Racines carrées

Exemple

Calculer $\sqrt{49}$, $\sqrt{0,25}$ et $\sqrt{(-5{)}^2}$.

1. $\sqrt{49}=7$ car $7^2=49$ et $7>0$.
2. $\sqrt{0,25}=0,5$ car $0,5^2=0,25$.
3. $\sqrt{(-5{)}^2}=\sqrt{25}=5$, et non $-5$ : la racine carrée reste positive.

Remarque

Il est utile d'y ajouter $11^2=121$, $12^2=144$, $13^2=169$, $14^2=196$ et $15^2=225$.

Propriété

Racine carrée d'un produit

Pour tous nombres positifs $a$ et $b$ : $\sqrt{a\times b}=\sqrt{a}\times \sqrt{b}$.

Propriété

Racine carrée d'un quotient

Pour tout nombre positif $a$ et tout nombre strictement positif $b$ : $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.

Méthode

Méthode

1. Chercher le plus grand carré parfait qui divise le nombre sous la racine.
2. Décomposer le nombre en un produit d’un carré parfait par un autre facteur.
3. Séparer la racine du produit en un produit de racines.
4. Extraire la racine du carré parfait.

Simplification

Simplifier $\sqrt{72}$.

1. Le plus grand carré parfait divisant $72$ est $36$, car $72=36\times 2$.
2. $\sqrt{72}=\sqrt{36\times 2}=\sqrt{36}\times \sqrt{2}$.
3. $\sqrt{72}=6\sqrt{2}$.

Réduire une somme

Écrire $\sqrt{50}+\sqrt{18}-\sqrt{8}$ sous la forme $a\sqrt{2}$.

1. $\sqrt{50}=\sqrt{25\times 2}=5\sqrt{2}$.
2. $\sqrt{18}=\sqrt{9\times 2}=3\sqrt{2}$.
3. $\sqrt{8}=\sqrt{4\times 2}=2\sqrt{2}$.
4. La somme vaut $5\sqrt{2}+3\sqrt{2}-2\sqrt{2}=(5+3-2)\sqrt{2}=6\sqrt{2}$.

Cas simple

Rendre rationnel le dénominateur de $\frac{3}{\sqrt{5}}$.

1. On multiplie haut et bas par $\sqrt{5}$ : $\frac{3}{\sqrt{5}}=\frac{3\times \sqrt{5}}{\sqrt{5}\times \sqrt{5}}$.
2. Or $\sqrt{5}\times \sqrt{5}=5$.
3. Donc $\frac{3}{\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{5}$.

Avec une somme au dénominateur

Rendre rationnel le dénominateur de $\frac{1}{\sqrt{3}+1}$.

1. On multiplie haut et bas par l'expression conjuguée $\sqrt{3}-1$.
2. Au dénominateur, l'identité $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ donne $(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)=3-1=2$.
3. Donc $\frac{1}{\sqrt{3}+1}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$.

Ne pas confondre racine et solutions

Comparer $\sqrt{36}$ et les solutions de $x^2=36$.

1. La notation $\sqrt{36}$ désigne seulement 6.
2. L’équation admet deux solutions : -6 et 6. Si x est une longueur, seule la solution positive est retenue.

Un calcul exact avant la calculatrice

Encadrer $\sqrt{10}$ entre deux dixièmes consécutifs.

1. $3,1^2=9,61<10<10,24=3,2^2$, donc $3,1<\sqrt{10}<3,2$.
2. La calculatrice donne environ 3,162277 ; l’arrondi au centième est 3,16. On écrit $\sqrt{10}\approx 3,16$, avec un signe d’approximation.