Les nombres complexes

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Égalité de deux complexes

Deux nombres complexes sont égaux si et seulement s'ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire. En particulier, $z=0⟺\mathrm{Re}(z)=0$ et $\mathrm{Im}(z)=0$.

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Propriétés du conjugué

$\overline{z+z^{\prime }}=\bar{z}+\overline{z^{\prime }}$, $\overline{z{z}^{\prime }}=\bar{z}\overline{z^{\prime }}$, $\overline{\left(\frac{z}{z^{\prime }}\right)}=\frac{\bar{z}}{\overline{z^{\prime }}}$ et $\overline{\stackrel{ˉ}{z}}=z$. De plus $z\in \mathbb{R}⟺\bar{z}=z$, et $z$ est imaginaire pur $⟺\bar{z}=-z$.

Méthode

Calculer un quotient sous forme algébrique

1. Multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.
2. Le dénominateur devient $z^{\prime }\overline{z^{\prime }}=a^{\prime 2}+b^{\prime 2}$, un réel.
3. Développer le numérateur en utilisant $i^2=-1$.
4. Séparer partie réelle et partie imaginaire.

Exemple

Écrire $z=\frac{3+i}{1-2i}$ sous forme algébrique.

1. On multiplie haut et bas par $1+2i$ : $z=\frac{(3+i)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)}$.
2. Dénominateur : $1^2+2^2=5$.
3. Numérateur : $3+6i+i+2i^2=3+7i-2=1+7i$.
4. Donc $z=\frac{1+7i}{5}=\frac{1}{5}+\frac{7}{5}i$.

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Propriétés du module

$|z|=0⟺z=0$ ; $|z{z}^{\prime }|=|z||z^{\prime }|$ ; $\left|\frac{z}{z^{\prime }}\right|=\frac{|z|}{|z^{\prime }|}$ ; $|z^n|=|z{|}^n$ ; $|\bar{z}|=|z|$ et $z\bar{z}=|z{|}^2$.

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Les trois écritures d'un même nombre

Tout complexe non nul $z$ de module $r$ et d'argument $\theta$ s'écrit $z=a+ib$ (forme algébrique), $z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$ (forme trigonométrique) et $z=r{e}^{i\theta }$ (forme exponentielle).

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Règles de calcul en forme exponentielle

$r{e}^{i\theta }\times r^{\prime }{e}^{i{\theta }^{\prime }}=r{r}^{\prime }{e}^{i(\theta +{\theta }^{\prime })}$ ; $\frac{r{e}^{i\theta }}{r^{\prime }{e}^{i{\theta }^{\prime }}}=\frac{r}{r^{\prime }}{e}^{i(\theta -{\theta }^{\prime })}$ ; et la formule de Moivre : ${\left(r{e}^{i\theta }\right)}^n=r^n{e}^{in\theta }$.

Passer à la forme exponentielle

Écrire $z=1+i\sqrt{3}$ sous forme trigonométrique puis exponentielle.

1. Module : $|z|=\sqrt{1^2+(\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{4}=2$.
2. Argument : $\cos \theta =\frac{1}{2}$ et $\sin \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}$, donc $\theta =\frac{\pi }{3}$.
3. Forme trigonométrique : $z=2\left(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}\right)$.
4. Forme exponentielle : $z=2e^{i\pi /3}$.

Remarque

La forme exponentielle est celle qu'il faut privilégier pour toute puissance : calculer $(1+i\sqrt{3}{)}^{12}$ par la forme algébrique est très long, alors que ${\left(2e^{i\pi /3}\right)}^{12}=2^{12}{e}^{4i\pi }=4096$ est immédiat.

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Résolution dans ℂ

Soit $a{z}^2+bz+c=0$ avec $a,b,c$ réels et $a\ne 0$, de discriminant $\Delta =b^2-4ac$. Si $\Delta \ge 0$, les solutions sont réelles. Si $\Delta <0$, l'équation admet deux solutions complexes conjuguées : $z_{1,2}=\frac{-b\pm i\sqrt{-\Delta }}{2a}$.

Exemple

Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^2-2z+5=0$.

1. $\Delta =(-2{)}^2-4\times 1\times 5=4-20=-16$, strictement négatif.
2. $\sqrt{-\Delta }=\sqrt{16}=4$.
3. Les solutions sont $z_1=\frac{2+4i}{2}=1+2i$ et $z_2=\frac{2-4i}{2}=1-2i$.
4. Elles sont bien conjuguées l'une de l'autre.

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Distances et angles

Si $A$ et $B$ ont pour affixes $z_A$ et $z_B$, alors $AB=|z_B-z_A|$. Et pour quatre points distincts, $\arg \left(\frac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\right)$ est une mesure de l'angle entre $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$.