Théorème de Thalès 3AC : exercices corrigés

1. Les droites (EF) et (EG) se coupent en E : c’est le sommet commun aux deux triangles ERS et EFG.
2. R est sur [EF], S est sur [EG] et $(RS)\parallel (FG)$ : d’après le théorème de Thalès, $\frac{ER}{EF}=\frac{ES}{EG}=\frac{RS}{FG}$.
3. Le troisième rapport, $\frac{RS}{FG}$, compare les longueurs portées par les deux droites parallèles.

À retenir : Chaque rapport part du point d’intersection des deux sécantes : petit triangle au numérateur, grand triangle au dénominateur.

1. Oui : deux droites sécantes en A sont coupées par deux droites parallèles.
2. Non : sans le parallélisme de (MN) et de (BC), le théorème ne s’applique pas.
3. Oui : les points A, M, B sont alignés, les points A, N, C aussi, et les droites (MN) et (BC) sont parallèles. Peu importe que A soit entre M et B ou non.

À retenir : Le théorème de Thalès demande deux droites sécantes et deux droites parallèles qui les coupent.

1. $\frac{AM}{AB}=\frac{3}{5}=0,6$.
2. D’après le théorème de Thalès, $\frac{AN}{AC}=\frac{AM}{AB}$, donc $AN=\frac{3}{5}\times 7,5=4,5$ cm.
3. N est sur [AC], donc $NC=AC-AN=7,5-4,5=3$ cm.

À retenir : Une fois le rapport connu, on multiplie la grande longueur par ce rapport pour obtenir la petite.

1. D’après le théorème de Thalès, $\frac{RU}{RS}=\frac{RV}{RT}=\frac{UV}{ST}$. Donc $\frac{UV}{12}=\frac{6}{9}$ et $UV=\frac{6\times 12}{9}=8$ cm.
2. $\frac{8}{RT}=\frac{6}{9}$, donc $RT=\frac{8\times 9}{6}=12$ cm.
3. V est sur [RT], donc $VT=RT-RV=12-8=4$ cm.

À retenir : On choisit les deux rapports dont trois longueurs sont connues, puis on utilise le produit en croix.

1. Les droites (AD) et (BE) sont sécantes en C et $(AB)\parallel (DE)$ : $\frac{CA}{CD}=\frac{CB}{CE}=\frac{AB}{DE}$.
2. $\frac{5}{DE}=\frac{4}{6}$, donc $DE=\frac{5\times 6}{4}=7,5$ cm.
3. $\frac{CB}{9}=\frac{4}{6}$, donc $CB=\frac{9\times 4}{6}=6$ cm.

À retenir : Dans la configuration papillon, les rapports partent encore du point d’intersection des deux sécantes.

1. M est sur [AB], donc $AB=AM+MB=2+3=5$ cm.
2. Le rapport doit comparer $AM$ à la longueur totale $AB$, et non à $MB$ : la bonne égalité est $\frac{MN}{BC}=\frac{AM}{AB}$.
3. $\frac{MN}{10}=\frac{2}{5}$, donc $MN=\frac{2\times 10}{5}=4$ cm.

À retenir : Les rapports de Thalès utilisent les longueurs mesurées depuis le sommet commun : $AM$ et $AB$, jamais $MB$.

1. $\frac{AM}{AB}=\frac{3}{7,5}=0,4$ et $\frac{AN}{AC}=\frac{4}{10}=0,4$.
2. Les points A, M, B et A, N, C sont alignés dans le même ordre et $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$ : d’après la réciproque du théorème de Thalès, $(MN)\parallel (BC)$.
3. Les droites sont parallèles, donc $\frac{MN}{BC}=0,4$ et $MN=0,4\times 9=3,6$ cm.

À retenir : La réciproque demande deux choses : des points alignés dans le même ordre et deux rapports égaux.

1. $\frac{AE}{AB}=\frac{2}{5}=0,4$ et $\frac{AF}{AC}=\frac{3}{8}=0,375$ : les deux rapports sont différents.
2. Si les droites étaient parallèles, le théorème de Thalès donnerait deux rapports égaux. Ce n’est pas le cas : (EF) et (BC) ne sont pas parallèles.
3. Il faudrait $\frac{3}{AC}=\frac{2}{5}$, soit $AC=\frac{3\times 5}{2}=7,5$ cm.

À retenir : Des rapports différents prouvent que les droites ne sont pas parallèles : on compare les valeurs exactes, sans arrondir.

1. $AM\times AC=3,5\times 7,2=25,2$ et $AB\times AN=10,5\times 2,4=25,2$.
2. Les produits en croix sont égaux, donc $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$. Les deux rapports valent $\frac{1}{3}$.
3. Les points sont alignés dans le même ordre et les rapports sont égaux : d’après la réciproque du théorème de Thalès, $(MN)\parallel (BC)$.

À retenir : Pour comparer deux rapports sans arrondir, on compare les produits en croix.

1. $k=\frac{AM}{AB}=\frac{4}{10}=0,4$.
2. $AN=0,4\times 8=3,2$ cm et $MN=0,4\times 14=5,6$ cm.
3. Première façon : $4+3,2+5,6=12,8$ cm. Seconde façon : le périmètre de ABC vaut $10+8+14=32$ cm, et $0,4\times 32=12,8$ cm.

À retenir : Dans une réduction de rapport $k$, toutes les longueurs, donc aussi le périmètre, sont multipliées par $k$.

1. Les longueurs sont multipliées par $k$ : $DE=3\times 4=12$ cm.
2. Les aires sont multipliées par $k^2$ : $3^2\times 6=9\times 6=54$ cm².
3. ${\left(\frac{1}{2}\right)}^2\times 6=\frac{1}{4}\times 6=1,5$ cm².

À retenir : Dans un agrandissement ou une réduction de rapport $k$, les longueurs sont multipliées par $k$ et les aires par $k^2$.

1. B est entre A et M, donc $AM=AB+BM=6+3=9$ cm.
2. D’après le théorème de Thalès, $\frac{AB}{AM}=\frac{AC}{AN}=\frac{BC}{MN}$. Donc $\frac{6}{9}=\frac{8}{AN}$, soit $AN=\frac{8\times 9}{6}=12$ cm, puis $CN=AN-AC=12-8=4$ cm.
3. $\frac{6}{9}=\frac{5}{MN}$, donc $MN=\frac{5\times 9}{6}=7,5$ cm.

À retenir : Quand le petit triangle est connu, on obtient le grand en multipliant par l’inverse du rapport.

1. Le piquet et le minaret sont tous les deux perpendiculaires au sol horizontal : deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles.
2. Les deux droites sont sécantes en O et le piquet est parallèle au minaret. D’après le théorème de Thalès, $\frac{2}{h}=\frac{3}{45}$, donc $h=\frac{2\times 45}{3}=30$ m.
3. $\frac{p}{30}=\frac{5}{45}$, donc $p=\frac{30\times 5}{45}=\frac{10}{3}$ m, et $\frac{10}{3}\approx 3,33$.

À retenir : Deux objets verticaux sur un sol horizontal sont parallèles : c’est ce qui permet d’utiliser le théorème de Thalès.

1. Les droites (AC) et (BD) sont sécantes en O, et les bases (AB) et (CD) d’un trapèze sont parallèles : c’est une configuration papillon.
2. D’après le théorème de Thalès, $\frac{OA}{OC}=\frac{OB}{OD}=\frac{AB}{CD}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$.
3. $OA=\frac{2}{3}OC$ et $OA+OC=10$, donc $\frac{5}{3}OC=10$, soit $OC=6$ cm et $OA=4$ cm.

À retenir : Les diagonales d’un trapèze forment une configuration papillon avec ses deux bases.

1. $\frac{AM}{AB}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$ et $\frac{AN}{AC}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$. Les points A, M, B et A, N, C sont alignés dans le même ordre : d’après la réciproque du théorème de Thalès, $(MN)\parallel (BC)$.
2. $CN=AC-AN=12-8=4$ cm, donc $\frac{CN}{CA}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$.
3. Dans le triangle CAB, N est sur [CA], P est sur [CB] et $(NP)\parallel (AB)$ : $\frac{NP}{AB}=\frac{CN}{CA}=\frac{1}{3}$, donc $NP=\frac{1}{3}\times 9=3$ cm.
4. (MN) est parallèle à (BP) et (NP) est parallèle à (MB) : les côtés opposés de MNPB sont parallèles, c’est un parallélogramme.

À retenir : On peut changer de sommet commun d’une question à l’autre : ici, le second calcul part du point C.