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Théorème de Pythagore

Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Le théorème de Pythagore permet de calculer une longueur ; sa réciproque permet de démontrer qu’un triangle est rectangle à partir de ses trois côtés.

Conforme au programme officiel du Ministère de l'Éducation Nationale (2025-2026) · Mis à jour le

À la fin de ce chapitre, vous saurez

  • Repérer l’hypoténuse et écrire la bonne égalité
  • Calculer une longueur exacte puis approchée
  • Utiliser la réciproque ou montrer qu’un triangle n’est pas rectangle
  • Résoudre un problème de diagonale, de hauteur ou d’aire

PrérequisCarrés et racines carrées · Triangle rectangle · Unités de longueur et d’aire

Un bon cours, ça se partage.

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Comment reconnaître l’hypoténuse ?

Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit. C’est aussi le plus long côté. Si ABC est rectangle en A, les côtés AB et AC forment l’angle droit, tandis que BC est l’hypoténuse. Commence toujours par cette identification, même lorsque le triangle est tourné sur la feuille.

Théorème

Pythagore

Si ABC est un triangle rectangle en A, alors .

Triangle rectangle de côtés 3, 4 et 5 et carrés d’aires 9, 16 et 25. Schéma de mathématiques 3AC.
Les carrés construits sur les côtés vérifient , soit .

Chaque carré de longueur représente aussi l’aire d’un carré construit sur ce côté. Pour un triangle de côtés 3, 4 et 5, les aires 9 et 16 se réunissent pour donner 25. La relation porte sur les carrés des longueurs, jamais sur la somme directe des longueurs.

Attention

L’égalité est fausse pour un triangle non aplati. De plus, le théorème direct exige que l’angle droit soit donné ou déjà démontré.

Comment calculer l’hypoténuse ?

Méthode

Une rédaction en quatre étapes

  1. Nomme le triangle et son sommet d’angle droit.
  2. Cite le théorème de Pythagore et écris l’égalité avec les lettres.
  3. Remplace les longueurs connues et calcule la somme des carrés.
  4. Prends la racine carrée positive et donne l’unité.

Deux côtés de l’angle droit connus

ABC est rectangle en A, cm et cm. Calculer BC.

  1. .
  2. Comme BC est une longueur positive, cm.

Comment calculer un côté de l’angle droit ?

Soustraire après avoir écrit l’égalité

RST est rectangle en R, cm et cm. Calculer RT.

  1. L’hypoténuse est ST : .
  2. , donc cm.

Le signe moins apparaît parce qu’on retire un carré des deux membres. Il ne faut pas apprendre deux théorèmes distincts : l’égalité de départ est toujours la même. Si le calcul sous la racine est négatif, vérifie quel côté est l’hypoténuse et si les données sont cohérentes.

Faut-il garder une racine carrée ?

Valeur exacte et arrondi

Un rectangle mesure 7 cm sur 4 cm. Déterminer sa diagonale d.

  1. Une diagonale forme un triangle rectangle : .
  2. La valeur exacte est cm. La calculatrice donne environ 8,062 ; au dixième, cm.
Rectangle de côtés 7 et 4 cm ; sa diagonale forme l’hypoténuse d’un triangle rectangle. Schéma de mathématiques 3AC.
La diagonale vérifie , donc cm, soit environ cm.

Attention

Le signe relie des valeurs exactes égales. Le signe indique une approximation. Conserve la valeur exacte dans les calculs intermédiaires pour limiter les erreurs d’arrondi.

Comment démontrer qu’un triangle est rectangle ?

Théorème

Réciproque de Pythagore

Dans un triangle ABC, si BC est le plus long côté et si , alors ABC est rectangle en A.

Comparaison des carrés pour les triangles de côtés 5, 12, 13 et 5, 6, 8. Schéma de mathématiques 3AC.
prouve un angle droit ; l’exclut.

Méthode

Comparer deux résultats séparés

  1. Repère le plus long côté.
  2. Calcule son carré.
  3. Calcule séparément la somme des carrés des deux autres côtés.
  4. Si les résultats sont égaux, cite la réciproque et nomme l’angle droit opposé au plus long côté.

Tester un triangle

Un triangle a pour côtés 7,5 cm, 10 cm et 12,5 cm. Est-il rectangle ?

  1. et .
  2. Les deux résultats sont égaux. La réciproque prouve que le triangle est rectangle, avec 12,5 cm pour hypoténuse.

Comment prouver qu’un triangle n’est pas rectangle ?

On utilise la contraposée : si le carré du plus long côté est différent de la somme des deux autres carrés, le triangle n’est pas rectangle. Une différence même petite suffit lorsque les longueurs données sont exactes. Des mesures arrondies prises à la règle ne constituent pas une preuve exacte.

Une apparence trompeuse

Un triangle a pour côtés 5 cm, 6 cm et 8 cm.

  1. , alors que .
  2. Puisque 64 est différent de 61, ce triangle n’est pas rectangle.

Comment utiliser Pythagore dans une figure composée ?

Cherche un triangle rectangle à l’intérieur de la figure. Dans un carré, une diagonale partage la figure en deux triangles rectangles isocèles. Dans un triangle équilatéral, la hauteur est aussi une médiane ; elle partage donc la base en deux segments égaux.

Diagonale d’un carré de côté c, obtenue par .

Hauteur d’un triangle équilatéral

Calculer la hauteur d’un triangle équilatéral de côté 10 cm.

  1. La moitié de la base mesure 5 cm. Le triangle formé par la hauteur est rectangle, d’hypoténuse 10 cm.
  2. , donc cm.
Ce que l’on connaîtOutil
Un angle droit et deux côtésThéorème direct pour calculer
Trois côtés et une égalité de carrésRéciproque pour prouver l’angle droit
Trois côtés et des carrés différentsContraposée pour exclure l’angle droit

Questions fréquentes

Quand utiliser le théorème de Pythagore en 3AC ?

Quand un triangle est rectangle et que deux longueurs sont connues. Il permet de calculer la troisième en écrivant d’abord l’égalité des carrés.

Quelle différence entre Pythagore et sa réciproque ?

Le théorème part d’un angle droit pour établir une égalité et calculer. La réciproque part d’une égalité entre trois carrés pour prouver un angle droit.

Comment savoir s’il faut additionner ou soustraire ?

Additionne les carrés des deux côtés de l’angle droit pour l’hypoténuse. Pour un autre côté, retire le carré connu de celui de l’hypoténuse.

Peut-on utiliser une longueur approchée dans une preuve ?

Pour démontrer exactement qu’un triangle est rectangle, il faut une égalité exacte. Des mesures arrondies peuvent seulement suggérer le résultat.

Comment présenter une réponse avec une racine ?

Donne d’abord la valeur exacte, simplifiée si possible. Ajoute ensuite l’arrondi demandé, avec le symbole d’approximation et l’unité.

Quiz : 16 questions sur ce chapitre

16 questions tirées au hasard parmi les 16 de ce chapitre : le quiz est différent à chaque visite. Une seule réponse est correcte, et vous voyez immédiatement si la vôtre l'est.

Q1Dans ABC rectangle en B, l’hypoténuse est…

Bonne réponse : AC

Le côté AC est opposé à l’angle droit B.

Q2ABC rectangle en A vérifie…

Bonne réponse :

Le carré de l’hypoténuse BC est seul d’un côté de l’égalité.

Q3Les côtés de l’angle droit valent 5 et 12. L’hypoténuse vaut…

Bonne réponse :

, dont la racine positive vaut 13.

Q4Pour trouver un côté de l’angle droit, on…

Bonne réponse : soustrait les carrés puis prend une racine

On isole le carré recherché dans l’égalité de Pythagore.

Q5La réciproque sert à…

Bonne réponse : prouver qu’un triangle est rectangle

Une égalité de carrés permet de conclure à un angle droit.

Q6Pour tester un triangle, quel carré calcule-t-on seul ?

Bonne réponse : celui du plus long côté

Seul le plus long côté peut être l’hypoténuse.

Q7Un triangle de côtés 3, 4 et 6 est…

Bonne réponse : non rectangle

Il existe, mais est différent de .

Q8Si une longueur d vérifie , alors…

Bonne réponse :

Une longueur est positive et .

Q9La diagonale d’un carré de côté 3 vaut…

Bonne réponse :

Son carré vaut .

Q10Le symbole adapté à et 1,41 est…

Bonne réponse :

1,41 est une approximation, pas la valeur exacte de .

Q11Un triangle de côtés 10, 24 et 26 est…

Bonne réponse : rectangle

.

Q12Un dessin qui semble rectangle…

Bonne réponse : ne suffit pas comme preuve

Il faut une donnée d’angle droit ou une démonstration.

Q13Les longueurs utilisées dans Pythagore doivent être…

Bonne réponse : dans la même unité

On ne peut pas additionner directement des carrés exprimés dans des unités différentes.

Q14Une hauteur d’un triangle équilatéral partage la base…

Bonne réponse : en deux parts égales

Dans un triangle équilatéral, une hauteur est aussi une médiane.

Q15Une hypoténuse de 10 et un côté de 8 donnent un autre côté de…

Bonne réponse :

Le carré recherché vaut .

Q16Si le carré du plus long côté diffère de la somme des deux autres carrés…

Bonne réponse : le triangle n’est pas rectangle

C’est la contraposée du théorème de Pythagore.

Exercices corrigés

12 exercices classés du plus simple au plus difficile. Cherchez d'abord seul, puis révélez la correction rédigée étape par étape.

Exercice 1

Facile

MNP est rectangle en N. Écris l’égalité de Pythagore.

Correction

MP est opposé à l’angle droit ; c’est l’hypoténuse.

Donc .

Exercice 2

Facile

ABC est rectangle en A, cm et cm. Calcule BC.

Correction

.

cm.

Exercice 3

Facile

ABC est rectangle en B, cm et cm. Calcule BC.

Correction

.

La longueur positive est cm.

Exercice 4

Facile

Un triangle a pour côtés 8 cm, 15 cm et 17 cm. Est-il rectangle ?

Correction

et .

Par la réciproque, il est rectangle ; le côté de 17 cm est l’hypoténuse.

Exercice 5

Moyen

Un triangle de côtés 6 cm, 8 cm et 11 cm est-il rectangle ?

Correction

Le plus long côté est 11 cm. Son carré vaut 121, alors que .

Les valeurs sont différentes : la contraposée prouve que le triangle n’est pas rectangle.

Exercice 6

Moyen

Calcule la diagonale d’un rectangle de 5 cm sur 2 cm, puis arrondis au dixième.

Correction

, donc cm.

, donc la diagonale vaut environ 5,4 cm.

Exercice 7

Moyen

Une échelle de 2,6 m est posée contre un mur vertical. Son pied est à 1 m du mur horizontalement. À quelle hauteur touche-t-elle le mur ?

Correction

Le mur et le sol forment un angle droit. L’échelle est l’hypoténuse : .

m. La hauteur est bien inférieure à la longueur de l’échelle.

Exercice 8

Moyen

Un carré a un côté de 6 cm. Donne la valeur exacte de sa diagonale.

Correction

.

cm.

Exercice 9

Moyen

ABC est rectangle en A, cm et cm. Calcule BC.

Correction

.

cm : les racines disparaissent ici après calcul.

Exercice 10

Difficile

Un triangle équilatéral a un côté de 8 cm. Calcule sa hauteur puis son aire exactes.

Correction

La hauteur coupe la base en deux segments de 4 cm. , donc cm.

Son aire vaut .

Exercice 11

Difficile

ABC est rectangle en A avec cm et cm. BCD est rectangle en C avec cm. Calcule BD.

Correction

Dans ABC, , donc cm.

Dans BCD, , donc cm.

Exercice 12

Difficile

ABC est rectangle en A, cm, cm. H est le pied de la perpendiculaire de A à (BC). Calcule BC puis AH en exprimant deux fois l’aire.

Correction

Pythagore donne cm. L’aire vaut .

Avec BC comme base, , donc cm. On a ainsi retrouvé .