Symétrie axiale
La symétrie axiale transforme une figure comme un miroir d’axe donné. Pour deux points distincts A et A′ symétriques, l’axe est la médiatrice de [AA′] : il coupe ce segment en son milieu et lui est perpendiculaire. En mathématiques 2AC, ces propriétés servent à construire des figures et à justifier des égalités.
À la fin de ce chapitre, vous saurez
- Construire le symétrique d’un point avec les instruments
- Construire les images d’un segment, d’une droite, d’un angle et d’un cercle
- Utiliser les propriétés conservées dans une démonstration
- Reconnaître les axes de symétrie des figures usuelles
PrérequisMédiatrice d’un segment · Droites perpendiculaires · Reporter une longueur au compas
Un bon cours, ça se partage.
Que signifie être symétrique par rapport à une droite ?
Imagine une feuille pliée suivant une droite (d). Deux points qui se superposent après le pliage sont symétriques par rapport à (d). Le pliage permet de découvrir la propriété, puis la règle et le compas permettent une construction précise.
Définition
Symétrique d’un point : Si A n’appartient pas à (d), son symétrique A′ est le point tel que (d) soit la médiatrice de [AA′]. Si A appartient à (d), son symétrique est A lui-même.
Attention
Être à la même distance de l’axe ne suffit pas : les deux points doivent aussi être sur une même perpendiculaire à l’axe. Un simple déplacement horizontal ne convient que si l’axe est vertical.
Comment construire A′ avec l’équerre et le compas ?
Méthode
Perpendiculaire et report de distance
- Trace la perpendiculaire à (d) passant par A ; elle coupe l’axe en H.
- Ouvre le compas à la longueur HA.
- Sur cette perpendiculaire, place A′ de l’autre côté de (d), avec HA′ = HA.
- Code l’angle droit et les deux longueurs égales.
Une distance à vérifier
A est situé à 2,4 cm de l’axe. Quelle est la longueur AA′ ?
- Le pied H de la perpendiculaire est le milieu de [AA′].
- cm.
Peut-on construire le symétrique au compas ?
Méthode
Deux points sur l’axe
- Choisis deux points distincts U et V sur (d).
- Trace un arc de centre U et de rayon UA.
- Trace un arc de centre V et de rayon VA.
- Leur deuxième point d’intersection, de l’autre côté de (d), est A′.
Les points U et V sont à égale distance de A et de A′. Ils appartiennent donc à la médiatrice de [AA′]. Comme deux points distincts déterminent une droite, cette médiatrice est précisément (UV), c’est-à-dire l’axe (d). Cette justification explique pourquoi la construction fonctionne.
Comment obtenir l’image d’une figure ?
| Figure de départ | Construction de son image |
|---|---|
| Segment [AB] | Construire A′ et B′, puis tracer [A′B′]. |
| Droite (AB) | Construire les images de deux points distincts, puis tracer la droite qui les joint. |
| Demi-droite [AB) | Construire A′ et B′, puis tracer [A′B′), d’origine A′. |
| Angle ABC | Construire A′, B′, C′ ; B′ est le sommet de l’angle image. |
| Cercle de centre O et rayon r | Construire O′ et tracer le cercle de centre O′ et de même rayon r. |
Pour un triangle, il suffit de construire les images des trois sommets et de les relier dans le même ordre. Un sommet placé sur l’axe reste à sa place. Pour un cercle, il est inutile de construire l’image de tous ses points : le centre image et le rayon déterminent tout le cercle.
Quelles propriétés la symétrie conserve-t-elle ?
Propriété
Longueurs et angles
Si A′ et B′ sont les images de A et B, alors A′B′ = AB. Un angle et son image ont la même mesure.
Propriété
Organisation des figures
La symétrie conserve l’alignement, les milieux, le parallélisme, la perpendicularité, les périmètres et les aires.
Démontrer sans mesurer
ABC est isocèle en A. A′B′C′ est son image. Quelle est la nature du triangle image ?
- Comme AB = AC et que la symétrie conserve les longueurs, A′B′ = AB et A′C′ = AC.
- Ainsi A′B′ = A′C′ : A′B′C′ est isocèle en A′.
Attention
L’image d’une droite n’est pas toujours parallèle à cette droite. Une droite oblique à l’axe donne en général une autre droite oblique. Ce qui est conservé, c’est le parallélisme entre deux droites et leurs deux images.
Quels points et quelles droites restent en place ?
Les points de l’axe sont les seuls points fixes. Une droite perpendiculaire à l’axe a pour image elle-même, mais ses points extérieurs à l’axe s’échangent deux à deux. L’axe a aussi pour image lui-même. Un cercle dont le centre est sur l’axe est conservé comme figure.
Définition
Axe de symétrie d’une figure : Une droite est un axe de symétrie d’une figure si l’image de la figure par cette symétrie est la figure elle-même.
| Figure | Nombre d’axes |
|---|---|
| Triangle isocèle non équilatéral | 1 |
| Triangle équilatéral | 3 |
| Rectangle non carré | 2 |
| Carré | 4 |
| Cercle | Une infinité : les droites passant par son centre |
Comment rédiger une démonstration de symétrie ?
Méthode
Donnée, propriété, conclusion
- Nomme les points et leurs images.
- Indique la propriété connue sur la figure de départ.
- Cite la conservation utile : longueur, angle, milieu ou alignement.
- Écris la conclusion avec les noms des points images.
Transporter un milieu
M est le milieu de [AB]. Démontrer que son image M′ est le milieu de [A′B′].
- A, M et B sont alignés, avec AM = MB.
- La symétrie conserve l’alignement et les longueurs : A′, M′ et B′ sont alignés et A′M′ = M′B′.
- M′ est donc le milieu de [A′B′].
Un dessin aide à comprendre, mais une impression visuelle ne démontre pas une égalité. Dans les exercices, distingue les codages donnés des propriétés que tu dois établir. Garde visibles les traits de construction pour expliquer ton travail.
Questions fréquentes
Comment construire un symétrique en 2AC ?
Quelles propriétés conserve la symétrie axiale ?
Quelle différence entre symétrie axiale et centrale ?
Comment construire le symétrique d’un cercle ?
Quiz : 12 questions sur ce chapitre
12 questions tirées au hasard parmi les 12 de ce chapitre : le quiz est différent à chaque visite. Une seule réponse est correcte, et vous voyez immédiatement si la vôtre l'est.
Q1L’axe de symétrie de A et A′ distincts est…
Réponse incorrecte
L’axe coupe le segment en son milieu et lui est perpendiculaire.
Bonne réponse : la médiatrice de [AA′]
L’axe coupe le segment en son milieu et lui est perpendiculaire.
Q2Un point situé sur l’axe…
Réponse incorrecte
Son image est lui-même : il se superpose à lui-même lors du pliage.
Bonne réponse : reste fixe
Son image est lui-même : il se superpose à lui-même lors du pliage.
Q3A est à 4 cm de l’axe. AA′ vaut…
Réponse incorrecte
L’axe passe par le milieu de [AA′], donc AA′ vaut deux fois la distance à l’axe.
Bonne réponse : 8 cm
L’axe passe par le milieu de [AA′], donc AA′ vaut deux fois la distance à l’axe.
Q4La symétrie conserve…
Réponse incorrecte
Les distances entre les points et leurs images correspondantes sont égales.
Bonne réponse : les longueurs
Les distances entre les points et leurs images correspondantes sont égales.
Q5L’image d’un cercle de rayon 3 cm a un rayon de…
Réponse incorrecte
La symétrie conserve les longueurs, donc le rayon du cercle.
Bonne réponse : 3 cm
La symétrie conserve les longueurs, donc le rayon du cercle.
Q6L’image du sommet B d’un angle ABC est…
Réponse incorrecte
Chaque point correspond à son image ; le sommet de l’angle devient B′.
Bonne réponse : B′
Chaque point correspond à son image ; le sommet de l’angle devient B′.
Q7Un carré possède…
Réponse incorrecte
Ses deux diagonales et ses deux droites passant par les milieux des côtés opposés sont des axes.
Bonne réponse : 4 axes
Ses deux diagonales et ses deux droites passant par les milieux des côtés opposés sont des axes.
Q8Une droite perpendiculaire à l’axe a pour image…
Réponse incorrecte
Elle est conservée comme ensemble de points, même si ses points s’échangent.
Bonne réponse : elle-même
Elle est conservée comme ensemble de points, même si ses points s’échangent.
Q9Deux points à même distance de l’axe sont forcément symétriques.
Réponse incorrecte
Il faut aussi qu’ils soient de part et d’autre sur une même perpendiculaire à l’axe.
Bonne réponse : Non
Il faut aussi qu’ils soient de part et d’autre sur une même perpendiculaire à l’axe.
Q10Le symétrique d’un milieu est…
Réponse incorrecte
La conservation de l’alignement et des longueurs conserve la propriété de milieu.
Bonne réponse : le milieu du segment image
La conservation de l’alignement et des longueurs conserve la propriété de milieu.
Q11L’image d’une demi-droite [AB) a pour origine…
Réponse incorrecte
L’origine A devient A′ ; la demi-droite image est [A′B′).
Bonne réponse : A′
L’origine A devient A′ ; la demi-droite image est [A′B′).
Q12Pour démontrer une égalité de longueurs, il suffit…
Réponse incorrecte
Une démonstration utilise les données et les propriétés, pas seulement l’apparence.
Bonne réponse : de citer une propriété applicable
Une démonstration utilise les données et les propriétés, pas seulement l’apparence.
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Le chapitre est à revoir en entier
Ne recommencez pas le quiz tout de suite : relisez d'abord tout le cours, en refaisant sur votre cahier chaque exemple guidé au lieu de le lire. Enchaînez avec les exercices « facile », correction masquée, puis revenez ici. C'est en une seule séance de travail que la note change.
À revoir : 12 questions manquées
L’axe de symétrie de A et A′ distincts est…
Bonne réponsela médiatrice de [AA′]
L’axe coupe le segment en son milieu et lui est perpendiculaire.
Un point situé sur l’axe…
Bonne réponsereste fixe
Son image est lui-même : il se superpose à lui-même lors du pliage.
A est à 4 cm de l’axe. AA′ vaut…
Bonne réponse8 cm
L’axe passe par le milieu de [AA′], donc AA′ vaut deux fois la distance à l’axe.
La symétrie conserve…
Bonne réponseles longueurs
Les distances entre les points et leurs images correspondantes sont égales.
L’image d’un cercle de rayon 3 cm a un rayon de…
Bonne réponse3 cm
La symétrie conserve les longueurs, donc le rayon du cercle.
L’image du sommet B d’un angle ABC est…
Bonne réponseB′
Chaque point correspond à son image ; le sommet de l’angle devient B′.
Un carré possède…
Bonne réponse4 axes
Ses deux diagonales et ses deux droites passant par les milieux des côtés opposés sont des axes.
Une droite perpendiculaire à l’axe a pour image…
Bonne réponseelle-même
Elle est conservée comme ensemble de points, même si ses points s’échangent.
Deux points à même distance de l’axe sont forcément symétriques.
Bonne réponseNon
Il faut aussi qu’ils soient de part et d’autre sur une même perpendiculaire à l’axe.
Le symétrique d’un milieu est…
Bonne réponsele milieu du segment image
La conservation de l’alignement et des longueurs conserve la propriété de milieu.
L’image d’une demi-droite [AB) a pour origine…
Bonne réponseA′
L’origine A devient A′ ; la demi-droite image est [A′B′).
Pour démontrer une égalité de longueurs, il suffit…
Bonne réponsede citer une propriété applicable
Une démonstration utilise les données et les propriétés, pas seulement l’apparence.
Exercices corrigés
10 exercices classés du plus simple au plus difficile. Cherchez d'abord seul, puis révélez la correction rédigée étape par étape.
Exercice 1
FacileP appartient à l’axe (d). Où se situe son image P′ ?
Correction
Un point situé sur l’axe est fixe.
P′ est donc confondu avec P.
Exercice 2
FacileA est à 3 cm de (d). Calcule AA′, où A′ est son symétrique.
Correction
Le pied H de la perpendiculaire est milieu de [AA′] : AH = HA′ = 3 cm.
cm.
Exercice 3
FacileTrace un segment [AB] et un axe (d) qui ne le coupe pas. Construis son symétrique.
Correction
Construis A′ et B′ par les perpendiculaires à l’axe et le report des distances.
Relie A′ et B′. Contrôle que A′B′ = AB et conserve tes traits de construction.
Exercice 4
FacileUn cercle a pour centre O et pour rayon 2,5 cm. Décris la construction de son image.
Correction
Construis d’abord O′, symétrique de O par rapport à l’axe.
Trace le cercle de centre O′ et de rayon 2,5 cm : la longueur du rayon est conservée.
Exercice 5
MoyenL’angle ABC mesure 47°. Ses points images sont A′, B′ et C′. Quel est le sommet et quelle est la mesure de l’angle image ?
Correction
Le sommet B devient B′ : l’angle image est A′B′C′.
La symétrie conserve les mesures, donc cet angle mesure 47°.
Exercice 6
MoyenABC est rectangle en B. Montre que A′B′C′, son image, est rectangle.
Correction
Les droites (AB) et (BC) sont perpendiculaires.
La symétrie conserve la perpendicularité : (A′B′) est perpendiculaire à (B′C′). Le triangle est rectangle en B′.
Exercice 7
MoyenA et B sont de part et d’autre d’un axe à 2 cm de celui-ci, mais (AB) n’est pas perpendiculaire à l’axe. Sont-ils symétriques ?
Correction
Non : l’égalité des distances à l’axe ne suffit pas.
Pour être symétriques, l’axe doit être la médiatrice de [AB], donc être perpendiculaire à (AB).
Exercice 8
MoyenUne figure a un périmètre de 18 cm et une aire de 12 cm². Donne ceux de son image.
Correction
Les longueurs sont conservées, donc le périmètre reste 18 cm.
L’aire est également conservée : 12 cm². Les unités ne s’échangent pas.
Exercice 9
DifficileA et A′ sont symétriques par rapport à (d). U appartient à (d). Démontre UA = UA′.
Correction
L’axe (d) est la médiatrice de [AA′].
Tout point de la médiatrice est à égale distance des extrémités. Donc UA = UA′.
Exercice 10
DifficileM est le milieu de [AB], avec AB = 9 cm. A′, M′ et B′ sont leurs images. Calcule A′M′ en justifiant.
Correction
La symétrie conserve les milieux et les longueurs : M′ est milieu de [A′B′] et A′B′ = 9 cm.
cm.