $2^5\times 2^{-3}=2^{5+(-3)}=2^2$.
2. $7^{-4}\times 7^{-2}=7^{-4+(-2)}=7^{-6}$.
3. On soustrait les exposants : $\frac{3^2}{3^6}=3^{2-6}=3^{-4}$.
4. $\frac{5^{-1}}{5^{-4}}=5^{-1-(-4)}=5^3$.

À retenir : Même base : on additionne les exposants dans un produit, on les soustrait dans un quotient.

1. On multiplie les exposants : $(2^3{)}^2=2^{3\times 2}=2^6=64$.
2. $(10^{-2}{)}^3=10^{-2\times 3}=10^{-6}$.
3. $(3^{-1}{)}^{-4}=3^{(-1)\times (-4)}=3^4=81$.
4. $(5^2{)}^{-1}=5^{-2}$, donc $(5^2{)}^{-1}\times 5^3=5^{-2+3}=5^1=5$.

À retenir : Dans une puissance de puissance, on multiplie les exposants : $(a^m{)}^n=a^{m\times n}$.

1. $2^3\times 5^3=(2\times 5{)}^3=10^3=1000$.
2. $4^2\times 25^2=(4\times 25{)}^2=100^2=10000$.
3. $\frac{6^4}{3^4}={\left(\frac{6}{3}\right)}^4=2^4=16$.
4. $0,5^6\times 2^6=(0,5\times 2{)}^6=1^6=1$.

À retenir : Même exposant : $a^n\times b^n=(a\times b{)}^n$ et, pour $b$ non nul, $\frac{a^n}{b^n}={\left(\frac{a}{b}\right)}^n$.

1. $10^4=10000$ : un 1 suivi de quatre zéros.
2. $10^{-4}=\frac{1}{10000}=0,0001$.
3. Multiplier par $10^2$, c’est multiplier par 100 : $3,7\times 10^2=370$.
4. Multiplier par $10^{-2}$, c’est diviser par 100 : $4,5\times 10^{-2}=0,045$.

À retenir : Multiplier par $10^n$ décale les chiffres de $n$ rangs vers la gauche ; multiplier par $10^{-n}$ les décale de $n$ rangs vers la droite.

1. $52000=5,2\times 10^4$.
2. $0,0073=7,3\times 10^{-3}$.
3. $612,4=6,124\times 10^2$.
4. $0,00009=9\times 10^{-5}$.

À retenir : On place la virgule après le premier chiffre non nul, puis on choisit l’exposant de 10 qui redonne le nombre de départ.

1. On regroupe les coefficients et les puissances de 10 : $(2\times 4)\times 10^{3+5}=8\times 10^8$.
2. $(5\times 6)\times 10^{-2+4}=30\times 10^2=3\times 10^3$ : on ramène le coefficient entre 1 et 10.
3. $\frac{8}{2}\times 10^{6-2}=4\times 10^4$.

À retenir : On calcule séparément les coefficients et les puissances de 10, puis on normalise le coefficient si nécessaire.

1. Une minute compte 60 secondes : $60\times 3\times 10^5=180\times 10^5=1,8\times 10^7$ km.
2. On divise la distance par la distance parcourue en une seconde : $\frac{1,5\times 10^8}{3\times 10^5}=0,5\times 10^3=500$ secondes.
3. $500=8\times 60+20$ : la lumière met 8 minutes et 20 secondes.

À retenir : Pour diviser deux nombres en notation scientifique, on divise les coefficients et on soustrait les exposants de 10.

1. $500000=5\times 10^5$, donc la masse vaut $5\times 10^5\times 2\times 10^{-6}=10\times 10^{-1}=1$ kg.
2. On divise la masse voulue par la masse d’un grain : $\frac{3}{2\times 10^{-6}}=1,5\times 10^6$ grains.
3. $1,5\times 10^6=1500000$ : il faut un million et demi de grains.

À retenir : Diviser par $10^{-6}$ revient à multiplier par $10^6$.

1. Faux : $(-2{)}^4=16$, alors que $-2^4=-16$.
2. Vrai : $\frac{10^3}{10^{-2}}=10^{3-(-2)}=10^5$.
3. Faux : $(1+4{)}^2=5^2=25$, alors que $1^2+4^2=1+16=17$.
4. Vrai : $4^{-1}+4^{-1}=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}=2^{-1}$.

À retenir : Les règles sur les exposants concernent les produits et les quotients, jamais les sommes.