Développement et factorisation 3AC : exercices corrigés

1. $3(2x+5)=3\times 2x+3\times 5=6x+15$.
2. $-4(x-7)=-4\times x-4\times (-7)=-4x+28$.
3. $2x(3x-1)=2x\times 3x-2x\times 1=6x^2-2x$.
4. $5(x+2)-3(x-4)=5x+10-3x+12=2x+22$. Le signe $-$ devant 3 change le signe des deux termes de la seconde parenthèse.

À retenir : Le facteur placé devant la parenthèse multiplie chaque terme, avec son signe.

1. $(x+3)(x+6)=x^2+6x+3x+18=x^2+9x+18$.
2. $(2x+1)(x-4)=2x^2-8x+x-4=2x^2-7x-4$.
3. $(3x-2)(2x-5)=6x^2-15x-4x+10=6x^2-19x+10$.
4. $(4-x)(2x+3)=8x+12-2x^2-3x=-2x^2+5x+12$.

À retenir : Chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde : on obtient quatre produits, puis on réduit.

1. $A=5x^2-4x$. Pour $x=4$ : $A=5\times 4^2-4\times 4=80-16=64$.
2. $B=4x-2x+9=2x+9$. Pour $x=4$ : $B=2\times 4+9=17$.
3. $C=x^2+3x-x^2=3x$. Pour $x=4$ : $C=3\times 4=12$.

À retenir : On regroupe les termes de même nature : les termes en $x^2$ ensemble, les termes en $x$ ensemble, les nombres ensemble.

1. $(x+9{)}^2=x^2+2\times x\times 9+9^2=x^2+18x+81$.
2. $(3x+2{)}^2=(3x{)}^2+2\times 3x\times 2+2^2=9x^2+12x+4$.
3. $(2x+7{)}^2=(2x{)}^2+2\times 2x\times 7+7^2=4x^2+28x+49$.
4. ${\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2=x^2+2\times x\times \frac{1}{2}+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2=x^2+x+\frac{1}{4}$.

À retenir : Le double produit $2ab$ ne doit jamais être oublié : $(a+b{)}^2$ n’est pas $a^2+b^2$.

1. $(x-6{)}^2=x^2-2\times x\times 6+6^2=x^2-12x+36$.
2. $(4x-1{)}^2=(4x{)}^2-2\times 4x\times 1+1^2=16x^2-8x+1$.
3. $(5-2x{)}^2=5^2-2\times 5\times 2x+(2x{)}^2=25-20x+4x^2$.
4. $(3x-7{)}^2=(3x{)}^2-2\times 3x\times 7+7^2=9x^2-42x+49$.

À retenir : Dans $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$, seul le double produit porte le signe $-$ : le dernier terme $b^2$ reste positif.

1. $(x+8)(x-8)=x^2-8^2=x^2-64$.
2. $(3x-5)(3x+5)=(3x{)}^2-5^2=9x^2-25$.
3. $(7+2x)(7-2x)=7^2-(2x{)}^2=49-4x^2$.
4. $\left(2x+\frac{1}{3}\right)\left(2x-\frac{1}{3}\right)=(2x{)}^2-{\left(\frac{1}{3}\right)}^2=4x^2-\frac{1}{9}$.

À retenir : $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ : le résultat est une différence de deux carrés, sans double produit.

1. Le facteur commun est 7 : $7x+21=7\times x+7\times 3=7(x+3)$.
2. Le facteur commun est $6x$ : $12x^2-18x=6x\times 2x-6x\times 3=6x(2x-3)$.
3. Le facteur commun est $(x+2)$ : $(x+2)[(3x-1)+(x+5)]=(x+2)(4x+4)$, que l’on peut encore écrire $4(x+2)(x+1)$.
4. Le facteur commun est $(2x-3)$ : $(2x-3)[(x+4)-(5x-1)]=(2x-3)(x+4-5x+1)=(2x-3)(-4x+5)$.

À retenir : On repère le facteur commun, on l’écrit devant une parenthèse, puis on y place ce qui reste de chaque terme. On vérifie en développant.

1. $x^2+14x+49=x^2+2\times x\times 7+7^2=(x+7{)}^2$.
2. $x^2-18x+81=x^2-2\times x\times 9+9^2=(x-9{)}^2$.
3. $4x^2+20x+25=(2x{)}^2+2\times 2x\times 5+5^2=(2x+5{)}^2$.
4. $9x^2-6x+1=(3x{)}^2-2\times 3x\times 1+1^2=(3x-1{)}^2$.

À retenir : On repère les deux carrés, puis on vérifie que le terme du milieu est bien le double produit.

1. $x^2-49=x^2-7^2=(x-7)(x+7)$.
2. $25x^2-16=(5x{)}^2-4^2=(5x-4)(5x+4)$.
3. $1-36x^2=1^2-(6x{)}^2=(1-6x)(1+6x)$.
4. $(x+1{)}^2-9=(x+1{)}^2-3^2=(x+1-3)(x+1+3)=(x-2)(x+4)$.

À retenir : $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ : on écrit chaque terme comme un carré avant de factoriser.

1. $52^2=(50+2{)}^2=50^2+2\times 50\times 2+2^2=2500+200+4=2704$.
2. $98^2=(100-2{)}^2=100^2-2\times 100\times 2+2^2=10000-400+4=9604$.
3. $47\times 53=(50-3)(50+3)=50^2-3^2=2500-9=2491$.
4. $105^2-95^2=(105-95)(105+95)=10\times 200=2000$.

À retenir : On écrit le nombre comme une somme ou une différence qui fait apparaître un nombre rond.

1. $A=x^2+6x+9+x^2-6x+9=2x^2+18$.
2. $B=(4x^2+4x+1)-(4x^2-4x+1)=4x^2+4x+1-4x^2+4x-1=8x$.
3. $C=x^2-16-(x^2-4x+4)=x^2-16-x^2+4x-4=4x-20$.

À retenir : Un signe $-$ devant un développement impose des parenthèses : tous les signes changent quand on les supprime.

1. $E=(3x{)}^2-2\times 3x\times 2+2^2-25=9x^2-12x+4-25=9x^2-12x-21$.
2. $25=5^2$, donc $E=(3x-2{)}^2-5^2=(3x-2-5)(3x-2+5)=(3x-7)(3x+3)$.
3. Avec la forme factorisée, le premier facteur s’annule : $E=\left(3\times \frac{7}{3}-7\right)\left(3\times \frac{7}{3}+3\right)=0\times 10=0$.

À retenir : L’expression de départ, sa forme développée et sa forme factorisée donnent la même valeur : on choisit la plus commode.

1. L’aire est le produit de la longueur par la largeur : $(2x+3)(2x-3)=(2x{)}^2-3^2=4x^2-9$.
2. Pour $x=5$ : $4\times 5^2-9=4\times 25-9=100-9=91$. L’aire vaut 91 m².
3. L’aire du carré est $(2x{)}^2=4x^2$. Or $4x^2-(4x^2-9)=9$ : le carré a toujours 9 m² de plus que le terrain, quelle que soit la valeur de $x$.

À retenir : Une aire donnée par un produit se développe avec une identité remarquable dès que les deux facteurs s’y prêtent.

1. $(4+3{)}^2-4^2=7^2-4^2=49-16=33$.
2. $(x+3{)}^2-x^2=x^2+6x+9-x^2=6x+9$.
3. $6x+9=3\times 2x+3\times 3=3(2x+3)$. Ce produit est nul quand $2x+3=0$, c’est-à-dire pour $x=-\frac{3}{2}$.

À retenir : Traduire un programme de calcul par une expression littérale permet de le simplifier une fois pour toutes.

1. Il manque le double produit : $(x+5{)}^2=x^2+10x+25$. Pour $x=1$, $(1+5{)}^2=36$ alors que $1^2+25=26$ : les deux expressions ne sont pas égales.
2. C’est une différence de deux carrés, car $4x^2=(2x{)}^2$ : $(x-5{)}^2-(2x{)}^2=(x-5-2x)(x-5+2x)=(-x-5)(3x-5)$.
3. $(n+1{)}^2-(n-1{)}^2=(n^2+2n+1)-(n^2-2n+1)=4n$. Le résultat est 4 fois l’entier $n$ : c’est un multiple de 4.

À retenir : Un seul contre-exemple suffit pour prouver qu’une égalité est fausse ; pour prouver qu’elle est vraie, il faut un calcul littéral.