Ordre et opérations 3AC : exercices corrigés

1. $\frac{3}{4}=\frac{21}{28}$ et $\frac{5}{7}=\frac{20}{28}$, donc $\frac{3}{4}>\frac{5}{7}$.
2. Deux nombres négatifs sont rangés dans l’ordre contraire de leurs distances à zéro : $2,5>2,45$, donc $-2,5<-2,45$.
3. $\frac{-7}{3}=\frac{-28}{12}$ et $\frac{-9}{4}=\frac{-27}{12}$. Comme $-28<-27$, on a $\frac{-7}{3}<\frac{-9}{4}$.
4. Les deux nombres sont positifs : ${\left(3\sqrt{2}\right)}^2=18$ et $4^2=16$. Comme $18>16$, on a $3\sqrt{2}>4$.

À retenir : Pour comparer deux fractions, on les réduit au même dénominateur positif ; pour deux nombres positifs, on peut comparer leurs carrés.

1. $a-b=\frac{7}{5}-\frac{4}{3}=\frac{21}{15}-\frac{20}{15}=\frac{1}{15}$. La différence est positive, donc $a>b$.
2. $a-b=2,99-3=-0,01$. La différence est négative, donc $a<b$.
3. $a-b=\frac{1}{3}-\frac{34}{100}=\frac{100}{300}-\frac{102}{300}=\frac{-2}{300}$. La différence est négative : $a<b$, même si les deux nombres sont très proches.

À retenir : Si la différence de $a$ et de $b$ est positive, alors $a$ est le plus grand ; si elle est négative, c’est $b$.

1. $-3,2<-3<0<2,09<2,1$ : les négatifs d’abord, puis zéro, puis les positifs.
2. $\frac{1}{2}=\frac{15}{30}$, $\frac{2}{3}=\frac{20}{30}$ et $\frac{3}{5}=\frac{18}{30}$, donc $\frac{1}{2}<\frac{3}{5}<\frac{2}{3}$.
3. On compare les carrés de ces nombres positifs : ${\left(2\sqrt{3}\right)}^2=12$, $3,5^2=12,25$ et ${\left(\sqrt{11}\right)}^2=11$. Comme $11<12<12,25$, on a $\sqrt{11}<2\sqrt{3}<3,5$.

À retenir : Pour ranger plusieurs nombres, on les écrit sous une même forme : même dénominateur, écriture décimale ou carrés.

1. On ajoute 3 aux deux membres : $x+3<5+3$, donc $x+3<8$.
2. On soustrait 9 aux deux membres : $x-9<5-9$, donc $x-9<-4$.
3. On ajoute $\frac{1}{2}$ aux deux membres : $x+\frac{1}{2}<5+\frac{1}{2}$, donc $x+\frac{1}{2}<\frac{11}{2}$.

À retenir : Ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres d’une inégalité ne change pas son sens.

1. On multiplie par 3, qui est positif : le sens est conservé, $3a>12$.
2. On multiplie par $-5$, qui est négatif : le sens change, $-5a<-20$.
3. On divise par 2, qui est positif : le sens est conservé, $\frac{a}{2}>2$.
4. On multiplie par $-1$ : le sens change, $-a<-4$.

À retenir : Multiplier ou diviser par un nombre strictement négatif change le sens de l’inégalité.

1. Vrai : soustraire 7 aux deux membres conserve le sens.
2. Faux : multiplier par $-3$ change le sens, on obtient $-3a>-3b$.
3. Vrai : multiplier par 2, positif, puis ajouter 1 conserve le sens.
4. Vrai : diviser par $-4$, négatif, change le sens.

À retenir : On repère chaque opération : seule une multiplication ou une division par un nombre négatif inverse le sens.

1. On additionne membre à membre : $2+1\le a+b\le 5+3$, soit $3\le a+b\le 8$.
2. On multiplie par 3, positif : $3\times 2\le 3a\le 3\times 5$, soit $6\le 3a\le 15$.
3. On additionne les encadrements de $3a$ et de $b$ : $6+1\le 3a+b\le 15+3$, soit $7\le 3a+b\le 18$.

À retenir : On peut additionner membre à membre deux encadrements de même sens.

1. Multiplier par $-1$ change le sens : $-6\le -n\le -1$.
2. $m-n=m+(-n)$. On additionne les encadrements de $m$ et de $-n$ : $4-6\le m-n\le 9-1$, soit $-2\le m-n\le 8$.
3. Il a soustrait membre à membre, ce qui n’est pas permis. Par exemple, $m=4$ et $n=6$ donnent $m-n=-2$, qui n’est pas égal à 3.

À retenir : Pour encadrer une différence, on encadre d’abord l’opposé du second nombre, puis on additionne : ses bornes se trouvent croisées.

1. On multiplie par 4, positif : $-4\le 4x\le 8$.
2. On multiplie par $-3$, négatif : le sens change, $3\ge -3x\ge -6$, soit $-6\le -3x\le 3$.
3. On ajoute 7 à l’encadrement de $-3x$ : $7-6\le 7-3x\le 7+3$, soit $1\le 7-3x\le 10$.

À retenir : Après une multiplication par un nombre négatif, on réécrit l’encadrement de la plus petite borne à la plus grande.

1. Les bornes sont positives, on multiplie membre à membre : $3\times 2\le ab\le 5\times 4$, soit $6\le ab\le 20$.
2. Pour des nombres positifs, l’inverse change le sens : $\frac{1}{4}\le \frac{1}{b}\le \frac{1}{2}$.
3. Le quotient de $a$ par $b$ est le produit de $a$ par l’inverse de $b$. On multiplie membre à membre : $3\times \frac{1}{4}\le \frac{a}{b}\le 5\times \frac{1}{2}$, soit $\frac{3}{4}\le \frac{a}{b}\le \frac{5}{2}$.

À retenir : Pour encadrer un quotient de nombres positifs, on encadre d’abord l’inverse du dénominateur, puis on multiplie.

1. Les bornes sont positives : les carrés sont rangés dans le même ordre, $4\le x^2\le 25$.
2. Les bornes sont négatives : les carrés sont rangés dans l’ordre contraire, $(-3{)}^2\le x^2\le (-6{)}^2$, soit $9\le x^2\le 36$.
3. L’intervalle contient 0 : le plus petit carré est 0. Le plus grand est $(-3{)}^2=9$, car $-3$ est la borne la plus éloignée de zéro. Donc $0\le x^2\le 9$.

À retenir : Le carré conserve l’ordre des nombres positifs et inverse celui des nombres négatifs ; si l’intervalle contient 0, le plus petit carré est 0.

1. On additionne membre à membre : $1,41+1,73<\sqrt{2}+\sqrt{3}<1,42+1,74$, soit $3,14<\sqrt{2}+\sqrt{3}<3,16$.
2. On multiplie par 2 : $3,46<2\sqrt{3}<3,48$.
3. $-1,42<-\sqrt{2}<-1,41$. On additionne avec l’encadrement de $\sqrt{3}$ : $1,73-1,42<\sqrt{3}-\sqrt{2}<1,74-1,41$, soit $0,31<\sqrt{3}-\sqrt{2}<0,33$.

À retenir : Un encadrement donne une valeur approchée contrôlée : on sait de combien on peut se tromper.

1. La distance est le produit de la vitesse par la durée. Avec $15\le v\le 20$ et $2\le t\le 3$, tous positifs : $15\times 2\le d\le 20\times 3$, soit $30\le d\le 60$.
2. L’inverse change le sens : $\frac{1}{20}\le \frac{1}{v}\le \frac{1}{15}$. En multipliant par 60, on obtient $3\le \frac{60}{v}\le 4$.
3. Oui : la durée est au plus de 4 h, donc inférieure à 4 h 30.

À retenir : Pour encadrer un quotient, on encadre l’inverse du diviseur : la plus grande vitesse donne la plus petite durée.

1. On multiplie par 4 : $4\times 7,4\le 4c\le 4\times 7,6$, soit $29,6\le 4c\le 30,4$.
2. Les bornes sont positives : $7,4^2\le c^2\le 7,6^2$, soit $54,76\le c^2\le 57,76$.
3. Non : l’aire peut valoir $54,76$ cm², qui est inférieur à 55 cm². L’encadrement ne permet pas de conclure.

À retenir : Un encadrement donne toutes les valeurs possibles : une affirmation n’est sûre que si elle est vraie pour toutes.

1. $7>6$, donc $\sqrt{7}>\sqrt{6}$. Ces nombres sont positifs, et l’inverse change le sens : $\frac{1}{\sqrt{7}}<\frac{1}{\sqrt{6}}$.
2. Les deux membres sont positifs, on compare leurs carrés : ${\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}^2=5+2\sqrt{6}$ et ${\left(\sqrt{10}\right)}^2=10$. Or ${\left(2\sqrt{6}\right)}^2=24$ et $5^2=25$, donc $2\sqrt{6}<5$ et $5+2\sqrt{6}<10$.
3. En multipliant $a<1$ par $a$, positif : $a^2<a$. En prenant l’inverse de $a<1$ : $\frac{1}{a}>1$, donc $\frac{1}{a}>a$. Finalement, $a^2<a<\frac{1}{a}$.

À retenir : Pour des nombres positifs, le carré conserve l’ordre et l’inverse le renverse.