Angles inscrits et angles au centre 3AC : exercices corrigés

1. Son sommet O est le centre du cercle et ses côtés passent par B et C : c’est un angle au centre.
2. Son sommet A est sur le cercle et ses côtés recoupent le cercle en B et en C : c’est un angle inscrit.
3. Il intercepte l’arc d’extrémités A et B qui ne contient pas le sommet M.

À retenir : Angle au centre : sommet au centre du cercle. Angle inscrit : sommet sur le cercle et côtés qui recoupent le cercle.

1. L’angle inscrit vaut la moitié de l’angle au centre : $70^{\circ }÷2=35^{\circ }$.
2. $124^{\circ }÷2=62^{\circ }$.
3. $45^{\circ }÷2=22,5^{\circ }$.
4. $180^{\circ }÷2=90^{\circ }$ : l’angle inscrit est droit.

À retenir : Un angle inscrit mesure la moitié de l’angle au centre qui intercepte le même arc.

1. L’angle au centre vaut le double de l’angle inscrit : $2\times 28^{\circ }=56^{\circ }$.
2. $2\times 61^{\circ }=122^{\circ }$.
3. $2\times 90^{\circ }=180^{\circ }$ : l’arc intercepté est un demi-cercle.
4. $2\times 17,5^{\circ }=35^{\circ }$.

À retenir : L’angle au centre mesure le double de tout angle inscrit qui intercepte le même arc.

1. M est sur le grand arc : l’angle $\widehat{AMB}$ intercepte le petit arc AB, comme l’angle au centre $\widehat{AOB}$.
2. $\widehat{AMB}=\frac{1}{2}\widehat{AOB}$, et $96^{\circ }÷2=48^{\circ }$ : $\widehat{AMB}=48^{\circ }$.
3. $\widehat{ANB}$ intercepte le même arc que $\widehat{AMB}$ : $\widehat{ANB}=48^{\circ }$.

À retenir : Avant de calculer, on vérifie que l’angle inscrit et l’angle au centre interceptent bien le même arc.

1. Il intercepte l’arc AB qui ne contient pas C. Cet arc ne contient pas D non plus.
2. $\widehat{ADB}$ et $\widehat{ACB}$ sont deux angles inscrits qui interceptent le même arc AB : $\widehat{ADB}=34^{\circ }$.
3. L’angle au centre vaut le double de l’angle inscrit : $\widehat{AOB}=2\times 34^{\circ }=68^{\circ }$.

À retenir : Deux angles inscrits qui interceptent le même arc ont la même mesure.

1. Faux : son sommet est sur le cercle. C’est l’angle au centre qui a son sommet au centre.
2. Vrai : c’est la propriété des angles inscrits.
3. Faux : avoir une mesure double ne suffit pas, les deux angles peuvent être placés n’importe où dans le cercle.
4. Vrai : l’angle au centre associé mesure $180^{\circ }$, et $180^{\circ }÷2=90^{\circ }$.

À retenir : Une propriété s’applique seulement quand ses conditions sont vérifiées : ici, le même arc intercepté.

1. [OA] et [OB] sont deux rayons, ils ont la même longueur : le triangle OAB est isocèle en O.
2. Les angles à la base sont égaux : $\widehat{OAB}=\frac{180^{\circ }-110^{\circ }}{2}=\frac{70^{\circ }}{2}=35^{\circ }$.
3. $\widehat{AMB}$ intercepte le petit arc AB : $110^{\circ }÷2=55^{\circ }$, donc $\widehat{AMB}=55^{\circ }$.

À retenir : Deux rayons forment toujours un triangle isocèle avec la corde qui joint leurs extrémités.

1. $\widehat{AMB}$ intercepte le petit arc AB : $130^{\circ }÷2=65^{\circ }$, donc $\widehat{AMB}=65^{\circ }$.
2. $\widehat{ANB}$ intercepte le grand arc AB. L’angle au centre correspondant mesure $360^{\circ }-130^{\circ }=230^{\circ }$.
3. $230^{\circ }÷2=115^{\circ }$, donc $\widehat{ANB}=115^{\circ }$.
4. $65^{\circ }+115^{\circ }=180^{\circ }$ : les deux angles sont supplémentaires.

À retenir : Deux angles inscrits de mêmes extrémités, situés de part et d’autre de la corde, sont supplémentaires.

1. Non : B et D sont de part et d’autre de la corde [AC]. Les deux angles interceptent les deux arcs AC opposés.
2. Ces deux angles inscrits sont supplémentaires : $\widehat{ADC}=180^{\circ }-75^{\circ }=105^{\circ }$.
3. De même, $\widehat{BCD}$ et $\widehat{BAD}$ sont supplémentaires : $\widehat{BCD}=180^{\circ }-102^{\circ }=78^{\circ }$.
4. $75^{\circ }+102^{\circ }+105^{\circ }+78^{\circ }=360^{\circ }$ : c’est bien la somme des angles d’un quadrilatère.

À retenir : Dans un quadrilatère inscrit dans un cercle, deux angles opposés sont supplémentaires.

1. $\widehat{AMB}$ est un angle inscrit qui intercepte un demi-cercle : $\widehat{AMB}=90^{\circ }$.
2. Dans le triangle AMB rectangle en M, les angles aigus sont complémentaires : $\widehat{MBA}=90^{\circ }-37^{\circ }=53^{\circ }$.
3. $\widehat{MOB}$ est l’angle au centre qui intercepte le même arc MB que l’angle inscrit $\widehat{MAB}$ : $\widehat{MOB}=2\times 37^{\circ }=74^{\circ }$.

À retenir : Si [AB] est un diamètre et M un autre point du cercle, alors le triangle AMB est rectangle en M.

1. [EF] est un diamètre et G est un point du cercle : l’angle inscrit $\widehat{EGF}$ intercepte un demi-cercle, il est droit. Le triangle EFG est rectangle en G.
2. $EF=2\times 5=10$ cm. D’après le théorème de Pythagore, $F{G}^2=E{F}^2-E{G}^2=10^2-6^2=100-36=64$, donc $FG=8$ cm.
3. L’aire vaut $\frac{EG\times FG}{2}=\frac{6\times 8}{2}=24$ cm².

À retenir : Un diamètre fournit un angle droit, donc un triangle rectangle où le théorème de Pythagore et la trigonométrie s’appliquent.

1. Les cinq angles au centre sont égaux et leur somme vaut $360^{\circ }$ : $\widehat{AOB}=360^{\circ }÷5=72^{\circ }$.
2. $\widehat{ACB}$ intercepte l’arc AB, comme $\widehat{AOB}$ : $72^{\circ }÷2=36^{\circ }$, donc $\widehat{ACB}=36^{\circ }$.
3. L’angle au centre qui intercepte cet arc mesure $2\times 72^{\circ }=144^{\circ }$. Comme $144^{\circ }÷2=72^{\circ }$, on a $\widehat{ADC}=72^{\circ }$.

À retenir : Des arcs égaux correspondent à des angles au centre égaux : on partage $360^{\circ }$ par le nombre d’arcs.

1. $\widehat{ACB}=180^{\circ }-(50^{\circ }+70^{\circ })=60^{\circ }$.
2. Chaque angle au centre vaut le double de l’angle inscrit qui intercepte le même arc : $\widehat{BOC}=2\times 50^{\circ }=100^{\circ }$, $\widehat{AOC}=2\times 70^{\circ }=140^{\circ }$ et $\widehat{AOB}=2\times 60^{\circ }=120^{\circ }$.
3. $100^{\circ }+140^{\circ }+120^{\circ }=360^{\circ }$ : les trois angles au centre font bien un tour complet.
4. [OB] et [OC] sont deux rayons : le triangle OBC est isocèle en O, donc $\widehat{OBC}=\frac{180^{\circ }-100^{\circ }}{2}=40^{\circ }$.

À retenir : Dans un triangle inscrit, chaque angle du triangle est un angle inscrit : il donne l’angle au centre du côté opposé.

1. $\widehat{AMB}$ est un angle inscrit qui intercepte le même arc que l’angle au centre $\widehat{AOB}$ : $40^{\circ }÷2=20^{\circ }$, donc $\widehat{AMB}=20^{\circ }$.
2. Non : $\widehat{ANB}$ et $\widehat{APB}$ interceptent le même arc que $\widehat{AMB}$. Les trois joueurs voient le but sous le même angle de $20^{\circ }$.
3. En O, l’angle est l’angle au centre : $\widehat{AOB}=40^{\circ }$. Ce joueur voit le but sous un angle double, il est avantagé.

À retenir : Tous les points d’un même arc voient la corde sous le même angle.

1. $\widehat{MAB}$ est un angle inscrit et $\widehat{MOB}$ est l’angle au centre qui intercepte le même arc MB : $\widehat{MOB}=2x$.
2. [OA] et [OM] sont deux rayons, donc OAM est isocèle en O et $\widehat{OMA}=\widehat{OAM}=x$. Alors $\widehat{AOM}=180^{\circ }-2x$. Comme A, O et B sont alignés, $\widehat{MOB}=180^{\circ }-\widehat{AOM}=2x$.
3. Le triangle OMB est isocèle en O. Il est équilatéral lorsque $\widehat{MOB}=60^{\circ }$, c’est-à-dire $2x=60^{\circ }$, soit $x=30^{\circ }$.

À retenir : Les rayons d’un cercle créent des triangles isocèles : c’est la clé de la démonstration du théorème de l’angle inscrit.