Nombres relatifs 2AC : exercices corrigés

1. L’opposé de $-8$ est $8$ et sa distance à zéro est $8$.
2. L’opposé de $+3,5$ est $-3,5$ et sa distance à zéro est $3,5$.
3. L’opposé de $0$ est $0$ et sa distance à zéro est $0$.

À retenir : Deux opposés ont pour somme zéro. La distance à zéro est toujours positive ou nulle.

1. Les deux nombres sont négatifs : on additionne $7$ et $5$, puis on garde le signe $-$. Le résultat est $-12$.
2. Les signes sont contraires. Comme $12>8$, on garde le signe de $-12$ : $(-12)+8=-4$.
3. Les signes sont contraires et $6,5>2,5$ : le résultat est positif et $6,5+(-2,5)=6,5-2,5=4$.

À retenir : Identifiez d’abord si les signes sont identiques ou contraires.

1. Il faut l’opposé de $-9$, c’est-à-dire $9$. En effet, $(-9)+9=0$.
2. Le nombre manquant vaut $-11-(-4)=-11+4=-7$. Vérification : $(-7)+(-4)=-11$.
3. Le nombre manquant vaut $-1-2,5=-3,5$. Vérification : $2,5+(-3,5)=-1$.

À retenir : Pour retrouver un terme, soustrayez l’autre terme de la somme, puis vérifiez.

1. $5-(-8)=5+8=13$.
2. $-6-(+4)=-6+(-4)=-10$.
3. $-3,2-(-5,7)=-3,2+5,7=2,5$.

À retenir : Soustraire un nombre, c’est ajouter son opposé : $a-b=a+(-b)$.

1. $A=(9+6)-(14+4)=15-18=-3$.
2. $B=(8+2)-(4,5+5,5)=10-10=0$.
3. $C=(14-14)+(-9+9)=0+0=0$.

À retenir : Un terme se déplace avec son signe. Regrouper les opposés simplifie le calcul.

1. Faux. Une somme de deux négatifs est négative : $(-4)+(-6)=-10$.
2. Vrai. Soustraire $-5$ revient à ajouter $5$ : $3-(-5)=3+5=8$.
3. Faux. $-7-2=-7+(-2)=-9$.

À retenir : La règle « deux signes moins donnent plus » ne s’applique pas à une addition de deux négatifs.

1. Les signes sont contraires, donc le produit est négatif : $(-6)\times 4=-24$.
2. Les signes sont identiques, donc le produit est positif : $(-2,5)\times (-8)=2,5\times 8=20$.
3. Trois facteurs négatifs donnent un produit négatif. Comme $5\times 2\times 3=30$, le résultat est $-30$.

À retenir : Pour des facteurs non nuls, comptez les facteurs négatifs avant de multiplier les distances à zéro.

1. $(-42)÷6=-7$. Vérification : $(-7)\times 6=-42$.
2. Le quotient est positif : $7,2÷0,9=72÷9=8$. Vérification : $8\times (-0,9)=-7,2$.
3. $0÷(-5)=0$ car $0\times (-5)=0$. En revanche, $(-5)÷0$ est impossible : aucun nombre multiplié par $0$ ne donne $-5$.

À retenir : Le diviseur doit être non nul. Deux signes identiques donnent un quotient positif lorsque le dividende est non nul.

1. Le produit est négatif : il contient trois facteurs négatifs et aucun facteur nul.
2. Le produit est positif : il contient quatre facteurs négatifs, donc un nombre pair.
3. Le produit vaut zéro : un facteur est nul, quels que soient les signes des autres facteurs.

À retenir : Cherchez d’abord un éventuel facteur nul ; sinon, comptez les facteurs négatifs.

1. On calcule d’abord le produit : $A=-5+(-12)=-17$.
2. Division et multiplication ont la même priorité, on avance donc de gauche à droite : $B=(-6)\times 2=-12$.
3. $C=-12+7+5=-5+5=0$.

À retenir : Produits et quotients précèdent les sommes et différences. À priorité égale, avancez de gauche à droite.

1. $-3+5=2$, donc $D=6-4\times 2=6-8=-2$.
2. $5-(-1)=6$, donc $E=(-24)÷6=-4$.
3. $7-10=-3$, puis $3-(-3)=6$. Ainsi $F=(-2)\times 6=-12$.

À retenir : Chaque paire de parenthèses impose un regroupement. Conservez les signes en recopiant l’expression.

1. Nora regroupe à tort les deux derniers nombres. Sans parenthèses supplémentaires, on calcule de gauche à droite : $36÷(-4)\times 3=(-9)\times 3=-27$.
2. Sami n’a pas remplacé la soustraction par l’addition de l’opposé : $-3-(-7)=-3+7=4$.
3. Lina a effectué l’addition avant la multiplication. Le calcul correct est $-4+2\times 5=-4+10=6$.

À retenir : Identifiez précisément l’opération et sa priorité avant d’appliquer une règle de signes.

1. La température finale est $-5+11-8=6-8=-2$, soit $-2$ °C.
2. On calcule $\text{valeur finale}-\text{valeur initiale}$, soit $-2-(-5)=-2+5=3$. Il s’agit d’une hausse globale de $3$ °C.
3. Il faut une hausse de $4-(-2)=4+2=6$, soit $6$ °C, pour passer de $-2$ °C à $4$ °C.

À retenir : Distinguez la valeur finale de la variation : $\text{variation}=\text{valeur finale}-\text{valeur initiale}$.

1. Le score vaut $-5+6\times 4+4\times (-3)+2\times 0=-5+24-12=7$, soit 7 points.
2. La variation est $7-(-5)=7+5=12$ : elle a gagné 12 points par rapport au départ.
3. La dernière erreur fait perdre 3 points : $7+(-3)=4$, soit 4 points.

À retenir : Traduisez un gain par un nombre positif et une perte par un nombre négatif, puis respectez les priorités.

1. $-3-(-7)=-3+7=4$. Donc $G=4\times (-2)+(-6)=-8-6=-14$.
2. Non : $-5-2=-7$, tandis que $2-(-5)=2+5=7$. Ce contre-exemple montre que l’ordre compte dans une soustraction.
3. L’autre nombre est l’opposé, $6,5$. Leur produit est $(-6,5)\times 6,5=-42,25$, car les signes sont contraires et $6,5\times 6,5=42,25$.

À retenir : Un seul contre-exemple suffit à réfuter une affirmation qui prétend être vraie pour tous les nombres.