Symétrie axiale 2AC : exercices corrigés

1. Oui : (d) est la médiatrice de [AB].
2. Non : il manque la perpendicularité, (d) n’est pas la médiatrice de [AB].
3. Non : (d) ne passe pas par le milieu de [AB], les deux points ne sont pas à la même distance de l’axe.

À retenir : Deux points distincts sont symétriques par rapport à une droite exactement lorsque cette droite est la médiatrice du segment qui les joint.

1. H est le milieu de [MM′], donc $H{M}^{\prime }=MH=3,5$ cm et $M{M}^{\prime }=2\times 3,5=7$ cm.
2. H est le milieu de [MM′] : $MH=9÷2=4,5$ cm.
3. Elles sont perpendiculaires, car (d) est la médiatrice de [MM′].

À retenir : L’axe coupe le segment qui joint un point à son image en son milieu et perpendiculairement.

1. On trace la perpendiculaire à (d) qui passe par A ; elle coupe (d) en H. Sur cette perpendiculaire, de l’autre côté de (d), on reporte la longueur $HA$ au compas : on obtient A′, avec $H{A}^{\prime }=HA$.
2. $A{A}^{\prime }=AH+H{A}^{\prime }=4+4=8$ cm.
3. Un point de l’axe est son propre symétrique : P′ est confondu avec P.

À retenir : Une perpendiculaire à l’axe, puis un report de distance : ces deux gestes suffisent pour construire un symétrique.

1. L’image du segment [AB] est le segment [A′B′].
2. La symétrie conserve les longueurs : $A^{\prime }{B}^{\prime }=AB=5,2$ cm.
3. La symétrie conserve les milieux : I′ est le milieu de [A′B′], donc $A^{\prime }{I}^{\prime }=5,2÷2=2,6$ cm.

À retenir : Pour construire l’image d’un segment, on construit les images de ses deux extrémités, puis on les relie.

1. C’est le cercle de centre O′ et de rayon 3 cm : le centre a pour image O′ et le rayon est conservé.
2. (d) coupe [OO′] en son milieu, à 5 cm de O : $O{O}^{\prime }=2\times 5=10$ cm.
3. O serait son propre symétrique : l’image du cercle serait le cercle lui-même.

À retenir : L’image d’un cercle est le cercle de même rayon dont le centre est l’image du centre.

1. Les longueurs sont conservées : $A^{\prime }{B}^{\prime }=4$ cm, $A^{\prime }{C}^{\prime }=6$ cm et $B^{\prime }{C}^{\prime }=7$ cm.
2. $4+6+7=17$ : le périmètre est 17 cm, comme celui de ABC.
3. C est un point de l’axe : C′ est confondu avec C.

À retenir : Pour un triangle, on construit les images des trois sommets et on les relie dans le même ordre.

1. La symétrie conserve les mesures d’angles : $\widehat{E^{\prime }{F}^{\prime }{G}^{\prime }}=\widehat{EFG}=52^{\circ }$.
2. $\widehat{F^{\prime }{E}^{\prime }{G}^{\prime }}=\widehat{FEG}=90^{\circ }$ : le triangle E′F′G′ est rectangle en E′.
3. La somme des angles d’un triangle vaut $180^{\circ }$, donc $\widehat{E^{\prime }{G}^{\prime }{F}^{\prime }}=180^{\circ }-90^{\circ }-52^{\circ }=38^{\circ }$.

À retenir : Un angle et son image ont la même mesure ; le sommet de l’angle image est l’image du sommet.

1. La symétrie conserve le parallélisme : $(A^{\prime }{B}^{\prime })\parallel (C^{\prime }{D}^{\prime })$.
2. Elle conserve aussi la perpendicularité : $(E^{\prime }{F}^{\prime })\perp (A^{\prime }{B}^{\prime })$.
3. Non. Une droite et son image ne sont pas parallèles en général : c’est le parallélisme de deux droites entre elles qui est conservé.

À retenir : Deux droites parallèles ont des images parallèles ; deux droites perpendiculaires ont des images perpendiculaires.

1. Les longueurs et les angles droits sont conservés : R′S′T′U′ est un rectangle de dimensions 6 cm et 3,5 cm.
2. $2\times (6+3,5)=2\times 9,5=19$ : le périmètre est 19 cm.
3. $6\times 3,5=21$ : l’aire est 21 cm².

À retenir : Une figure et son image ont la même nature, le même périmètre et la même aire.

1. 2 axes : les médiatrices de ses côtés. Ses diagonales ne sont pas des axes de symétrie.
2. 3 axes : les médiatrices de ses côtés, qui passent chacune par un sommet.
3. 4 axes : les deux médiatrices des côtés et les deux diagonales.
4. Une infinité d’axes : toutes les droites qui passent par son centre.

À retenir : Une droite est un axe de symétrie d’une figure si la figure se superpose à elle-même par pliage le long de cette droite.

1. (d) échange B et C : le symétrique de B est C. Le point A est sur l’axe, il est son propre symétrique.
2. (d) est la médiatrice de [BC] : H est le milieu de [BC] et $BH=6÷2=3$ cm.
3. L’angle $\widehat{ACB}$ est l’image de l’angle $\widehat{ABC}$ : ils ont la même mesure.

À retenir : L’axe de symétrie d’un triangle isocèle passe par le sommet principal et c’est la médiatrice de la base.

1. Oui : cette diagonale échange les deux autres sommets et le carré se superpose à lui-même.
2. Non : par pliage le long de la diagonale, les deux moitiés ne se superposent pas, car la longueur et la largeur sont différentes.
3. Oui : cette droite passe par le centre, et toute droite qui passe par le centre est un axe de symétrie du cercle.

À retenir : On imagine le pliage le long de la droite : les deux parties doivent se recouvrir exactement.

1. Par définition du symétrique, (d) est la médiatrice de [EE′].
2. K appartient à la médiatrice de [EE′]. Or tout point d’une médiatrice est à égale distance des extrémités du segment, donc $KE=K{E}^{\prime }$.
3. Le triangle EKE′ a deux côtés de même longueur, $KE=K{E}^{\prime }$ : il est isocèle en K.

À retenir : On écrit la donnée, on cite la propriété utilisée, puis on conclut avec les noms des points de la figure.

1. B et C sont sur l’axe (BC) : chacun est son propre symétrique.
2. La symétrie conserve les longueurs : $A^{\prime }B=AB=5$ cm et $A^{\prime }C=AC=5$ cm. Les quatre côtés du quadrilatère mesurent 5 cm : ABA′C est un losange.
3. Périmètre : $4\times 5=20$ cm. Le logo réunit deux triangles de même aire : $2\times 12=24$ cm².

À retenir : Les points de l’axe restent en place ; les longueurs et les aires se retrouvent de l’autre côté de l’axe.

1. Faux : deux points situés du même côté de la droite, à 2 cm d’elle, ne sont pas symétriques. Il faut que la droite soit la médiatrice du segment qui les joint.
2. Vrai : chaque point de cette droite a son symétrique sur la même perpendiculaire à l’axe.
3. Vrai : la symétrie axiale conserve les aires.

À retenir : Un contre-exemple suffit pour montrer qu’une affirmation est fausse ; une propriété du cours justifie qu’elle est vraie.