Les limites d'une fonction numérique

a. Le polynôme se comporte comme son terme de plus haut degré $-2x^3$. Comme $x^3\to +\infty$, la limite vaut $-\infty$.

b. Le quotient des termes dominants vaut $\frac{4x}{x^2}=\frac{4}{x}$, dont la limite en $-\infty$ est $0$. Donc la limite cherchée est $0$.

c. Quotient des termes dominants : $\frac{5x^3}{x^2}=5x$, dont la limite en $+\infty$ vaut $+\infty$. La limite cherchée est donc $+\infty$.

a. En $-1$, les deux membres s'annulent. On factorise : $x^2-1=(x-1)(x+1)$ et $x^2+3x+2=(x+1)(x+2)$.

b. Forme $\frac{0}{0}$ avec une racine : on multiplie par la quantité conjuguée $\sqrt{x}+2$.

La limite quand $x\to 4$ vaut donc $\frac{1}{2+2}=\frac{1}{4}$.

Quand $x\to 3$, le numérateur tend vers $7$, qui est strictement positif. Le signe de $f(x)$ est donc celui de $x-3$.

Si $x\to 3^{+}$ : $x-3\to 0^{+}$, donc $f(x)\to +\infty$. Si $x\to 3^{-}$ : $x-3\to 0^{-}$, donc $f(x)\to -\infty$.

En $\pm \infty$, le quotient des termes dominants vaut $\frac{2x}{x}=2$. Donc $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f(x)=2$.

La courbe admet donc la droite d'équation $x=3$ comme asymptote verticale et la droite d'équation $y=2$ comme asymptote horizontale en $+\infty$ et en $-\infty$.

1. On effectue la division euclidienne de $x^2+2x-1$ par $x-1$. On écrit $x^2+2x-1=(x-1)(x+3)+2$.

On a donc $a=1$, $b=3$ et $c=2$.

2. Posons $(\Delta ):y=x+3$. Alors $f(x)-(x+3)=\frac{2}{x-1}$, dont la limite en $+\infty$ comme en $-\infty$ vaut $0$.

La droite $(\Delta )$ d'équation $y=x+3$ est donc asymptote oblique à $(\mathcal{C})$ en $+\infty$ et en $-\infty$.

3. La position relative est donnée par le signe de $f(x)-(x+3)=\frac{2}{x-1}$, qui est celui de $x-1$ puisque $2>0$.

Pour $x>1$, la différence est positive : $(\mathcal{C})$ est au-dessus de $(\Delta )$. Pour $x<1$, elle est négative : $(\mathcal{C})$ est en dessous de $(\Delta )$.

a. Quotient des termes dominants : $\frac{3x^2}{x^2}=3$, donc la limite vaut $3$.

b. Quand $x$ tend vers $0$ par valeurs positives, $\frac{1}{x}$ tend vers $+\infty$.

c. Le polynôme se comporte comme $x^3$, qui tend vers $-\infty$ en $-\infty$.

a. $x\to +\infty$ et $\frac{1}{x}\to 0$ : par somme, la limite vaut $+\infty$.

b. $\frac{3}{x^2}\to 0$, donc la limite vaut $2-0=2$.

En $2$, le numérateur et le dénominateur s'annulent : forme indéterminée $\frac{0}{0}$.

On factorise : $x^2-4=(x-2)(x+2)$, donc pour $x\ne 2$, $\frac{x^2-4}{x-2}=x+2$.

La limite vaut donc $2+2=4$.

On obtient la forme indéterminée $\infty -\infty$. On multiplie et on divise par la quantité conjuguée $\sqrt{x+1}+\sqrt{x}$ :

$\sqrt{x+1}-\sqrt{x}=\frac{(x+1)-x}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}$.

Le dénominateur tend vers $+\infty$, donc la limite vaut $0$.

En $\pm \infty$ : $\frac{3x}{x}=3$, donc $\lim f(x)=3$ et la droite $y=3$ est asymptote horizontale.

En $-2$, le numérateur tend vers $-7$, négatif. Si $x\to -2^{+}$, $x+2\to 0^{+}$ et $f(x)\to -\infty$ ; si $x\to -2^{-}$, $x+2\to 0^{-}$ et $f(x)\to +\infty$.

La droite $x=-2$ est donc asymptote verticale à la courbe.

1. Pour tout réel $x$, $-1\le \sin x\le 1$. En divisant par $x>0$, le sens des inégalités est conservé : $-\frac{1}{x}\le \frac{\sin x}{x}\le \frac{1}{x}$.

2. $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(-\frac{1}{x}\right)=0$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{x}=0$. D'après le théorème d'encadrement, $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=0$.