Puissances
Une puissance exprime une multiplication répétée. En mathématiques 3AC, les exposants entiers positifs, nuls ou négatifs servent à simplifier des calculs et à écrire les très grands ou très petits nombres en notation scientifique.
À la fin de ce chapitre, vous saurez
- Interpréter les exposants positifs, nuls ou négatifs
- Appliquer les propriétés des puissances avec leurs conditions
- Déterminer le signe d’une puissance
- Écrire et calculer en notation scientifique
PrérequisMultiplication des relatifs · Fractions inverses · Priorités opératoires
Un bon cours, ça se partage.
Que signifie une puissance ?
Définition
Puissance d’exposant positif : Pour un entier n supérieur ou égal à 1, est le produit de n facteurs tous égaux à a. Le nombre a est la base et n est l’exposant.
Compter les facteurs
Que représente ?
- .
- Ce n’est pas : l’exposant indique le nombre de facteurs.
La puissance est calculée avant les multiplications et les additions. Dans , on commence par , puis , et on termine par .
Comment traiter zéro et les exposants négatifs ?
| Condition | Règle | Exemple |
|---|---|---|
| a non nul | ||
| a non nul, n entier positif | ||
| n entier positif |
Attention
Un exposant négatif ne rend pas automatiquement le résultat négatif. est positif. On n’utilise ni ni une puissance négative de 0 dans ce cours.
Quand l’exposant d’une puissance de dix diminue de 1, la valeur est divisée par 10. Cette continuité explique pourquoi , puis et .
Comment déterminer le signe ?
Si la base est positive, toute puissance définie est positive. Pour une base négative, un exposant pair donne un résultat positif et un exposant impair donne un résultat négatif. Cela reste vrai avec un exposant entier négatif, car prendre l’inverse ne change pas le signe.
Le rôle des parenthèses
Comparer et .
- .
- : sans parenthèses, le signe moins est à l’extérieur de la puissance.
Quelles règles utiliser pour simplifier ?
| Opération | Règle |
|---|---|
| Produit de même base | |
| Quotient de même base | |
| Puissance d’une puissance | |
| Puissance d’un produit | |
| Puissance d’un quotient |
Dans ce tableau, m et n sont des entiers relatifs et les bases a et b sont non nulles. Ces conditions permettent d’utiliser aussi les exposants négatifs. Avec seulement des exposants strictement positifs, les règles du produit restent valables même si une base vaut zéro.
Additionner ou multiplier les exposants ?
Simplifier et .
- Le produit vaut .
- La puissance d’une puissance vaut .
Attention
La règle du produit n’est pas une règle de somme : , alors que .
Qu’est-ce que l’écriture scientifique ?
Définition
Écriture scientifique : Un nombre strictement positif s’écrit , avec et n entier relatif. Pour un nombre négatif, on place le signe moins devant l’écriture scientifique de son opposé.
Méthode
Placer la virgule
- Place la virgule après le premier chiffre non nul.
- Compte les déplacements.
- Pour un nombre supérieur ou égal à 10, l’exposant est positif ; entre 0 et 1, il est négatif.
- Vérifie que le coefficient appartient à [1 ; 10[.
Deux tailles différentes
Écrire 58 000 et 0,00072 en notation scientifique.
- .
- .
Comment calculer en notation scientifique ?
Produit à normaliser
Calculer .
- Sépare coefficients et puissances : .
- Comme , le résultat scientifique est .
Addition : choisir une puissance commune
Calculer .
- .
- La somme vaut .
Comment comparer et contrôler le résultat ?
Pour deux nombres positifs en écriture scientifique, compare d’abord les exposants, puis les coefficients si les exposants sont égaux. Ainsi . Pour contrôler un calcul, reviens à une écriture décimale simple : multiplier par 0,01 doit rendre le nombre cent fois plus petit.
Questions fréquentes
Quelles règles de puissances apprendre en 3AC ?
Un exposant négatif donne-t-il un nombre négatif ?
Comment reconnaître une écriture scientifique ?
Peut-on additionner les exposants dans une somme ?
Quelle différence entre et ?
Quiz : 16 questions sur ce chapitre
16 questions tirées au hasard parmi les 16 de ce chapitre : le quiz est différent à chaque visite. Une seule réponse est correcte, et vous voyez immédiatement si la vôtre l'est.
Q1 vaut…
Réponse incorrecte
Quatre facteurs 2 donnent .
Bonne réponse :
Quatre facteurs 2 donnent .
Q2 vaut…
Réponse incorrecte
Toute base non nulle à la puissance zéro vaut 1.
Bonne réponse :
Toute base non nulle à la puissance zéro vaut 1.
Q3 vaut…
Réponse incorrecte
L’exposant négatif indique l’inverse de .
Bonne réponse :
L’exposant négatif indique l’inverse de .
Q4 est…
Réponse incorrecte
La base est négative et l’exposant est impair.
Bonne réponse : négatif
La base est négative et l’exposant est impair.
Q5 vaut…
Réponse incorrecte
La puissance se calcule avant le signe moins extérieur.
Bonne réponse :
La puissance se calcule avant le signe moins extérieur.
Q6, pour a non nul, vaut…
Réponse incorrecte
On additionne les exposants de puissances de même base.
Bonne réponse :
On additionne les exposants de puissances de même base.
Q7, pour a non nul, vaut…
Réponse incorrecte
La puissance d’une puissance multiplie les exposants.
Bonne réponse :
La puissance d’une puissance multiplie les exposants.
Q8 vaut…
Réponse incorrecte
L’exposant du quotient est .
Bonne réponse :
L’exposant du quotient est .
Q9Quelle écriture est scientifique ?
Réponse incorrecte
Le coefficient doit être compris entre 1 inclus et 10 exclu.
Bonne réponse :
Le coefficient doit être compris entre 1 inclus et 10 exclu.
Q100,006 s’écrit…
Réponse incorrecte
Six millièmes correspondent à 6 fois 10 puissance -3.
Bonne réponse :
Six millièmes correspondent à 6 fois 10 puissance -3.
Q11 vaut…
Réponse incorrecte
10 puissance -2 est l’inverse de 100.
Bonne réponse :
10 puissance -2 est l’inverse de 100.
Q12 vaut…
Réponse incorrecte
Chaque terme vaut 8 ; il faut les additionner.
Bonne réponse :
Chaque terme vaut 8 ; il faut les additionner.
Q13 vaut…
Réponse incorrecte
Le carré de -3 vaut 9, puis on prend son inverse.
Bonne réponse :
Le carré de -3 vaut 9, puis on prend son inverse.
Q14 en écriture scientifique donne…
Réponse incorrecte
; une puissance de dix supplémentaire apparaît.
Bonne réponse :
; une puissance de dix supplémentaire apparaît.
Q15Pour additionner et , on peut…
Réponse incorrecte
On obtient , soit .
Bonne réponse : les écrire avec la même puissance de dix
On obtient , soit .
Q16Quel nombre est le plus grand ?
Réponse incorrecte
0,011 est supérieur à 0,009 et à 0,008.
Bonne réponse :
0,011 est supérieur à 0,009 et à 0,008.
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Le chapitre est à revoir en entier
Ne recommencez pas le quiz tout de suite : relisez d'abord tout le cours, en refaisant sur votre cahier chaque exemple guidé au lieu de le lire. Enchaînez avec les exercices « facile », correction masquée, puis revenez ici. C'est en une seule séance de travail que la note change.
À revoir : 16 questions manquées
vaut…
Bonne réponse
Quatre facteurs 2 donnent .
vaut…
Bonne réponse
Toute base non nulle à la puissance zéro vaut 1.
vaut…
Bonne réponse
L’exposant négatif indique l’inverse de .
est…
Bonne réponsenégatif
La base est négative et l’exposant est impair.
vaut…
Bonne réponse
La puissance se calcule avant le signe moins extérieur.
, pour a non nul, vaut…
Bonne réponse
On additionne les exposants de puissances de même base.
, pour a non nul, vaut…
Bonne réponse
La puissance d’une puissance multiplie les exposants.
vaut…
Bonne réponse
L’exposant du quotient est .
Quelle écriture est scientifique ?
Bonne réponse
Le coefficient doit être compris entre 1 inclus et 10 exclu.
0,006 s’écrit…
Bonne réponse
Six millièmes correspondent à 6 fois 10 puissance -3.
vaut…
Bonne réponse
10 puissance -2 est l’inverse de 100.
vaut…
Bonne réponse
Chaque terme vaut 8 ; il faut les additionner.
vaut…
Bonne réponse
Le carré de -3 vaut 9, puis on prend son inverse.
en écriture scientifique donne…
Bonne réponse
; une puissance de dix supplémentaire apparaît.
Pour additionner et , on peut…
Bonne réponseles écrire avec la même puissance de dix
On obtient , soit .
Quel nombre est le plus grand ?
Bonne réponse
0,011 est supérieur à 0,009 et à 0,008.
Exercices corrigés
12 exercices classés du plus simple au plus difficile. Cherchez d'abord seul, puis révélez la correction rédigée étape par étape.
Exercice 1
FacileCalcule et .
Correction
.
car trois facteurs négatifs donnent un produit négatif.
Exercice 2
FacileCalcule et .
Correction
: la base est -6.
: on prend l’opposé de .
Exercice 3
FacileÉcris et sans exposant négatif.
Correction
.
.
Exercice 4
FacileSimplifie .
Correction
On additionne les exposants : .
Le résultat est .
Exercice 5
MoyenSimplifie .
Correction
L’exposant du quotient est .
Le résultat vaut .
Exercice 6
MoyenSimplifie .
Correction
.
Le produit vaut .
Exercice 7
MoyenÉcris 730 000 et 0,000094 en écriture scientifique.
Correction
.
. Chaque coefficient est compris entre 1 inclus et 10 exclu.
Exercice 8
MoyenDonne l’écriture scientifique de .
Correction
Le produit brut est .
On décale le coefficient : .
Exercice 9
MoyenCalcule .
Correction
Le quotient des coefficients vaut 3 et l’exposant vaut .
On obtient .
Exercice 10
DifficileCalcule en écriture scientifique.
Correction
Réécris le second terme : .
La somme est .
Exercice 11
DifficileUne feuille a une épaisseur de 0,08 mm. Calcule l’épaisseur de 2 500 feuilles, en mm puis en m.
Correction
mm.
Comme , l’épaisseur vaut m.
Exercice 12
DifficileClasse , et par ordre croissant.
Correction
L’exposant -5 est inférieur à -4. Les deux nombres d’exposant -5 sont plus petits que celui d’exposant -4.
Puisque , on obtient .