Théorème de Thalès

Les droites $(AB)$ et $(AC)$ sont sécantes en $A$ et $(MN)\parallel (BC)$ : le théorème de Thalès s'applique.

En remplaçant : $\frac{2,4}{6}=\frac{MN}{15}$, donc $6\times MN=2,4\times 15=36$.

On obtient $MN=\frac{36}{6}=6$ cm.

Il s'agit d'une configuration papillon : le point $A$ est situé entre $M$ et $B$, ainsi qu'entre $N$ et $C$. Le théorème de Thalès s'écrit de la même façon que dans la configuration en triangle.

Soit $\frac{5}{8}=\frac{4,5}{AC}$, d'où $5\times AC=8\times 4,5=36$.

Donc $AC=\frac{36}{5}=7,2$ cm.

On compare les deux rapports. D'une part : $\frac{AE}{AB}=\frac{3,5}{5}=0,7$.

D'autre part : $\frac{AF}{AC}=\frac{4,2}{6}=0,7$.

Les deux rapports sont égaux, et les points $A$, $E$, $B$ d'une part, $A$, $F$, $C$ d'autre part sont alignés dans le même ordre.

D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites $(EF)$ et $(BC)$ sont donc parallèles.

1. Le bâton et le palmier sont tous les deux verticaux : les droites qu'ils portent sont donc parallèles. Les rayons du soleil, eux, arrivent parallèlement et joignent le sommet de chaque objet à l'extrémité de son ombre.

On obtient deux triangles rectangles dont les côtés sont deux à deux parallèles. En déplaçant sur le dessin le petit triangle pour faire coïncider les extrémités des ombres, sans changer son orientation, les deux triangles ont le même sommet et leurs hauteurs sont parallèles. Thalès donne alors la proportionnalité des longueurs correspondantes.

2. En notant $h$ la hauteur du palmier, la proportionnalité s'écrit :

D'où $h=\frac{8,1}{0,9}=9$ m. Le palmier mesure 9 mètres.

3. Le rapport entre la hauteur d'un objet et la longueur de son ombre est le même pour tous les objets à un instant donné. Si l'ombre du bâton mesure $1,2$ m, alors en notant $\ell$ l'ombre du palmier :

Donc $\ell =6\times 1,2=7,2$ m. L'ombre du palmier mesure alors $7,2$ m.

Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles, avec $M\in [AB]$ et $N\in [AC]$ : d'après le théorème de Thalès, $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}$.

On utilise $\frac{AM}{AB}=\frac{MN}{BC}$, soit $\frac{3}{9}=\frac{MN}{12}$.

Donc $MN=\frac{3\times 12}{9}=4$ cm.

Les rapports commencent tous par le point $R$, commun aux deux sécantes : $\frac{RE}{RS}=\frac{RF}{RT}=\frac{EF}{ST}$.

Au numérateur figurent les côtés du petit triangle $REF$, au dénominateur ceux du grand triangle $RST$.

D'après le théorème de Thalès : $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$, soit $\frac{4}{10}=\frac{6}{AC}=\frac{5}{BC}$.

De $\frac{4}{10}=\frac{6}{AC}$, on tire $AC=\frac{10\times 6}{4}=15$ cm.

De $\frac{4}{10}=\frac{5}{BC}$, on tire $BC=\frac{10\times 5}{4}=12,5$ cm.

On calcule les deux rapports : $\frac{AM}{AB}=\frac{4}{10}=0,4$ et $\frac{AN}{AC}=\frac{5}{12}$.

Or $\frac{5}{12}\ne 0,4$, puisque $0,4\times 12=4,8\ne 5$.

Les rapports sont différents, donc d'après le théorème de Thalès les droites $(MN)$ et $(BC)$ ne sont pas parallèles.

Il s'agit d'une configuration papillon : les parallèles $(BC)$ et $(DE)$ sont de part et d'autre du point $A$.

Le théorème de Thalès s'écrit : $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$, donc $\frac{4}{6}=\frac{DE}{9}$.

D'où $DE=\frac{4\times 9}{6}=6$ cm.

1. $\frac{AM}{AB}=\frac{2}{8}=0,25$ et $\frac{AN}{AC}=\frac{2,5}{10}=0,25$. Les rapports sont égaux et les points $A$, $M$, $B$ d'une part, $A$, $N$, $C$ d'autre part, sont alignés dans le même ordre : d'après la réciproque du théorème de Thalès, $(MN)\parallel (BC)$.

2. Les droites étant parallèles, le théorème de Thalès donne $\frac{MN}{BC}=0,25$, donc $MN=0,25\times 12=3$ cm.

3. Le périmètre du triangle $AMN$ vaut $AM+AN+MN=2+2,5+3=7,5$ cm, soit le quart du périmètre de $ABC$, qui vaut $30$ cm.

Thalès donne $\frac{AN}{AC}=\frac{AM}{AB}=\frac{10}{4}=2,5$, donc $AN=15$ cm.

Puisque C est entre A et N, $CN=AN-AC=15-6=9$ cm.

Non. La disposition relative des points n’est pas la même sur les deux sécantes.

La réciproque exige les alignements et une position compatible. L’égalité des rapports de longueurs seule ne permet pas de conclure au parallélisme.