Racines carrées 3AC : exercices corrigés

1. $\sqrt{121}=11$, car $11^2=121$ et 11 est positif.
2. $\sqrt{0,49}=0,7$, car $0,7^2=0,49$.
3. $\sqrt{\frac{25}{64}}=\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{64}}=\frac{5}{8}$.
4. $\sqrt{1600}=\sqrt{16}\times \sqrt{100}=4\times 10=40$.

À retenir : $\sqrt{a}$ est le nombre positif dont le carré vaut $a$.

1. Pour $a$ positif, le carré de $\sqrt{a}$ est $a$ : ${\left(\sqrt{13}\right)}^2=13$.
2. $\sqrt{9^2}=\sqrt{81}=9$.
3. $\sqrt{(-6{)}^2}=\sqrt{36}=6$, et non $-6$ : une racine carrée est toujours positive.
4. ${\left(2\sqrt{5}\right)}^2=2^2\times {\left(\sqrt{5}\right)}^2=4\times 5=20$.

À retenir : Pour $a$ positif, ${\left(\sqrt{a}\right)}^2=a$. La racine carrée de $a^2$ est $a$ si $a$ est positif, et l’opposé de $a$ sinon.

1. $\sqrt{-16}$ n’a pas de sens : aucun nombre réel n’a un carré négatif.
2. $-\sqrt{16}=-4$ : c’est l’opposé de la racine carrée de 16.
3. $\sqrt{0}=0$, car $0^2=0$.
4. $\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$. Attention : ce n’est pas $3+4$.

À retenir : On ne peut prendre la racine carrée que d’un nombre positif ou nul.

1. $\sqrt{5}\times \sqrt{20}=\sqrt{5\times 20}=\sqrt{100}=10$.
2. $\sqrt{2}\times \sqrt{18}=\sqrt{2\times 18}=\sqrt{36}=6$.
3. $\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{72}{2}}=\sqrt{36}=6$.
4. $\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{48}{3}}=\sqrt{16}=4$.

À retenir : Pour $a$ et $b$ positifs, $\sqrt{a}\times \sqrt{b}=\sqrt{a\times b}$, et $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$ si $b$ est non nul.

1. $\sqrt{12}=\sqrt{4\times 3}=\sqrt{4}\times \sqrt{3}=2\sqrt{3}$.
2. $\sqrt{45}=\sqrt{9\times 5}=3\sqrt{5}$.
3. $\sqrt{200}=\sqrt{100\times 2}=10\sqrt{2}$.
4. $\sqrt{63}=\sqrt{9\times 7}=3\sqrt{7}$.

À retenir : On cherche le plus grand carré parfait qui divise le nombre placé sous la racine.

1. $16<20<25$, donc $4<\sqrt{20}<5$.
2. $49<55<64$, donc $7<\sqrt{55}<8$.
3. $100<110<121$, donc $10<\sqrt{110}<11$.

À retenir : On encadre le nombre placé sous la racine par deux carrés parfaits consécutifs.

1. $3\sqrt{2}+5\sqrt{2}-\sqrt{2}=(3+5-1)\sqrt{2}=7\sqrt{2}$.
2. $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$ et $\sqrt{18}=3\sqrt{2}$, donc $\sqrt{8}+\sqrt{18}=2\sqrt{2}+3\sqrt{2}=5\sqrt{2}$.
3. $\sqrt{75}=5\sqrt{3}$, $2\sqrt{12}=4\sqrt{3}$ et $\sqrt{27}=3\sqrt{3}$, donc l’expression vaut $5\sqrt{3}-4\sqrt{3}+3\sqrt{3}=4\sqrt{3}$.
4. $2\sqrt{20}=4\sqrt{5}$ et $\sqrt{45}=3\sqrt{5}$, donc l’expression vaut $4\sqrt{5}-3\sqrt{5}+\sqrt{5}=2\sqrt{5}$.

À retenir : On ne peut additionner que des racines qui portent le même nombre : on simplifie d’abord chaque terme.

1. $\sqrt{3}\left(\sqrt{3}+2\right)={\left(\sqrt{3}\right)}^2+2\sqrt{3}=3+2\sqrt{3}$.
2. ${\left(\sqrt{2}+3\right)}^2={\left(\sqrt{2}\right)}^2+2\times \sqrt{2}\times 3+3^2=2+6\sqrt{2}+9=11+6\sqrt{2}$.
3. ${\left(\sqrt{7}-2\right)}^2={\left(\sqrt{7}\right)}^2-2\times \sqrt{7}\times 2+2^2=7-4\sqrt{7}+4=11-4\sqrt{7}$.
4. $\left(4+\sqrt{6}\right)\left(4-\sqrt{6}\right)=4^2-{\left(\sqrt{6}\right)}^2=16-6=10$.

À retenir : Les identités remarquables s’appliquent aux racines carrées, avec ${\left(\sqrt{a}\right)}^2=a$.

1. Les deux nombres sont positifs : on compare leurs carrés. ${\left(4\sqrt{3}\right)}^2=16\times 3=48$ et $7^2=49$. Comme $48<49$, on a $4\sqrt{3}<7$.
2. ${\left(3\sqrt{6}\right)}^2=9\times 6=54$ et ${\left(5\sqrt{2}\right)}^2=25\times 2=50$. Comme $54>50$, on a $3\sqrt{6}>5\sqrt{2}$.
3. ${\left(2\sqrt{10}\right)}^2=4\times 10=40$ et ${\left(\sqrt{41}\right)}^2=41$. Comme $40<41$, on a $2\sqrt{10}<\sqrt{41}$.

À retenir : Deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre que leurs carrés.

1. $\frac{3}{\sqrt{5}}=\frac{3\times \sqrt{5}}{\sqrt{5}\times \sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{5}$.
2. $\frac{6}{\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$.
3. $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{2}\times \sqrt{6}}{6}=\frac{\sqrt{12}}{6}=\frac{2\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.
4. $\frac{10}{2\sqrt{5}}=\frac{5}{\sqrt{5}}=\frac{5\sqrt{5}}{5}=\sqrt{5}$.

À retenir : On multiplie le numérateur et le dénominateur par la racine carrée du dénominateur : $\sqrt{b}\times \sqrt{b}=b$.

1. On multiplie par l’expression conjuguée $\sqrt{3}+1$ : $\frac{1}{\sqrt{3}-1}=\frac{\sqrt{3}+1}{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}=\frac{\sqrt{3}+1}{3-1}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$.
2. $\frac{4}{3+\sqrt{5}}=\frac{4\left(3-\sqrt{5}\right)}{3^2-{\left(\sqrt{5}\right)}^2}=\frac{4\left(3-\sqrt{5}\right)}{9-5}=3-\sqrt{5}$.
3. $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}=\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}-1\right)}{2-1}=2-\sqrt{2}$.

À retenir : L’expression conjuguée de $a+\sqrt{b}$ est $a-\sqrt{b}$ : leur produit $a^2-b$ ne contient plus de racine.

1. $9^2=81$ : l’équation a deux solutions, $9$ et $-9$.
2. 7 est positif : les solutions sont $\sqrt{7}$ et $-\sqrt{7}$.
3. Un carré n’est jamais négatif : l’équation n’a pas de solution.
4. Les solutions sont $\sqrt{50}$ et $-\sqrt{50}$. Comme $\sqrt{50}=\sqrt{25\times 2}=5\sqrt{2}$, ce sont $5\sqrt{2}$ et $-5\sqrt{2}$.

À retenir : Si $a$ est strictement positif, l’équation $x^2=a$ a deux solutions opposées, $\sqrt{a}$ et $-\sqrt{a}$ ; si $a$ est négatif, elle n’en a aucune.

1. $\sqrt{48}=\sqrt{16\times 3}=4\sqrt{3}$ et $\sqrt{27}=\sqrt{9\times 3}=3\sqrt{3}$.
2. Le périmètre vaut $2\times \left(4\sqrt{3}+3\sqrt{3}\right)=2\times 7\sqrt{3}=14\sqrt{3}$ cm.
3. L’aire vaut $4\sqrt{3}\times 3\sqrt{3}=12\times {\left(\sqrt{3}\right)}^2=12\times 3=36$ cm². C’est un nombre entier.

À retenir : On simplifie les racines avant d’additionner ; pour multiplier, on regroupe les entiers d’un côté et les racines de l’autre.

1. $A+B=\sqrt{5}+2+\sqrt{5}-2=2\sqrt{5}$.
2. $A\times B=\left(\sqrt{5}+2\right)\left(\sqrt{5}-2\right)={\left(\sqrt{5}\right)}^2-2^2=5-4=1$.
3. Le produit de $A$ et de $B$ vaut 1 : $B$ est l’inverse de $A$. Donc $\frac{1}{A}=B=\sqrt{5}-2$.
4. $A^2=5+4\sqrt{5}+4=9+4\sqrt{5}$ et $B^2=5-4\sqrt{5}+4=9-4\sqrt{5}$. Donc $A^2+B^2=18$.

À retenir : Deux nombres dont le produit vaut 1 sont inverses l’un de l’autre : c’est le principe de l’expression conjuguée.

1. Faux : $\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$, alors que $\sqrt{16}+\sqrt{9}=4+3=7$. La racine d’une somme n’est pas la somme des racines.
2. Vrai : $\sqrt{80}=\sqrt{16\times 5}=4\sqrt{5}$.
3. Faux : ${\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}^2=3+2\sqrt{6}+2=5+2\sqrt{6}$. Il ne faut pas oublier le double produit.
4. Vrai : $2\sqrt{8}=\sqrt{4}\times \sqrt{8}=\sqrt{32}$.

À retenir : La racine d’une somme ne se sépare pas en somme de racines : seuls le produit et le quotient se séparent.