Puissances

Propriété

Exposants particuliers

Pour tout a, $a^1=a$. Pour $a\ne 0$, $a^0=1$. Pour tout entier $n\ge 1$, $0^n=0$. Les écritures $0^0$ et les puissances négatives de 0 ne sont pas utilisées.

Propriété

Base négative

Une puissance de base négative est positive si son exposant entier est pair et négative s’il est impair. Une puissance de base positive est positive.

Parenthèses et signe

Calculer $(-3{)}^2$, $-3^2$ et $(-3{)}^3$.

1. $(-3{)}^2=(-3)\times (-3)=9$.
2. $-3^2=-(3\times 3)=-9$ : la base de la puissance est seulement 3.
3. $(-3{)}^3=-27$ : trois facteurs négatifs donnent un résultat négatif.

Passer par l’inverse

Calculer $2^{-3}$ et $(-2{)}^{-3}$.

1. $2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}$.
2. $(-2{)}^{-3}=\frac{1}{(-2{)}^3}=-\frac{1}{8}$. Le signe dépend de la base et de la parité, pas seulement du signe de l’exposant.

Une fraction à un exposant négatif

Calculer $(\frac{2}{3}{)}^{-2}$.

1. L’inverse de $\frac{2}{3}$ est $\frac{3}{2}$.
2. $(\frac{2}{3}{)}^{-2}=(\frac{3}{2}{)}^2=\frac{9}{4}$.

Combiner des puissances de 10

Simplifier $\frac{10^{-2}\times 10^5}{10^4}$.

1. Le numérateur vaut $10^{-2+5}=10^3$.
2. Le quotient vaut $10^{3-4}=10^{-1}=0,1$.

Méthode

Écrire un nombre en notation scientifique

1. Place la virgule après le premier chiffre non nul pour obtenir un coefficient entre 1 inclus et 10 exclu.
2. Compte les rangs de déplacement.
3. Choisis l’exposant qui redonne le nombre initial : positif pour un grand nombre, négatif pour un nombre entre 0 et 1.
4. Vérifie en réécrivant la valeur décimale.

Grand et petit nombres

Écrire 725 000 et 0,0042 en notation scientifique.

1. $725000=7,25\times 10^5$.
2. $0,0042=4,2\times 10^{-3}$.
3. L’écriture $42\times 10^{-4}$ est égale au second nombre, mais elle n’est pas scientifique : son coefficient dépasse 10.

Produit en notation scientifique

Calculer $(3\times 10^4)\times (4\times 10^{-2})$.

1. Regroupe les coefficients et les puissances : $12\times 10^2$.
2. Normalise le coefficient : $12\times 10^2=1,2\times 10^3$.

Un modèle de croissance

Une culture contient initialement 500 cellules. Dans un modèle simplifié, le nombre double quatre fois. Calculer l’effectif final.

1. Quatre doublements correspondent au facteur $2^4=16$.
2. $500\times 16=8000=8\times 10^3$ cellules. Le départ n’est pas compté comme un doublement.