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Angles inscrits et angles au centre

Un angle au centre a son sommet au centre d’un cercle ; un angle inscrit a son sommet sur le cercle. Lorsqu’ils interceptent le même arc, l’angle au centre associé mesure le double de l’angle inscrit. Repérer cet arc est la clé du calcul.

Conforme au programme officiel du Ministère de l'Éducation Nationale (2025-2026) · Mis à jour le

À la fin de ce chapitre, vous saurez

  • Distinguer angle inscrit et angle au centre
  • Identifier l’arc intercepté sans confondre les deux arcs
  • Calculer des angles en utilisant le double ou la moitié
  • Justifier un angle droit avec un diamètre

PrérequisCercle, centre, rayon, corde et diamètre · Somme des angles d’un triangle · Triangle isocèle et angles supplémentaires

Un bon cours, ça se partage.

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Qu’est-ce qu’un angle au centre ?

Définition

Angle au centre : Dans un cercle de centre O, si A et B appartiennent au cercle, les demi-droites [OA) et [OB) forment un angle au centre. Son sommet est O et ses côtés portent deux rayons.

Les points A et B délimitent deux arcs : un de chaque côté de la corde [AB]. Il faut indiquer celui que l’on étudie. Une ouverture de correspond à un arc de  ; l’autre parcours autour du centre correspond à .

Qu’est-ce qu’un angle inscrit et quel arc intercepte-t-il ?

Définition

Angle inscrit : Si A, B et M sont trois points distincts d’un cercle, l’angle est un angle inscrit : son sommet M est sur le cercle et ses côtés rencontrent le cercle en A et B.

L’arc intercepté par est l’arc d’extrémités A et B qui ne contient pas M. Pour le repérer, pars de A et rejoins B en suivant le cercle du côté opposé au sommet M. Le sommet de l’angle ne doit pas être placé à l’intérieur du cercle pour être un sommet d’angle inscrit.

Un angle au centre de 120° et un angle inscrit de 60° interceptent le même arc AB. Schéma de mathématiques 3AC.
Pour un même arc, l’angle inscrit de mesure la moitié de l’angle au centre de .

Attention

Avoir les mêmes extrémités A et B ne suffit pas pour parler du même arc : il existe deux chemins sur le cercle. Observe toujours la position du sommet de l’angle inscrit.

Comment passer d’un angle au centre à un angle inscrit ?

Théorème

Double et moitié pour un même arc

Dans un cercle, la mesure de l’angle au centre associé à l’arc intercepté par un angle inscrit est le double de celle de cet angle inscrit.

Calculer une moitié

L’angle au centre correspondant à l’arc AB ne contenant pas M mesure . Calculer .

  1. Les deux angles interceptent le même arc AB.
  2. L’angle inscrit vaut .

Calculer un double

L’angle inscrit mesure . Déterminer l’angle au centre associé à son arc.

  1. L’angle au centre est le double de l’angle inscrit.
  2. Sa mesure vaut .

Méthode

Rédiger sans ambiguïté

  1. Nomme le cercle et son centre.
  2. Vérifie que le sommet de l’angle inscrit appartient au cercle.
  3. Identifie l’arc commun, en précisant qu’il ne contient pas le sommet.
  4. Applique le facteur 2 dans le bon sens et conclus en degrés.

Pourquoi cette relation est-elle plausible ?

Tracer les rayons OA, OB et OM fait apparaître des triangles isocèles, puisque tous les rayons du cercle ont la même longueur. Les égalités de leurs angles à la base, avec la somme de dans un triangle, permettent de retrouver la relation du double. La position de O par rapport à l’angle inscrit peut demander d’additionner ou de soustraire deux angles.

L’intérêt du théorème est de résumer ces différentes configurations. Tu peux donc l’utiliser sur un cercle incliné ou sur une figure qui n’est pas à l’échelle, à condition de vérifier le même arc.

Quand deux angles inscrits sont-ils égaux ?

Théorème

Angles inscrits interceptant le même arc

Deux angles inscrits dans un même cercle qui interceptent le même arc ont la même mesure.

Deux sommets du même côté

A, B, M et N appartiennent à un cercle. M et N sont situés sur le même arc d’extrémités A et B, distincts des extrémités. . Calculer .

  1. et interceptent l’autre arc AB, qui ne contient ni M ni N.
  2. Ils sont donc égaux : .

Attention

Si M et N sont sur des arcs opposés entre A et B, ils n’interceptent pas le même arc. Leurs angles sont alors supplémentaires, et non généralement égaux.

Pourquoi un diamètre donne-t-il un angle droit ?

Le diamètre AB et le point M du cercle forment un triangle rectangle en M. Schéma de mathématiques 3AC.
Le demi-cercle correspond à au centre et à au sommet inscrit .

Théorème

Angle inscrit dans un demi-cercle

Si [AB] est un diamètre d’un cercle et M un point de ce cercle distinct de A et B, alors est un angle droit.

Le diamètre partage le cercle en deux demi-cercles. L’arc AB ne contenant pas M correspond à un angle au centre de . L’angle inscrit mesure donc . Cela permet de prouver qu’un triangle est rectangle avant d’utiliser Pythagore ou la trigonométrie.

Deux propriétés successives

AB est un diamètre de 10 cm. M est sur le cercle et cm. Calculer BM.

  1. Le triangle AMB est rectangle en M car AB est un diamètre.
  2. Pythagore donne , donc cm.

Comment éviter le piège du grand arc ?

Même corde, autre arc

Le petit angle au centre vaut . M est situé sur le petit arc AB. Calculer .

  1. L’angle inscrit intercepte le grand arc AB, celui qui ne contient pas M.
  2. L’angle au centre associé à ce grand arc vaut . Donc .

Cet exemple montre qu’un angle inscrit peut être obtus. Utiliser sans chercher l’arc donnerait ici une réponse fausse. Pour quatre points A, M, B, N dans cet ordre sur le cercle, les angles opposés et totalisent , car leurs arcs totalisent .

Cercle avec M et N placés sur des arcs opposés d’extrémités A et B ; les angles AMB et ANB mesurent 120° et 60°. Schéma de mathématiques 3AC.
Les sommets et étant sur des arcs opposés d’extrémités et , .
SituationConclusion
Angle au centre et angle inscrit, même arcL’inscrit vaut la moitié
Deux angles inscrits, même arcIls sont égaux
Arc intercepté égal à un demi-cercleL’angle inscrit vaut
Sommets inscrits sur les deux arcs AB opposésLes angles sont supplémentaires

Questions fréquentes

Quelle différence entre angle inscrit et angle au centre ?

Le sommet de l’angle au centre est le centre du cercle. Celui de l’angle inscrit est un point du cercle, distinct des deux extrémités de l’arc intercepté.

Comment calculer un angle inscrit en 3AC ?

Repère son arc, puis l’angle au centre associé. Divise la mesure de cet angle au centre par deux. Si le sommet est sur le petit arc, pense au grand arc intercepté.

Quand deux angles inscrits sont-ils égaux ?

Lorsqu’ils appartiennent au même cercle et interceptent le même arc. Les mêmes extrémités seules ne suffisent pas si les sommets sont sur des arcs opposés.

Pourquoi un diamètre donne-t-il un triangle rectangle ?

Il délimite un demi-cercle d’angle au centre . L’angle inscrit opposé au diamètre vaut sa moitié, donc .

Faut-il mesurer le dessin au rapporteur ?

Une mesure peut aider à conjecturer, mais la démonstration utilise les données, les arcs interceptés et les propriétés du cercle, même si le dessin n’est pas à l’échelle.

Quiz : 16 questions sur ce chapitre

16 questions tirées au hasard parmi les 16 de ce chapitre : le quiz est différent à chaque visite. Une seule réponse est correcte, et vous voyez immédiatement si la vôtre l'est.

Q1Le sommet d’un angle au centre est…

Bonne réponse : le centre du cercle

C’est la position du sommet qui définit l’angle au centre.

Q2Le sommet d’un angle inscrit est…

Bonne réponse : sur le cercle

Les trois points qui définissent l’angle inscrit sont sur le cercle.

Q3L’arc intercepté par …

Bonne réponse : ne contient pas M

L’arc va de A à B du côté opposé au sommet M.

Q4Pour un même arc, un angle au centre de donne un inscrit de…

Bonne réponse :

L’angle inscrit mesure la moitié de l’angle au centre associé.

Q5Un inscrit de donne un angle au centre associé de…

Bonne réponse :

Le centre donne le double : .

Q6Deux angles inscrits interceptant le même arc sont…

Bonne réponse : égaux

Ils valent tous les deux la moitié du même angle au centre.

Q7Un angle inscrit qui intercepte un demi-cercle vaut…

Bonne réponse :

Le demi-cercle correspond à au centre, donc à sur le cercle.

Q8Si AB est un diamètre et M est sur le cercle, l’angle droit est en…

Bonne réponse : M

Le sommet M voit le diamètre AB sous un angle de .

Q9Deux arcs de mêmes extrémités ont des mesures dont la somme est…

Bonne réponse :

Les deux arcs reconstituent un tour complet.

Q10Le petit arc AB vaut  ; M est dessus. vaut…

Bonne réponse :

Il intercepte le grand arc de , dont la moitié vaut .

Q11Les rayons OA et OB sont…

Bonne réponse : de même longueur

Tous les rayons d’un même cercle ont la même longueur.

Q12Un angle inscrit peut-il être obtus ?

Bonne réponse : Oui

Un angle inscrit interceptant un arc de plus de est obtus.

Q13Un angle au centre et un inscrit se comparent avec le facteur 2 si…

Bonne réponse : ils interceptent le même arc

Le théorème exige le même cercle et le même arc intercepté.

Q14Deux sommets inscrits sur les arcs AB opposés donnent des angles…

Bonne réponse : supplémentaires

Les arcs interceptés totalisent  ; les angles totalisent .

Q15Un triangle dont un côté est diamètre et le troisième sommet sur le cercle est…

Bonne réponse : rectangle

Le sommet opposé au diamètre porte un angle inscrit de .

Q16La première étape d’un exercice d’angles du cercle est de…

Bonne réponse : repérer les sommets et les arcs

Il faut établir les conditions du théorème avant de calculer.

Exercices corrigés

12 exercices classés du plus simple au plus difficile. Cherchez d'abord seul, puis révélez la correction rédigée étape par étape.

Exercice 1

Facile

O est le centre d’un cercle ; A, B et M sont sur le cercle. Quelle est la nature de et de  ?

Correction

a pour sommet le centre O : c’est un angle au centre.

a son sommet sur le cercle : c’est un angle inscrit.

Exercice 2

Facile

Un angle au centre de et un angle inscrit interceptent le même arc. Calcule l’angle inscrit.

Correction

Pour le même arc, la mesure de l’angle inscrit est la moitié.

.

Exercice 3

Facile

Un angle inscrit vaut . Calcule l’angle au centre associé au même arc.

Correction

L’angle au centre est le double de l’inscrit.

.

Exercice 4

Facile

et sont inscrits dans le même cercle et interceptent le même arc. vaut . Calcule .

Correction

Deux angles inscrits interceptant le même arc sont égaux.

Donc .

Exercice 5

Moyen

AB est un diamètre et M est un autre point du cercle. vaut-il , ou  ? Justifie.

Correction

L’arc AB intercepté est un demi-cercle, d’angle au centre .

vaut .

Exercice 6

Moyen

O est le centre et le petit angle vaut . Calcule les angles et .

Correction

car ce sont deux rayons ; le triangle AOB est isocèle.

Les deux angles à la base valent .

Exercice 7

Moyen

Le petit angle vaut et M appartient au petit arc AB. Calcule .

Correction

M n’appartient pas à l’arc intercepté, donc intercepte le grand arc.

L’angle associé vaut  ; .

Exercice 8

Moyen

A, M, B, N sont placés dans cet ordre sur un cercle. . Calcule .

Correction

Les deux angles inscrits interceptent les deux arcs AB complémentaires.

Ils sont supplémentaires : .

Exercice 9

Moyen

AB est un diamètre de 13 cm, M est sur le cercle et cm. Calcule BM.

Correction

Le triangle AMB est rectangle en M. Donc .

BM est positif : cm.

Exercice 10

Difficile

Dans le cercle de centre O, . M est sur le grand arc AB. Calcule le petit angle puis .

Correction

, donc . Ainsi .

M est sur le grand arc : il intercepte le petit arc associé à . .

Exercice 11

Difficile

AB est un diamètre d’un cercle. M est sur le cercle, cm et cm. Calcule le rayon.

Correction

Le triangle AMB est rectangle en M, donc et cm.

Le rayon est la moitié du diamètre : 7,5 cm.

Exercice 12

Difficile

Un petit angle au centre vaut . Samir affirme que tout angle inscrit d’extrémités A et B vaut . A-t-il raison ?

Correction

Non : si le sommet est sur le grand arc, l’angle intercepte le petit arc et vaut effectivement .

Si le sommet est sur le petit arc, il intercepte le grand arc de et vaut . Il faut préciser l’arc intercepté.