Produits, ordre et opposés

Écris les étapes du calcul.

1. Calcule $P=(-2)\times 5\times (-3)$ et $Q=(-36)÷(-4)$.2 pts

   $P$ : 2 facteurs négatifs, un nombre pair, donc le produit est positif ; $2\times 5\times 3=30$, donc $P=30$.

   $Q$ : les deux nombres ont le même signe, le quotient est positif ; $36÷4=9$, donc $Q=9$.

2. Calcule $R=(-18)÷(-3)-2\times 5$.2 pts

   Le quotient et le produit sont prioritaires : $(-18)÷(-3)=6$ et $2\times 5=10$.

   $R=6-10=-4$.

À retenir : Soustraire un nombre revient à ajouter son opposé. Pour un produit ou un quotient, on trouve d’abord le signe, puis on calcule avec les distances à zéro. Produits et quotients passent avant sommes et différences.

Justifie chaque réponse.

1. Donne l’opposé de $-\frac{3}{7}$ et $\frac{5}{9}$.1 pt

   L’opposé de $-\frac{3}{7}$ est $\frac{3}{7}$ : seul le signe change.

   L’opposé de $\frac{5}{9}$ est $-\frac{5}{9}$ : seul le signe change.

2. Range dans l’ordre croissant : $\frac{2}{3}$ ; $-\frac{5}{6}$ ; $0$ ; $-\frac{1}{2}$.3 pts

   On écrit les fractions avec le dénominateur commun 6 : $\frac{2}{3}=\frac{4}{6}$, $-\frac{1}{2}=-\frac{3}{6}$.

   Un négatif est inférieur à 0, et on compare les numérateurs : $-\frac{5}{6}<-\frac{1}{2}<0<\frac{2}{3}$.

À retenir : Un quotient est négatif quand ses deux termes ont des signes contraires. Pour comparer ou ranger des rationnels, on les écrit avec un même dénominateur positif.

Donne les résultats sous forme de fractions irréductibles.

1. Calcule $-\frac{1}{2}-\left(-\frac{5}{8}\right)$.2 pts

   Soustraire un nombre revient à ajouter son opposé : $-\frac{1}{2}-\left(-\frac{5}{8}\right)=-\frac{1}{2}+\frac{5}{8}$.

   Avec le dénominateur commun 8 : $-\frac{4}{8}+\frac{5}{8}=\frac{1}{8}$.

2. Calcule $-1-\frac{2}{3}$.2 pts

   On écrit l’entier avec le dénominateur 3 : $-1=-\frac{3}{3}$.

   $-1-\frac{2}{3}=-\frac{3}{3}-\frac{2}{3}=-\frac{5}{3}$.

À retenir : Au même dénominateur, on calcule les numérateurs et on garde le dénominateur. On n’additionne jamais les dénominateurs.

Respecte l’ordre des calculs et simplifie le résultat.

1. Supprime les parenthèses, puis calcule $A=\frac{5}{6}-\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)$.2 pts

   Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chaque terme qu’elle contient : $A=\frac{5}{6}-\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$.

   Au dénominateur commun 12 : $A=\frac{10}{12}-\frac{4}{12}-\frac{3}{12}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$.

2. Supprime les parenthèses, puis calcule $B=\left(\frac{3}{4}-\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{1}{8}-\frac{1}{4}\right)$.2 pts

   Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chaque terme qu’elle contient : $B=\frac{3}{4}-\frac{1}{2}-\frac{1}{8}+\frac{1}{4}$.

   Au dénominateur commun 8 : $B=\frac{6}{8}-\frac{4}{8}-\frac{1}{8}+\frac{2}{8}=\frac{3}{8}$.

À retenir : On calcule d’abord l’intérieur des parenthèses. Si on les supprime, un signe moins devant une parenthèse change le signe de chaque terme qu’elle contient.

Écris les décompositions en produits de facteurs premiers.

1. Décompose 66 et 35 en produits de facteurs premiers.1,5 pt

   $66=2\times 33=2\times 3\times 11$.

   $35=5\times 7$.

2. La fraction $\frac{35}{66}$ est-elle irréductible ? Justifie à l’aide de la question précédente.1 pt

   $35=5\times 7$ et $66=2\times 3\times 11$.

   Ces deux nombres n’ont aucun facteur premier commun : la fraction $\frac{35}{66}$ est irréductible.

3. Simplifie $\frac{66}{110}$ en décomposant 66 et 110 en produits de facteurs premiers.1,5 pt

   $66=2\times 3\times 11$ et $110=2\times 5\times 11$.

   Les facteurs premiers communs donnent $2\times 11=22$ : $\frac{66}{110}=\frac{(2\times 11)\times 3}{(2\times 11)\times 5}=\frac{3}{5}$.

À retenir : On décompose le numérateur et le dénominateur en produits de facteurs premiers, puis on supprime les facteurs communs : la fraction obtenue est irréductible.