Vrai ou faux et facteurs premiers

Écris les étapes du calcul.

1. Vrai ou faux ? Justifie : $-6+(-3)=-3$ ; $5-(-2)=7$.2 pts

   $-6+(-3)=-3$ est faux. Deux nombres négatifs ont une somme négative : $-6+(-3)=-9$.

   $5-(-2)=7$ est vrai. Soustraire $-2$ revient à ajouter $2$ : $5+2=7$.

2. Vrai ou faux ? Justifie : $(-2)\times (-5)\times (-1)=10$ ; $(-12)÷4=-3$.2 pts

   $(-2)\times (-5)\times (-1)=10$ est faux. Il y a trois facteurs négatifs, un nombre impair : le produit vaut $-10$.

   $(-12)÷4=-3$ est vrai. Les signes sont contraires et $12÷4=3$ : le quotient vaut $-3$.

À retenir : Soustraire un nombre revient à ajouter son opposé. Pour un produit ou un quotient, on trouve d’abord le signe, puis on calcule avec les distances à zéro. Produits et quotients passent avant sommes et différences.

Justifie chaque réponse.

1. Les nombres $-\frac{9}{12}$ et $-\frac{15}{20}$ sont-ils égaux ? Justifie avec les produits en croix.2 pts

   Avec le signe au numérateur : $(-9)\times 20=-180$ et $12\times (-15)=-180$.

   Les produits en croix sont égaux, donc $-\frac{9}{12}=-\frac{15}{20}$.

2. Les nombres $\frac{5}{8}$ et $\frac{7}{10}$ sont-ils égaux ? Justifie avec les produits en croix.2 pts

   $5\times 10=50$ et $8\times 7=56$.

   Les produits en croix sont différents, donc $\frac{5}{8}\ne \frac{7}{10}$.

À retenir : Un quotient est négatif quand ses deux termes ont des signes contraires. Pour comparer ou ranger des rationnels, on les écrit avec un même dénominateur positif.

Donne les résultats sous forme de fractions irréductibles.

1. Calcule $-\frac{3}{10}+\frac{7}{10}$.1 pt

   Les deux fractions ont le même dénominateur 10 : on le garde et on calcule le numérateur, $-3+7=4$.

   Donc $-\frac{3}{10}+\frac{7}{10}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$.

2. Calcule $\frac{2}{3}-\frac{5}{6}$.1,5 pt

   On choisit le dénominateur commun 6 : $\frac{2}{3}-\frac{5}{6}=\frac{4}{6}-\frac{5}{6}$.

   Donc $\frac{2}{3}-\frac{5}{6}=-\frac{1}{6}$.

3. Calcule $\frac{2}{5}-\left(-\frac{3}{10}\right)$.1,5 pt

   Soustraire un nombre revient à ajouter son opposé : $\frac{2}{5}-\left(-\frac{3}{10}\right)=\frac{2}{5}+\frac{3}{10}$.

   Avec le dénominateur commun 10 : $\frac{4}{10}+\frac{3}{10}=\frac{7}{10}$.

À retenir : Au même dénominateur, on calcule les numérateurs et on garde le dénominateur. On n’additionne jamais les dénominateurs.

Respecte l’ordre des calculs et simplifie le résultat.

1. Calcule $A=1-\left(\frac{2}{3}+\frac{1}{6}\right)$.2 pts

   On calcule d’abord la parenthèse : $\frac{2}{3}+\frac{1}{6}=\frac{4}{6}+\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$.

   $A=1-\frac{5}{6}=\frac{6}{6}-\frac{5}{6}=\frac{1}{6}$.

2. Calcule $B=\frac{3}{4}+\left(\frac{1}{6}-\frac{1}{2}\right)$.2 pts

   On calcule d’abord la parenthèse : $\frac{1}{6}-\frac{1}{2}=\frac{1}{6}-\frac{3}{6}=-\frac{2}{6}=-\frac{1}{3}$.

   $B=\frac{3}{4}+\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{9}{12}+\left(-\frac{4}{12}\right)=\frac{5}{12}$.

À retenir : On calcule d’abord l’intérieur des parenthèses. Si on les supprime, un signe moins devant une parenthèse change le signe de chaque terme qu’elle contient.

Écris les décompositions en produits de facteurs premiers.

1. Écris sous forme de fraction irréductible : $\frac{2^3\times 3\times 5}{2\times 3^2\times 5}$.2 pts

   Les facteurs premiers communs au numérateur et au dénominateur sont ceux de $2\times 3\times 5$.

   $\frac{2^3\times 3\times 5}{2\times 3^2\times 5}=\frac{(2\times 3\times 5)\times 2^2}{(2\times 3\times 5)\times 3}=\frac{4}{3}$.

2. Simplifie $\frac{98}{140}$ en décomposant 98 et 140 en produits de facteurs premiers.2 pts

   $98=2\times 7^2$ et $140=2^2\times 5\times 7$.

   Les facteurs premiers communs donnent $2\times 7=14$ : $\frac{98}{140}=\frac{(2\times 7)\times 7}{(2\times 7)\times 2\times 5}=\frac{7}{10}$.

À retenir : On décompose le numérateur et le dénominateur en produits de facteurs premiers, puis on supprime les facteurs communs : la fraction obtenue est irréductible.