Développement et factorisation

Propriété

Distributivité simple

Pour tous réels k, a et b, $k(a+b)=ka+kb$. Un signe moins devant une parenthèse correspond à une multiplication par -1.

Distribuer un facteur négatif

Développer $-3(2x-5)$.

1. $-3(2x-5)=(-3)\times 2x+(-3)\times (-5)$.
2. Le résultat est $-6x+15$.

Propriété

Double distributivité

Pour tous nombres $a$, $b$, $c$ et $d$ : $(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$.

Exemple

Développer $(x+3)(2x-5)$.

1. $(x+3)(2x-5)=x\times 2x+x\times (-5)+3\times 2x+3\times (-5)$
2. $=2x^2-5x+6x-15$
3. $=2x^2+x-15$

Méthode

Méthode

1. Repérer la forme de l'expression : un carré de somme, un carré de différence, ou le produit d'une somme par une différence.
2. Identifier clairement qui est $a$ et qui est $b$.
3. Écrire l'identité correspondante en remplaçant $a$ et $b$.
4. Effectuer les calculs de puissances et de produits, puis réduire.

Trois développements types

Développer $(2x+5{)}^2$, $(3x-4{)}^2$ et $(x+7)(x-7)$.

1. $(2x+5{)}^2=(2x{)}^2+2\times 2x\times 5+5^2=4x^2+20x+25$
2. $(3x-4{)}^2=(3x{)}^2-2\times 3x\times 4+4^2=9x^2-24x+16$
3. $(x+7)(x-7)=x^2-7^2=x^2-49$

Méthode

Ordre de recherche

1. Y a-t-il un facteur commun à tous les termes ? Si oui, le mettre en facteur.
2. L'expression est-elle une différence de deux carrés $a^2-b^2$ ? Si oui, écrire $(a+b)(a-b)$.
3. L'expression a-t-elle la forme $a^2\pm 2ab+b^2$ ? Si oui, écrire $(a\pm b{)}^2$.
4. Vérifier en développant le résultat obtenu : on doit retrouver l'expression de départ.

Un facteur numérique et littéral

Factoriser $12x^2+18x$.

1. Les deux termes contiennent 6x : $12x^2=6x\times 2x$ et $18x=6x\times 3$.
2. Donc $12x^2+18x=6x(2x+3)$. Le schéma illustre ce calcul pour x positif ; l’identité reste vraie pour tout réel x.

Factoriser une différence de carrés

Factoriser $9x^2-25$.

1. On reconnaît une différence de deux carrés : $9x^2=(3x{)}^2$ et $25=5^2$.
2. Donc $9x^2-25=(3x{)}^2-5^2$.
3. En appliquant la troisième identité : $9x^2-25=(3x+5)(3x-5)$.

Factoriser un carré parfait

Factoriser $x^2-12x+36$.

1. On teste la forme $a^2-2ab+b^2$ avec $a=x$ et $b=6$, puisque $36=6^2$.
2. Le double produit vaut alors $2\times x\times 6=12x$ : cela correspond bien au terme du milieu.
3. Donc $x^2-12x+36=(x-6{)}^2$.

Remarque

Un facteur commun n'est pas toujours un nombre ou une lettre isolée : dans $(x-1)(x+3)+(x-1)(2x)$, le facteur commun est la parenthèse $(x-1)$ tout entière.

Propriété

Équation-produit

Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul. Autrement dit : $A\times B=0⟺A=0$ ou $B=0$.

Résoudre grâce à la factorisation

Résoudre l'équation $x^2-49=0$.

1. On factorise le membre de gauche : $x^2-49=(x+7)(x-7)$.
2. L'équation devient $(x+7)(x-7)=0$.
3. Un produit est nul si l'un des facteurs est nul : $x+7=0$ ou $x-7=0$.
4. Les solutions sont donc $x=-7$ et $x=7$.

Calcul mental

Calculer $98^2$.

1. $98^2=(100-2{)}^2=10000-400+4$.
2. Donc $98^2=9604$.