Puissances 3AC : exercices corrigés

1. $2^6=2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 2=64$.
2. $(-5{)}^3=(-5)\times (-5)\times (-5)=-125$ : trois facteurs négatifs donnent un produit négatif.
3. $(-2{)}^4=16$ : l’exposant est pair, le résultat est positif.
4. ${\left(\frac{2}{3}\right)}^3=\frac{2^3}{3^3}=\frac{8}{27}$.

À retenir : L’exposant compte les facteurs égaux à la base ; il ne multiplie pas la base.

1. $7^0=1$ : toute puissance d’exposant 0 d’un nombre non nul vaut 1.
2. $2^{-4}=\frac{1}{2^4}=\frac{1}{16}$.
3. $5^{-1}=\frac{1}{5}$ : c’est l’inverse de 5.
4. ${\left(\frac{3}{4}\right)}^{-2}={\left(\frac{4}{3}\right)}^2=\frac{16}{9}$ : on prend l’inverse, puis on élève au carré.

À retenir : Pour $a$ non nul, $a^{-n}$ est l’inverse de $a^n$ : un exposant négatif ne donne pas un nombre négatif.

1. $10^5=100000$ : un 1 suivi de cinq zéros.
2. $10^{-4}=\frac{1}{10^4}=0,0001$ : le chiffre 1 est au quatrième rang après la virgule.
3. $7,2\times 10^3=7,2\times 1000=7200$.
4. $4,5\times 10^{-2}=4,5\times 0,01=0,045$.

À retenir : Multiplier par $10^n$ décale la virgule de $n$ rangs vers la droite ; multiplier par $10^{-n}$ la décale de $n$ rangs vers la gauche.

1. La base est $-7$ : $(-7{)}^2=(-7)\times (-7)=49$.
2. La base est 7 et le signe $-$ reste devant : $-7^2=-(7\times 7)=-49$.
3. L’exposant 15 est impair : $(-1{)}^{15}=-1$.
4. $(-3{)}^3=-27$, donc $-(-3{)}^3=-(-27)=27$.

À retenir : Sans parenthèses, la puissance ne porte que sur le nombre placé juste avant l’exposant.

1. $5^3\times 5^4=5^{3+4}=5^7$.
2. $2^6\times 2^{-9}=2^{6+(-9)}=2^{-3}$.
3. $\frac{7^5}{7^2}=7^{5-2}=7^3$.
4. $\frac{3^2}{3^{-4}}=3^{2-(-4)}=3^{2+4}=3^6$.

À retenir : Même base : on additionne les exposants dans un produit, on les soustrait dans un quotient.

1. $(2^3{)}^4=2^{3\times 4}=2^{12}$.
2. $(10^{-2}{)}^3=10^{-2\times 3}=10^{-6}$.
3. Les exposants sont égaux : $2^5\times 5^5=(2\times 5{)}^5=10^5$.
4. $\frac{12^4}{3^4}={\left(\frac{12}{3}\right)}^4=4^4$.

À retenir : $(a^m{)}^n=a^{m\times n}$ ; à exposant égal, $a^n\times b^n=(a\times b{)}^n$.

1. $A=\frac{2^{5-3}}{2^4}=\frac{2^2}{2^4}=2^{2-4}=2^{-2}$.
2. $B=3^{-2\times 3}\times 3^8=3^{-6}\times 3^8=3^{-6+8}=3^2$.
3. $C=\frac{5^{2\times 3}}{5^{-1+4}}=\frac{5^6}{5^3}=5^{6-3}=5^3$.

À retenir : On simplifie d’abord le numérateur et le dénominateur, puis on soustrait les exposants.

1. $2^{-3}+2^{-1}=\frac{1}{8}+\frac{1}{2}=\frac{1}{8}+\frac{4}{8}=\frac{5}{8}$. Les exposants ne s’additionnent pas dans une somme.
2. $3^2-(-2{)}^3\times 5^0=9-(-8)\times 1=9+8=17$.
3. ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{-3}\times 4^{-1}=2^3\times \frac{1}{4}=\frac{8}{4}=2$.
4. $6^3=(2\times 3{)}^3=2^3\times 3^3$, donc $\frac{6^3}{2^3\times 3^2}=\frac{2^3\times 3^3}{2^3\times 3^2}=3^{3-2}=3$.

À retenir : Les règles sur les exposants valent pour les produits et les quotients, jamais pour les sommes.

1. Faux : on additionne les exposants, $3^2\times 3^5=3^{2+5}=3^7$.
2. Vrai : $(-2{)}^{-2}=\frac{1}{(-2{)}^2}=\frac{1}{4}$. Un exposant négatif ne rend pas le résultat négatif.
3. Faux : $10^3+10^2=1000+100=1100$, alors que $10^5=100000$.
4. Vrai : on multiplie les exposants, $(5^{-1}{)}^{-2}=5^{(-1)\times (-2)}=5^2$.

À retenir : Avant d’appliquer une règle, on vérifie l’opération : produit, quotient ou puissance d’une puissance.

1. $64000=6,4\times 10000=6,4\times 10^4$.
2. $0,0038=3,8\times 0,001=3,8\times 10^{-3}$.
3. $520=5,2\times 10^2$, donc $520\times 10^3=5,2\times 10^2\times 10^3=5,2\times 10^5$.
4. $0,07=7\times 10^{-2}$, donc $0,07\times 10^{-2}=7\times 10^{-2}\times 10^{-2}=7\times 10^{-4}$.

À retenir : Le premier facteur d’une écriture scientifique a un seul chiffre, non nul, avant la virgule.

1. $(3\times 10^4)\times (2\times 10^{-7})=3\times 2\times 10^{4-7}=6\times 10^{-3}$.
2. $(5\times 10^6)\times (8\times 10^3)=40\times 10^9$. Comme $40=4\times 10$, le résultat est $4\times 10^{10}$.
3. $\frac{8,4\times 10^5}{2\times 10^{-2}}=\frac{8,4}{2}\times 10^{5-(-2)}=4,2\times 10^7$.
4. $4\times 10^2=0,4\times 10^3$, donc $6\times 10^3+4\times 10^2=(6+0,4)\times 10^3=6,4\times 10^3$.

À retenir : On regroupe les nombres d’un côté et les puissances de 10 de l’autre, puis on ramène le premier facteur entre 1 et 10.

1. Les exposants sont différents : $10^5>10^4$, donc $3,2\times 10^5>9,7\times 10^4$. En effet, $320000>97000$.
2. $-3<-2$, donc $4\times 10^{-3}<1,5\times 10^{-2}$. En effet, $0,004<0,015$.
3. On range d’abord selon les exposants : $-5<-4<-3$. Donc $6\times 10^{-5}<2,5\times 10^{-4}<1,1\times 10^{-3}$.

À retenir : Pour deux nombres positifs en écriture scientifique, on compare d’abord les exposants ; à exposant égal, on compare les premiers facteurs.

1. $300000=3\times 10^5$, donc la durée est $\frac{1,5\times 10^8}{3\times 10^5}=0,5\times 10^{8-5}=0,5\times 10^3=500$. La lumière met 500 secondes.
2. $500=8\times 60+20$ : cela représente 8 minutes et 20 secondes.
3. Une heure compte $3600=3,6\times 10^3$ secondes. La distance est $3\times 10^5\times 3,6\times 10^3=10,8\times 10^8=1,08\times 10^9$ km.

À retenir : Une durée est le quotient d’une distance par une vitesse : on divise les nombres, puis on soustrait les exposants.

1. $-7<-6$, donc $1,2\times 10^{-7}<7,2\times 10^{-6}$ : le globule rouge est le plus grand.
2. $\frac{7,2\times 10^{-6}}{1,2\times 10^{-7}}=\frac{7,2}{1,2}\times 10^{-6-(-7)}=6\times 10^1=60$. Le globule rouge est 60 fois plus grand.
3. $1,2\times 10^{-7}\times 5\times 10^4=6\times 10^{-3}$ m, soit $0,006$ m, c’est-à-dire 6 mm.

À retenir : Pour comparer deux grandeurs, on calcule leur quotient : il indique combien de fois l’une contient l’autre.

1. $(2\times 10^3{)}^2=2^2\times 10^6=4\times 10^6$. Le numérateur vaut $4\times 10^6\times 10^{-4}=4\times 10^2$. Donc le quotient vaut $\frac{4\times 10^2}{8\times 10^{-1}}=0,5\times 10^{2-(-1)}=0,5\times 10^3=5\times 10^2$.
2. $4=2^2$, donc $4^5=(2^2{)}^5=2^{10}$. Alors $4^5\times 2^{-6}=2^{10}\times 2^{-6}=2^{10-6}=2^4$.
3. $2^{30}=(2^{10}{)}^3=1024^3$ et $10^9=(10^3{)}^3=1000^3$. Comme $1024>1000$, on a $2^{30}>10^9$.

À retenir : On ramène toutes les puissances à la même base, ou au même exposant, avant de simplifier ou de comparer.