Théorème de Pythagore 3AC : exercices corrigés

1. L’hypoténuse est [BC], le côté opposé à l’angle droit : $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$.
2. L’hypoténuse est [EG] : $E{G}^2=E{F}^2+F{G}^2$.
3. L’hypoténuse est [RS] : $R{S}^2=R{T}^2+S{T}^2$.

À retenir : L’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit : c’est le plus long, et son carré est seul d’un côté de l’égalité.

1. $J{K}^2=I{J}^2+I{K}^2=5^2+12^2=25+144=169$, donc $JK=\sqrt{169}=13$ cm.
2. $J{K}^2=1,5^2+2^2=2,25+4=6,25$, donc $JK=\sqrt{6,25}=2,5$ cm.
3. $J{K}^2=20^2+21^2=400+441=841$, donc $JK=\sqrt{841}=29$ cm.

À retenir : Pour l’hypoténuse, on additionne les carrés des deux autres côtés, puis on prend la racine carrée.

1. $L{N}^2=M{N}^2-L{M}^2=10^2-6^2=100-36=64$, donc $LN=\sqrt{64}=8$ cm.
2. $L{M}^2=M{N}^2-L{N}^2=13^2-5^2=169-25=144$, donc $LM=\sqrt{144}=12$ cm.
3. $L{N}^2=2,5^2-0,7^2=6,25-0,49=5,76$, donc $LN=\sqrt{5,76}=2,4$ cm.

À retenir : Pour un côté de l’angle droit, on soustrait : carré de l’hypoténuse moins carré du côté connu.

1. $B{C}^2=4^2+7^2=16+49=65$, donc $BC=\sqrt{65}$ cm. Arrondi au dixième : $\sqrt{65}\approx 8,1$.
2. $A{C}^2=9^2-5^2=81-25=56$, donc $AC=\sqrt{56}=2\sqrt{14}$ cm. Arrondi au dixième : $2\sqrt{14}\approx 7,5$.
3. $B{C}^2=3^2+3^2=9+9=18$, donc $BC=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$ cm. Arrondi au dixième : $3\sqrt{2}\approx 4,2$.

À retenir : On garde la valeur exacte, avec la racine carrée, jusqu’à la fin ; on n’arrondit qu’au dernier moment.

1. ABCD est un rectangle : l’angle en B est droit, donc le triangle ABC est rectangle en B.
2. $A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2=12^2+9^2=144+81=225$, donc $AC=\sqrt{225}=15$ cm.
3. La diagonale est l’hypoténuse d’un triangle rectangle isocèle : $d^2=5^2+5^2=50$, donc $d=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$ cm.

À retenir : La diagonale d’un rectangle est l’hypoténuse d’un triangle rectangle formé par deux côtés consécutifs.

1. Vrai : son carré est la somme des carrés des deux autres côtés, il est donc plus grand que chacun d’eux.
2. Faux : l’hypoténuse est [EG], le côté opposé à F, donc $E{G}^2=E{F}^2+F{G}^2$.
3. Faux : si 3 cm et 4 cm sont les côtés de l’angle droit, l’hypoténuse vaut $\sqrt{3^2+4^2}=5$ cm ; mais si 4 cm est l’hypoténuse, le troisième côté vaut $\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}$ cm.

À retenir : Avant d’écrire l’égalité, on repère l’angle droit : l’hypoténuse est en face.

1. Le plus long côté mesure 25 cm. $25^2=625$ et $7^2+24^2=49+576=625$. L’égalité est vérifiée : d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle.
2. $8^2=64$ et $5^2+6^2=25+36=61$. Comme $64\ne 61$, le triangle n’est pas rectangle.
3. $7,5^2=56,25$ et $4,5^2+6^2=20,25+36=56,25$ : le triangle est rectangle, et son hypoténuse est le côté de 7,5 cm.

À retenir : On compare le carré du plus long côté à la somme des carrés des deux autres : égalité, le triangle est rectangle ; sinon, il ne l’est pas.

1. Le plus long côté est [DF], qui mesure 5,3 cm.
2. $D{F}^2=5,3^2=28,09$ et $D{E}^2+E{F}^2=2,8^2+4,5^2=7,84+20,25=28,09$. Donc $D{F}^2=D{E}^2+E{F}^2$ : d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle.
3. L’hypoténuse est [DF] : l’angle droit est au sommet opposé, c’est-à-dire en E.

À retenir : L’angle droit se trouve toujours au sommet opposé au plus long côté.

1. $A{B}^2+B{C}^2=80^2+60^2=6400+3600=10000$ et $A{C}^2=101^2=10201$.
2. $A{C}^2\ne A{B}^2+B{C}^2$. Si le triangle ABC était rectangle en B, l’égalité de Pythagore serait vraie : l’angle en B n’est donc pas droit.
3. Il faudrait $A{C}^2=10000$, soit $AC=\sqrt{10000}=100$ cm.

À retenir : Quand l’égalité de Pythagore est fausse, le triangle n’est pas rectangle : c’est la contraposée du théorème.

1. Dans un triangle isocèle, la médiane issue du sommet principal est aussi la hauteur : (AH) est perpendiculaire à (BC).
2. $BH=12÷2=6$ cm. Dans ABH rectangle en H : $A{H}^2=A{B}^2-B{H}^2=10^2-6^2=100-36=64$, donc $AH=8$ cm.
3. L’aire vaut $\frac{BC\times AH}{2}=\frac{12\times 8}{2}=48$ cm².

À retenir : Une hauteur partage un triangle en deux triangles rectangles : c’est souvent là que le théorème de Pythagore s’applique.

1. $S{T}^2=R{S}^2+R{T}^2={\left(\sqrt{5}\right)}^2+{\left(2\sqrt{5}\right)}^2=5+20=25$, donc $ST=5$ cm.
2. Le périmètre vaut $\sqrt{5}+2\sqrt{5}+5=3\sqrt{5}+5$ cm.
3. L’aire vaut $\frac{RS\times RT}{2}=\frac{\sqrt{5}\times 2\sqrt{5}}{2}=\frac{10}{2}=5$ cm².

À retenir : Le carré de $2\sqrt{5}$ est $4\times 5=20$ : on élève au carré le nombre entier et la racine.

1. Dans ABD rectangle en A : $B{D}^2=A{B}^2+A{D}^2=7^2+24^2=49+576=625$, donc $BD=25$ cm.
2. Dans BCD rectangle en C, l’hypoténuse est [BD] : $C{D}^2=B{D}^2-B{C}^2=25^2-15^2=625-225=400$, donc $CD=20$ cm.
3. Le périmètre vaut $AB+BC+CD+DA=7+15+20+24=66$ cm.

À retenir : Le côté commun aux deux triangles sert de relais : on le calcule dans le premier, on l’utilise dans le second.

1. Le mât est perpendiculaire au sol : le câble est l’hypoténuse d’un triangle rectangle. $12^2+5^2=144+25=169$, donc le câble mesure $\sqrt{169}=13$ m.
2. $15^2-12^2=225-144=81$, donc la distance est $\sqrt{81}=9$ m.
3. $12,5^2-3,5^2=156,25-12,25=144$, donc la hauteur est $\sqrt{144}=12$ m : ce câble est fixé au sommet du mât.

À retenir : Un objet vertical et un sol horizontal forment un angle droit : la situation se modélise par un triangle rectangle.

1. Hiba parcourt $40+30=70$ m.
2. La diagonale est l’hypoténuse d’un triangle rectangle : $40^2+30^2=1600+900=2500$, donc Omar parcourt $\sqrt{2500}=50$ m.
3. Omar économise $70-50=20$ m, soit $\frac{20}{70}=\frac{2}{7}$ du trajet. Comme $\frac{2}{7}\approx 0,29$, cela représente environ 29 %.

À retenir : La diagonale d’un rectangle est toujours plus courte que le chemin qui longe deux côtés.

1. $9^2+40^2=81+1600=1681$ et $41^2=1681$ : d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle.
2. Les deux côtés de l’angle droit ont la même longueur $c$ : $c^2+c^2=10^2$, soit $2c^2=100$ et $c^2=50$. Donc $c=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$ cm.
3. Pour $x=3$ : $AB=3$ et $AC=4$. Alors $A{B}^2+A{C}^2=3^2+4^2=9+16=25$ et $B{C}^2=5^2=25$ : l’égalité de Pythagore est vérifiée.

À retenir : L’égalité de Pythagore sert dans les deux sens : calculer une longueur, ou tester si un triangle est rectangle.