Comparer et supprimer les parenthèses

Écris les étapes du calcul.

1. Calcule $P=(-3)\times (-2)\times (-5)$ et $Q=42÷(-6)$.2 pts

   $P$ : 3 facteurs négatifs, un nombre impair, donc le produit est négatif ; $3\times 2\times 5=30$, donc $P=-30$.

   $Q$ : les signes sont contraires, le quotient est négatif ; $42÷6=7$, donc $Q=-7$.

2. Calcule $R=(-20)÷4+3\times (-2)$.2 pts

   Le quotient et le produit sont prioritaires : $(-20)÷4=-5$ et $3\times (-2)=-6$.

   $R=-5+(-6)=-11$.

À retenir : Soustraire un nombre revient à ajouter son opposé. Pour un produit ou un quotient, on trouve d’abord le signe, puis on calcule avec les distances à zéro. Produits et quotients passent avant sommes et différences.

Justifie chaque réponse.

1. Écris chaque nombre avec un dénominateur positif : $\frac{6}{-7}$ et $\frac{-1}{-2}$.2 pts

   Un seul signe moins : le quotient est négatif, $\frac{6}{-7}=-\frac{6}{7}$.

   Deux signes moins : le quotient est positif, $\frac{-1}{-2}=\frac{1}{2}$.

2. Compare $-\frac{3}{4}$ et $-\frac{5}{8}$.2 pts

   On écrit les fractions avec le dénominateur commun 8 : $-\frac{3}{4}=-\frac{6}{8}$.

   Comme $-6<-5$, on a $-\frac{3}{4}<-\frac{5}{8}$.

À retenir : Un quotient est négatif quand ses deux termes ont des signes contraires. Pour comparer ou ranger des rationnels, on les écrit avec un même dénominateur positif.

Donne les résultats sous forme de fractions irréductibles.

1. Karim écrit $-\frac{1}{4}+\frac{2}{3}=\frac{1}{7}$. Explique son erreur, puis corrige le calcul.2 pts

   Karim a additionné les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. Il faut d’abord écrire les deux fractions avec un même dénominateur.

   $-\frac{1}{4}+\frac{2}{3}=-\frac{3}{12}+\frac{8}{12}=\frac{5}{12}$.

2. Complète : $\frac{3}{4}-\dots =\frac{1}{8}$.2 pts

   Le nombre manquant est la différence $\frac{3}{4}-\frac{1}{8}$.

   $\frac{3}{4}-\frac{1}{8}=\frac{6}{8}-\frac{1}{8}=\frac{5}{8}$ : le nombre manquant est $\frac{5}{8}$.

À retenir : Au même dénominateur, on calcule les numérateurs et on garde le dénominateur. On n’additionne jamais les dénominateurs.

Respecte l’ordre des calculs et simplifie le résultat.

1. Supprime les parenthèses, puis calcule $A=\frac{1}{2}-\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{6}\right)$.2 pts

   Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chaque terme qu’elle contient : $A=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{6}$.

   Au dénominateur commun 6 : $A=\frac{3}{6}-\frac{2}{6}+\frac{1}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$.

2. Supprime les parenthèses, puis calcule $B=\left(\frac{5}{6}+\frac{1}{4}\right)-\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\right)$.2 pts

   Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chaque terme qu’elle contient : $B=\frac{5}{6}+\frac{1}{4}-\frac{1}{3}-\frac{1}{2}$.

   Au dénominateur commun 12 : $B=\frac{10}{12}+\frac{3}{12}-\frac{4}{12}-\frac{6}{12}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$.

À retenir : On calcule d’abord l’intérieur des parenthèses. Si on les supprime, un signe moins devant une parenthèse change le signe de chaque terme qu’elle contient.

Écris les décompositions en produits de facteurs premiers.

1. Décompose 77 et 30 en produits de facteurs premiers.1,5 pt

   $77=7\times 11$.

   $30=2\times 15=2\times 3\times 5$.

2. La fraction $\frac{30}{77}$ est-elle irréductible ? Justifie à l’aide de la question précédente.1 pt

   $30=2\times 3\times 5$ et $77=7\times 11$.

   Ces deux nombres n’ont aucun facteur premier commun : la fraction $\frac{30}{77}$ est irréductible.

3. Simplifie $\frac{42}{70}$ en décomposant 42 et 70 en produits de facteurs premiers.1,5 pt

   $42=2\times 3\times 7$ et $70=2\times 5\times 7$.

   Les facteurs premiers communs donnent $2\times 7=14$ : $\frac{42}{70}=\frac{(2\times 7)\times 3}{(2\times 7)\times 5}=\frac{3}{5}$.

À retenir : On décompose le numérateur et le dénominateur en produits de facteurs premiers, puis on supprime les facteurs communs : la fraction obtenue est irréductible.