Triangles isométriques et semblables 3AC : exercices corrigés

1. Oui : les trois côtés sont deux à deux égaux, c’est le cas côté-côté-côté.
2. Oui : un côté et les deux angles qui lui sont adjacents sont égaux, c’est le cas angle-côté-angle.
3. Oui : deux côtés et l’angle compris entre eux sont égaux, c’est le cas côté-angle-côté.

À retenir : Trois cas d’isométrie : trois côtés égaux, deux côtés et l’angle compris, un côté et ses deux angles adjacents.

1. Les côtés homologues ont la même longueur : $MN=AB=4,5$ cm et $NP=BC=6$ cm.
2. Les angles homologues ont la même mesure : $\hat{M}=\hat{A}=80^{\circ }$ et $\hat{N}=\hat{B}=40^{\circ }$.
3. $\hat{P}=180^{\circ }-(80^{\circ }+40^{\circ })=60^{\circ }$. C’est aussi la mesure de $\hat{C}$.

À retenir : Dans deux triangles isométriques, on associe les sommets dans l’ordre : côtés et angles homologues sont égaux.

1. Non : trois angles égaux prouvent seulement que les triangles ont la même forme. Ils peuvent avoir des tailles différentes.
2. Non : l’angle égal doit être celui compris entre les deux côtés. Sinon, on ne peut pas conclure.
3. Oui : les trois côtés sont deux à deux égaux, c’est le cas côté-côté-côté.

À retenir : Des angles égaux ne suffisent jamais pour l’isométrie : il faut au moins une égalité de longueurs bien placée.

1. Le troisième angle du premier mesure $180^{\circ }-(50^{\circ }+60^{\circ })=70^{\circ }$. Les deux triangles ont les angles $50^{\circ }$, $60^{\circ }$ et $70^{\circ }$ : ils sont semblables.
2. Le troisième angle du premier mesure $180^{\circ }-(35^{\circ }+90^{\circ })=55^{\circ }$, celui du second $180^{\circ }-(90^{\circ }+45^{\circ })=45^{\circ }$. Les angles ne sont pas les mêmes : les triangles ne sont pas semblables.
3. Tous leurs angles mesurent $60^{\circ }$ : deux triangles équilatéraux sont toujours semblables.

À retenir : Deux triangles qui ont deux angles égaux deux à deux sont semblables : le troisième angle est alors égal aussi.

1. $\frac{6}{4}=1,5$, $\frac{9}{6}=1,5$ et $\frac{12}{8}=1,5$.
2. Oui : les trois rapports des côtés rangés dans le même ordre sont égaux, les côtés sont proportionnels.
3. Le rapport de ABC vers DEF est $k=1,5$ : DEF est un agrandissement de ABC.

À retenir : On range les côtés du plus petit au plus grand dans chaque triangle, puis on compare les trois rapports.

1. A correspond à R et B à S : le troisième sommet C correspond à T.
2. [AB] correspond à [RS] et [BC] correspond à [ST] : on remplace chaque sommet par son homologue.
3. $\frac{RS}{AB}=\frac{ST}{BC}=\frac{RT}{AC}$.

À retenir : On écrit les deux triangles avec les sommets homologues dans le même ordre : les rapports se lisent alors directement.

1. $k=\frac{DE}{AB}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$ : DEF est une réduction de ABC.
2. $EF=k\times BC=\frac{2}{3}\times 9=6$ cm.
3. $DF=k\times AC=\frac{2}{3}\times 12=8$ cm.

À retenir : Le rapport se calcule avec deux côtés homologues connus : longueur d’arrivée sur longueur de départ.

1. $\frac{MN}{AB}=\frac{10}{4}=2,5$ et $\frac{MP}{AC}=\frac{15}{6}=2,5$ : les deux rapports sont égaux.
2. Oui : deux côtés sont proportionnels et les angles compris entre eux, $\hat{A}$ et $\hat{M}$, sont égaux.
3. $NP=2,5\times BC=2,5\times 4,6=11,5$ cm.

À retenir : Deux triangles sont semblables s’ils ont un angle égal compris entre deux côtés proportionnels.

1. Les droites (MN) et (BC) sont parallèles et coupées par (AB) : les angles correspondants $\widehat{AMN}$ et $\widehat{ABC}$ sont égaux.
2. Les triangles AMN et ABC ont l’angle $\hat{A}$ en commun et $\widehat{AMN}=\widehat{ABC}$ : ils ont deux angles égaux deux à deux, ils sont semblables.
3. Le rapport de réduction est $\frac{AM}{AB}=\frac{3}{7,5}=0,4$, donc $MN=0,4\times 10=4$ cm.

À retenir : Une parallèle à un côté d’un triangle découpe un triangle semblable au triangle de départ : c’est la configuration de Thalès.

1. $2,5\times 5=12,5$ cm, $2,5\times 6=15$ cm et $2,5\times 9=22,5$ cm.
2. Le périmètre de T vaut $5+6+9=20$ cm, celui de U vaut $12,5+15+22,5=50$ cm.
3. $\frac{50}{20}=2,5$ : le périmètre est multiplié par $k$, comme les longueurs.

À retenir : Dans un agrandissement de rapport $k$, le périmètre est multiplié par $k$.

1. Les aires sont multipliées par $k^2$ : $3^2\times 7=9\times 7=63$ cm².
2. Les périmètres sont multipliés par $k$ : le petit a pour périmètre $48÷3=16$ cm.
3. Le carré du rapport vaut 16 et le rapport est positif : il vaut $\sqrt{16}=4$.

À retenir : Les longueurs sont multipliées par $k$, les aires par $k^2$ : on ne confond pas les deux.

1. $\frac{50}{8}=6,25$.
2. Le carré de $k$ vaut $6,25$ et $k$ est positif, donc $k=\sqrt{6,25}=2,5$.
3. $2,5\times 3=7,5$ cm.

À retenir : Le rapport des longueurs est la racine carrée du rapport des aires.

1. Le triangle formé par Lina et le miroir et celui formé par l’immeuble et le miroir sont rectangles, et leurs angles au miroir sont égaux : ils ont deux angles égaux deux à deux, ils sont semblables.
2. Les côtés homologues sont proportionnels : $\frac{h}{1,6}=\frac{12}{1,5}=8$, donc $h=8\times 1,6=12,8$ m.
3. Les triangles restent semblables : $\frac{d}{1,6}=\frac{20}{12,8}$, donc $d=\frac{20\times 1,6}{12,8}=2,5$ m.

À retenir : Deux triangles rectangles qui ont un angle aigu égal sont semblables.

1. Les longueurs sont divisées par 10 : $3÷10=0,3$ m, soit 30 cm ; $4÷10=0,4$ m, soit 40 cm ; $4,5÷10=0,45$ m, soit 45 cm.
2. Les aires sont multipliées par le carré du rapport : ${\left(\frac{1}{10}\right)}^2=\frac{1}{100}$.
3. $5,9÷100=0,059$ m². Comme 1 m² vaut $10000$ cm², l’aire de la maquette est $0,059\times 10000=590$ cm².

À retenir : Une échelle est un rapport de réduction : elle s’applique aux longueurs, et son carré aux aires.

1. Les côtés opposés d’un parallélogramme ont la même longueur, donc $AB=CD$ et $BC=DA$, et [AC] est commun : les triangles ABC et CDA ont trois côtés égaux deux à deux, ils sont isométriques.
2. Les diagonales se coupent en leur milieu : $OA=OC$ et $OB=OD$. Les angles $\widehat{AOB}$ et $\widehat{COD}$ sont opposés par le sommet, donc égaux. Deux côtés et l’angle compris sont égaux : les triangles OAB et OCD sont isométriques.
3. Dans deux triangles isométriques, les angles homologues sont égaux : $\widehat{OAB}=\widehat{OCD}$.

À retenir : Pour prouver une égalité de longueurs ou d’angles, on cherche deux triangles isométriques qui les contiennent.