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Ordre et opérations

Comparer deux réels revient à déterminer lequel est le plus petit, ou s’ils sont égaux. Les règles de l’ordre permettent ensuite de transformer une inégalité et d’encadrer le résultat d’un calcul. La règle essentielle : multiplier ou diviser par un nombre négatif inverse le sens de l’inégalité.

Conforme au programme officiel du Ministère de l'Éducation Nationale (2025-2026) · Mis à jour le

À la fin de ce chapitre, vous saurez

  • Comparer deux réels avec une méthode adaptée
  • Transformer une inégalité en respectant les signes
  • Comparer des carrés, des racines et des inverses
  • Encadrer une somme, une différence, un produit ou un quotient

PrérequisDroite graduée et nombres relatifs · Fractions · Puissances et racines carrées

Un bon cours, ça se partage.

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Que signifient les symboles de comparaison ?

Définition

Ordre : signifie que a est strictement inférieur à b ; autorise aussi l’égalité. Sur une droite graduée orientée vers la droite, le plus petit nombre est placé à gauche.

Entre deux nombres négatifs, le plus éloigné de zéro est le plus petit : . Une double inégalité comme rassemble deux informations : x est au moins égal à 2 et strictement inférieur à 5. On conserve la distinction entre une borne atteinte et une borne exclue.

Comment comparer deux nombres sans arrondir ?

Méthode

Choisir un outil

  1. Pour des décimaux, aligne les rangs et compare les chiffres.
  2. Pour des fractions, utilise un dénominateur commun positif.
  3. Pour des expressions, étudie le signe de leur différence.
  4. Pour deux nombres positifs, une comparaison des carrés peut simplifier les racines.

Le signe d’une différence

Comparer et pour tout réel x.

  1. .
  2. La différence est négative : , quelle que soit la valeur de x.

Fractions

Comparer et .

  1. On écrit et .
  2. Comme et 24 est positif, .

Quelles opérations conservent ou inversent l’ordre ?

Opération sur les deux membresConséquence
Ajouter ou soustraire le même réelLe sens est conservé
Multiplier ou diviser par un réel strictement positifLe sens est conservé
Multiplier ou diviser par un réel strictement négatifLe sens est inversé
Deux droites graduées montrent -2 < 3 puis les opposés 2 > -3. Schéma de mathématiques 3AC.
Multiplier par donne  : le sens de l’inégalité change.

Changer de signe

Transformer pour encadrer .

  1. La multiplication par -3 donne .
  2. On réécrit dans l’ordre croissant : .

Attention

Multiplier par zéro donne l’égalité et fait perdre l’information. Si le signe du multiplicateur est inconnu, on ne peut pas décider du sens sans distinguer les cas.

Comment comparer des carrés et des racines ?

Propriété

Deux nombres positifs ou nuls

Si , alors et . Réciproquement, pour a et b positifs ou nuls, comparer leurs carrés revient à comparer a et b.

Deux nombres avec des racines

Comparer et .

  1. Ils sont positifs. Leurs carrés valent 32 et 27.
  2. Puisque , .

Attention

On ne met pas au carré une inégalité quelconque en conservant automatiquement le sens : mais . Si les nombres sont négatifs, compare leurs opposés positifs avant de conclure.

Que devient l’ordre quand on prend l’inverse ?

Propriété

Inverses de nombres de même signe

Pour deux nombres non nuls de même signe, prendre les inverses renverse l’ordre : si , alors .

Nombres positifs, puis négatifs

Comparer les inverses de 2 et 5, puis ceux de -5 et -2.

  1. donne .
  2. donne , soit .
Bandes de même longueur montrant un cinquième et un demi, puis le passage de 2 < 5 à 1/2 > 1/5. Schéma de mathématiques 3AC.
Pour des nombres strictement positifs, prendre les inverses renverse l’ordre : implique .

La condition de même signe est indispensable. L’inégalité ne donne pas . Si un encadrement contient zéro, une division peut même ne pas être définie : commence toujours par examiner les bornes.

Comment encadrer une somme et une différence ?

Calcul des bornes de x + y et x - y pour 2 ≤ x ≤ 5 et 1 ≤ y ≤ 3. Schéma de mathématiques 3AC.
Avec et , on obtient et .

Combiner deux intervalles

On sait et . Encadrer et .

  1. Pour la somme, on additionne les bornes correspondantes : .
  2. Pour la différence,  ; donc .

Le minimum de est obtenu avec le plus petit x et le plus grand y. Le maximum utilise le plus grand x et le plus petit y. Cette lecture évite de soustraire mécaniquement les bornes dans le mauvais ordre.

Comment encadrer un produit ou un quotient ?

Propriété

Bornes positives

Si et , alors et .

Produit et quotient

Avec et , encadrer xy et .

  1. Les nombres sont positifs : .
  2. Le quotient le plus petit utilise le grand dénominateur : .

Attention

Ces formules de produit et quotient demandent des bornes positives. Si une variable peut être négative, il faut analyser les signes ; une multiplication directe des bornes peut donner un encadrement faux.

Comment obtenir une approximation contrôlée ?

Encadrer une racine au dixième

Encadrer entre deux dixièmes consécutifs.

  1. et .
  2. Les nombres étant positifs, .

Un encadrement indique une zone certaine. Un arrondi est un choix de valeur proche qui demande parfois un contrôle plus fin. Pour arrondir au dixième, compare-le à 3,15 : puisque , l’arrondi est 3,2.

Questions fréquentes

Quand faut-il inverser le sens d’une inégalité ?

Quand on multiplie ou divise ses deux membres par un nombre strictement négatif. Prendre les inverses de deux nombres non nuls de même signe renverse aussi leur ordre.

Comment comparer deux réels en 3AC ?

Choisis une différence, un dénominateur commun positif ou une comparaison des carrés pour deux nombres positifs. Privilégie un calcul exact à un arrondi.

Comment encadrer une différence ?

La borne inférieure est le minimum du premier nombre moins le maximum du second. La borne supérieure est le maximum du premier moins le minimum du second.

Peut-on toujours mettre une inégalité au carré ?

Non. L’ordre est conservé pour des nombres positifs ou nuls. Sur un intervalle contenant des négatifs, il faut analyser les signes et éventuellement la présence de zéro.

Encadrement et arrondi sont-ils identiques ?

Un encadrement donne deux bornes certaines. Un arrondi choisit une valeur à une précision donnée ; il peut exiger un encadrement plus fin.

Quiz : 16 questions sur ce chapitre

16 questions tirées au hasard parmi les 16 de ce chapitre : le quiz est différent à chaque visite. Une seule réponse est correcte, et vous voyez immédiatement si la vôtre l'est.

Q1Si , alors…

Bonne réponse :

Une différence négative signifie que le premier nombre est plus petit.

Q2Ajouter 5 aux deux membres d’une inégalité…

Bonne réponse : conserve le sens

Une translation des deux nombres conserve leur ordre.

Q3Multiplier une inégalité par -4…

Bonne réponse : inverse le sens

Un multiplicateur strictement négatif renverse l’ordre.

Q4Si , alors…

Bonne réponse :

Prendre les opposés inverse l’ordre ; on réécrit ensuite en ordre croissant.

Q5Quels nombres sont classés correctement ?

Bonne réponse :

Sur la droite graduée, -7 est à gauche de -3.

Q6Pour , on a…

Bonne réponse :

L’inverse renverse l’ordre entre deux nombres positifs.

Q7Pour comparer deux nombres positifs, on peut comparer…

Bonne réponse : leurs carrés

Le carré conserve l’ordre sur les nombres positifs ou nuls.

Q8Si , leurs carrés vérifient…

Bonne réponse :

Sur les négatifs, le carré ne conserve pas le sens de cette inégalité.

Q9Si et , alors est entre…

Bonne réponse : -2 et 2

La borne basse est et la borne haute est .

Q10Si et , alors xy est entre…

Bonne réponse : 8 et 15

Les variables positives permettent de multiplier les bornes correspondantes.

Q11Si et , alors est entre…

Bonne réponse : et

Le minimum utilise le plus petit numérateur et le plus grand dénominateur.

Q12 se trouve entre…

Bonne réponse : 4 et 5

On a .

Q13Multiplier par zéro une inégalité stricte donne…

Bonne réponse : une égalité entre zéros

Les deux membres deviennent nuls ; l’information d’ordre est perdue.

Q14Si , le minimum de est…

Bonne réponse :

La valeur est permise et un carré ne peut pas être négatif.

Q15Le symbole autorise…

Bonne réponse : une inégalité ou l’égalité

Il se lit inférieur ou égal.

Q16La règle des inverses exige notamment…

Bonne réponse : des nombres non nuls de même signe

Zéro n’a pas d’inverse et traverser zéro invalide la règle de renversement.

Exercices corrigés

12 exercices classés du plus simple au plus difficile. Cherchez d'abord seul, puis révélez la correction rédigée étape par étape.

Exercice 1

Facile

Range -1,7 ; -1,07 ; -2 par ordre croissant.

Correction

On écrit -1,70 et -1,07 pour comparer leurs rangs.

 : le plus éloigné de zéro parmi ces négatifs est le plus petit.

Exercice 2

Facile

Compare et .

Correction

Le dénominateur commun 18 donne et .

Donc .

Exercice 3

Facile

On sait . Que peut-on dire de  ?

Correction

On ajoute le même nombre 7 aux deux membres.

On obtient , avec le même sens.

Exercice 4

Facile

On sait . Compare -2a et -6.

Correction

Le multiplicateur -2 est négatif : le sens s’inverse.

Donc .

Exercice 5

Moyen

Si , encadre .

Correction

Multiplier par -2 donne .

Ajouter 5 donne .

Exercice 6

Moyen

Avec et , encadre .

Correction

L’opposé de y vérifie .

En additionnant, .

Exercice 7

Moyen

Avec et , encadre ab.

Correction

Les deux variables sont positives ; on multiplie les bornes correspondantes.

.

Exercice 8

Moyen

Avec et , encadre .

Correction

Comme b est positif, .

Le produit par a donne .

Exercice 9

Moyen

Compare et sans valeur approchée.

Correction

Les deux nombres sont positifs. Leurs carrés valent 28 et 27.

Donc .

Exercice 10

Difficile

On sait . Encadre .

Correction

L’opposé est positif : .

On peut mettre au carré : , donc .

Exercice 11

Difficile

Si , encadre . Explique pourquoi est faux.

Correction

La valeur est autorisée et donne  : la borne inférieure 4 est fausse.

La valeur absolue de x ne dépasse pas 3, donc l’encadrement correct est .

Exercice 12

Difficile

Un rectangle a une longueur L entre 12 et 13 m et une largeur l entre 7 et 8 m, bornes incluses. Encadre son périmètre et son aire.

Correction

, donc m.

Les longueurs sont positives : . Périmètre et aire n’ont pas la même unité.