Le théorème de Thalès

Le théorème de Thalès énonce que si deux droites parallèles coupent deux droites sécantes, alors elles déterminent des segments de longueurs proportionnelles. C'est l'outil qui permet de calculer une longueur inaccessible (la hauteur d'un arbre, la largeur d'un oued) à partir de longueurs que l'on sait mesurer.

Mis à jour le 14 août 2026

Dans une configuration de Thalès, les deux droites parallèles découpent sur les sécantes des segments proportionnels. Programme de 3AC, semestre 1.

À la fin de ce chapitre, vous saurez

Reconnaître une configuration de Thalès sur une figure
Écrire correctement les trois rapports égaux du théorème
Calculer une longueur manquante à l'aide du produit en croix
Utiliser la réciproque pour démontrer que deux droites sont parallèles

PrérequisLa proportionnalité et le produit en croix · Les droites parallèles et sécantes · Le théorème des milieux vu en 2AC

Qu'est-ce que le théorème de Thalès ?

Le théorème de Thalès s'applique dès que deux droites parallèles viennent couper deux droites sécantes. Il traduit une idée simple : ces parallèles découpent, sur les deux sécantes, des segments qui gardent les mêmes proportions.

Définition

Configuration de Thalès : On appelle configuration de Thalès la figure formée par deux droites sécantes en un point $A$ et deux droites parallèles qui les coupent. Selon la position des parallèles, la figure prend la forme d'un triangle ou d'un papillon.

Théorème

Théorème de Thalès

Soient deux droites $(B M)$ et $(C N)$ sécantes en $A$ . Si les droites $(M N)$ et $(B C)$ sont parallèles, alors : $\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C} = \frac{M N}{B C}$ .

Les deux premiers rapports comparent des longueurs portées par les sécantes ; le troisième compare les deux segments parallèles.

Dans une configuration de Thalès, les deux droites parallèles découpent sur les sécantes des segments proportionnels. Programme de 3AC, semestre 1.

Attention

L'ordre des lettres n'est jamais arbitraire. Chaque rapport doit partir du point d'intersection $A$ : on écrit $\frac{A M}{A B}$ , jamais $\frac{M A}{A B}$ mélangé avec $\frac{A C}{A N}$ . Un rapport écrit à l'envers donne un résultat faux.

Les deux configurations à reconnaître

Configuration en triangle : les points $M$ et $N$ sont du même côté de $A$ , entre $A$ et les points $B$ et $C$ . La petite figure $A M N$ est une réduction du triangle $A B C$ .
Configuration en papillon : $A$ se trouve entre $M$ et $B$ d'un côté, et entre $N$ et $C$ de l'autre. Les deux triangles se font face, pointe contre pointe.

Dans les deux cas, le théorème s'écrit exactement de la même manière. Seule change l'allure de la figure : la méthode de calcul, elle, ne bouge pas.

Comment calculer une longueur avec le théorème de Thalès ?

Méthode

Méthode en quatre étapes

Vérifier que les deux droites sont bien sécantes et que les deux autres sont bien parallèles.
Nommer le point d'intersection, puis écrire la triple égalité des rapports en partant toujours de ce point.
Ne garder que les deux rapports qui contiennent la longueur cherchée et trois longueurs connues.
Appliquer le produit en croix, puis isoler l'inconnue.

Exemple guidé

Sur la figure, $M \in [A B]$ , $N \in [A C]$ et $(M N) ∥ (B C)$ . On donne $A M = 3$ cm, $A B = 7,5$ cm et $A C = 10$ cm. Calculer $A N$ .

Les droites $(A B)$ et $(A C)$ sont sécantes en $A$ , et $(M N) ∥ (B C)$ : le théorème de Thalès s'applique.
On écrit : $\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C}$ , c'est-à-dire $\frac{3}{7,5} = \frac{A N}{10}$ .
Produit en croix : $7,5 \times A N = 3 \times 10 = 30$ .
Donc $A N = \frac{30}{7,5} = 4$ cm.

\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C} ⟺ A M \times A C = A N \times A B

Le produit en croix : l'outil de calcul derrière chaque application du théorème.

La réciproque du théorème de Thalès

Le théorème direct part du parallélisme pour obtenir des longueurs. La réciproque fait le chemin inverse : elle part des longueurs pour démontrer le parallélisme. C'est elle que l'on utilise dès qu'une question demande « montrer que les droites sont parallèles ».

Théorème

Réciproque du théorème de Thalès

Si les points $A$ , $M$ , $B$ d'une part et $A$ , $N$ , $C$ d'autre part sont alignés dans le même ordre, et si $\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C}$ , alors les droites $(M N)$ et $(B C)$ sont parallèles.

La condition d'alignement dans le même ordre est indispensable : sans elle, la conclusion est fausse.

Application de la réciproque

$A$ , $M$ , $B$ sont alignés dans cet ordre avec $A M = 4$ cm et $A B = 6$ cm. $A$ , $N$ , $C$ sont alignés dans cet ordre avec $A N = 6$ cm et $A C = 9$ cm. Les droites $(M N)$ et $(B C)$ sont-elles parallèles ?

On calcule séparément les deux rapports : $\frac{A M}{A B} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ .
Puis : $\frac{A N}{A C} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ .
Les deux rapports sont égaux et les points sont alignés dans le même ordre.
D'après la réciproque du théorème de Thalès, $(M N) ∥ (B C)$ .

Le théorème de Thalès et les agrandissements-réductions

Propriété

Coefficient de réduction

Dans une configuration en triangle, le triangle $A M N$ est une réduction du triangle $A B C$ de coefficient $k = \frac{A M}{A B}$ . Les longueurs sont multipliées par $k$ , et les aires par $k^{2}$ .

Grandeur	Effet du coefficient $k$
Longueur	multipliée par $k$
Aire	multipliée par $k^{2}$
Mesure d'angle	inchangée

Ce que devient chaque grandeur dans une réduction de coefficient

k

Les erreurs les plus fréquentes

Écrire les rapports sans partir du point d'intersection commun.
Utiliser le théorème direct alors que la question demande de prouver le parallélisme : c'est la réciproque qu'il faut invoquer.
Oublier de vérifier que les points sont alignés dans le même ordre avant d'appliquer la réciproque.
Mélanger le rapport des longueurs et le rapport des aires dans un problème d'agrandissement.

Questions fréquentes

Qu'est-ce que le théorème de Thalès ?

Le théorème de Thalès énonce que si deux droites parallèles coupent deux droites sécantes, alors elles déterminent sur ces sécantes des segments de longueurs proportionnelles. Concrètement, si

(M N)

est parallèle à

(B C)

dans un triangle

A B C

, alors

\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C} = \frac{M N}{B C}

Quand utilise-t-on la réciproque du théorème de Thalès ?

On utilise la réciproque lorsqu'on cherche à démontrer que deux droites sont parallèles. Il faut vérifier deux choses : que les points sont alignés dans le même ordre sur chaque sécante, et que les deux rapports de longueurs sont égaux.

Quelle est la différence entre la configuration triangle et la configuration papillon ?

Dans la configuration en triangle, les deux parallèles sont du même côté du point d'intersection. Dans la configuration papillon, elles sont de part et d'autre de ce point. Le théorème s'écrit exactement de la même manière dans les deux cas.

Le théorème de Thalès est-il au programme de l'examen régional de 3AC ?

Oui. Le théorème de Thalès et sa réciproque figurent au programme du semestre 1 de la 3ème année collège et reviennent très régulièrement dans les sujets de l'examen régional, souvent associés à un calcul de longueur ou à une démonstration de parallélisme.

Comment savoir quels rapports écrire ?

Chaque rapport commence toujours par le point d'intersection des deux droites sécantes. On écrit d'abord le petit segment, puis le grand, dans le même sens pour les trois rapports :

\frac{A M}{A B}

\frac{A N}{A C}

\frac{M N}{B C}

Exercices corrigés

4 exercices classés du plus simple au plus difficile. Cherchez d'abord seul, puis révélez la correction rédigée étape par étape.

Exercice 1

Facile

$M$ est un point de $[A B]$ et $N$ un point de $[A C]$ tels que $(M N) ∥ (B C)$ . On donne $A M = 2,4$ cm, $A B = 6$ cm et $B C = 15$ cm. Calculer $M N$ .

Correction

Les droites $(A B)$ et $(A C)$ sont sécantes en $A$ et $(M N) ∥ (B C)$ : le théorème de Thalès s'applique.

\frac{A M}{A B} = \frac{M N}{B C}

En remplaçant : $\frac{2,4}{6} = \frac{M N}{15}$ , donc $6 \times M N = 2,4 \times 15 = 36$ .

On obtient $M N = \frac{36}{6} = 6$ cm.

Exercice 2

Moyen

Les droites $(M B)$ et $(N C)$ se coupent en $A$ . On sait que $(M N) ∥ (B C)$ , $A M = 5$ cm, $A B = 8$ cm et $A N = 4,5$ cm. Calculer $A C$ .

Correction

Il s'agit d'une configuration papillon : le point $A$ est situé entre $M$ et $B$ , ainsi qu'entre $N$ et $C$ . Le théorème de Thalès s'écrit de la même façon que dans la configuration en triangle.

\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C}

Soit $\frac{5}{8} = \frac{4,5}{A C}$ , d'où $5 \times A C = 8 \times 4,5 = 36$ .

Donc $A C = \frac{36}{5} = 7,2$ cm.

Exercice 3

Moyen

Sur une figure, $A$ , $E$ , $B$ sont alignés dans cet ordre et $A$ , $F$ , $C$ sont alignés dans cet ordre. On donne $A E = 3,5$ cm, $A B = 5$ cm, $A F = 4,2$ cm et $A C = 6$ cm. Les droites $(E F)$ et $(B C)$ sont-elles parallèles ? Justifier.

Correction

On compare les deux rapports. D'une part : $\frac{A E}{A B} = \frac{3,5}{5} = 0,7$ .

D'autre part : $\frac{A F}{A C} = \frac{4,2}{6} = 0,7$ .

Les deux rapports sont égaux, et les points $A$ , $E$ , $B$ d'une part, $A$ , $F$ , $C$ d'autre part sont alignés dans le même ordre.

D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites $(E F)$ et $(B C)$ sont donc parallèles.

Exercice 4

Difficile

Pour estimer la hauteur d'un palmier, Salma plante verticalement un bâton de $1,5$ m dans le sol, à côté de l'arbre. À la même heure, elle mesure l'ombre du bâton : $0,9$ m, et celle du palmier : $5,4$ m.

Expliquer pourquoi cette situation relève du théorème de Thalès.
Calculer la hauteur du palmier.
Le lendemain, l'ombre du bâton mesure $1,2$ m. Quelle est alors la longueur de l'ombre du palmier ?

Correction

1. Le bâton et le palmier sont tous les deux verticaux : les droites qu'ils portent sont donc parallèles. Les rayons du soleil, eux, arrivent parallèlement et joignent le sommet de chaque objet à l'extrémité de son ombre.

On obtient deux triangles rectangles dont les côtés sont deux à deux parallèles : c'est une configuration de Thalès. Les longueurs correspondantes sont donc proportionnelles.

2. En notant $h$ la hauteur du palmier, la proportionnalité s'écrit :

\frac{h}{1,5} = \frac{5,4}{0,9}, donc 0,9 \times h = 1,5 \times 5,4 = 8,1

D'où $h = \frac{8,1}{0,9} = 9$ m. Le palmier mesure 9 mètres.

3. Le rapport entre la hauteur d'un objet et la longueur de son ombre est le même pour tous les objets à un instant donné. Si l'ombre du bâton mesure $1,2$ m, alors en notant $ℓ$ l'ombre du palmier :

\frac{ℓ}{1,2} = \frac{9}{1,5} = 6

Donc $ℓ = 6 \times 1,2 = 7,2$ m. L'ombre du palmier mesure alors $7,2$ m.

Remarque

Cette méthode, dite « méthode de l'ombre », est exactement celle que la tradition attribue à Thalès pour mesurer la hauteur de la pyramide de Khéops.

À la fin de ce chapitre, vous saurez

Qu'est-ce que le théorème de Thalès ?

Les deux configurations à reconnaître

Comment calculer une longueur avec le théorème de Thalès ?

La réciproque du théorème de Thalès

Le théorème de Thalès et les agrandissements-réductions

Les erreurs les plus fréquentes

Questions fréquentes

Qu'est-ce que le théorème de Thalès ?

Quand utilise-t-on la réciproque du théorème de Thalès ?

Quelle est la différence entre la configuration triangle et la configuration papillon ?

Le théorème de Thalès est-il au programme de l'examen régional de 3AC ?

Comment savoir quels rapports écrire ?

Exercices corrigés

Qu'est-ce que le théorème de Thalès ?

Comment calculer une longueur avec le théorème de Thalès ?

Qu'est-ce que le théorème de Thalès ?

Quand utilise-t-on la réciproque du théorème de Thalès ?

Quelle est la différence entre la configuration triangle et la configuration papillon ?

Le théorème de Thalès est-il au programme de l'examen régional de 3AC ?

Comment savoir quels rapports écrire ?