Aller au contenu principal

Triangles isométriques et triangles semblables

Deux triangles isométriques sont superposables : leurs côtés et leurs angles correspondants sont égaux. Deux triangles semblables ont la même forme : leurs angles correspondants sont égaux et leurs côtés correspondants sont proportionnels. La correspondance des sommets doit être établie avant tout calcul.

Conforme au programme officiel du Ministère de l'Éducation Nationale (2025-2026) · Mis à jour le

À la fin de ce chapitre, vous saurez

  • Reconnaître les trois cas d’isométrie
  • Identifier des sommets et côtés homologues
  • Démontrer la similitude par les angles ou les côtés
  • Calculer des longueurs, périmètres et aires avec un rapport

PrérequisSomme des angles d’un triangle · Proportionnalité et Thalès · Aire d’un triangle · Angles alternes-internes et symétrie

Un bon cours, ça se partage.

Aide un camarade à comprendre ce chapitre. Envoie-lui cette page et révisez ensemble.

WhatsAppTelegram

Instagram : copie le lien puis colle-le dans un message.

Que signifie « triangles isométriques » ?

Définition

Triangles isométriques : Deux triangles sont isométriques si l’on peut les superposer exactement. Leurs côtés homologues ont les mêmes longueurs et leurs angles homologues les mêmes mesures.

Tourner un triangle, le déplacer ou le retourner ne modifie pas ses longueurs. Deux figures peuvent donc être isométriques même si elles sont orientées différemment. Les codages et les données comptent davantage que l’apparence du dessin.

Deux triangles réfléchis de côtés 4, 5 et 6, avec sommets homologues associés. Schéma de mathématiques 3AC.
Le cas CCC établit l’isométrie : correspond à , à et à .

Quels sont les trois cas d’isométrie ?

CasInformations suffisantes
CCCLes trois côtés sont deux à deux égaux
CACDeux côtés et l’angle compris entre eux sont égaux
ACAUn côté et les deux angles adjacents à ce côté sont égaux

Utiliser l’angle compris

cm, cm et . Comparer ABC et DEF.

  1. L’angle est entre AB et AC ; est entre DE et DF.
  2. Le cas CAC s’applique. Les triangles sont isométriques avec A correspondant à D, B à E et C à F. Donc .
Triangles ABC et DEF réfléchis avec AB = DE = 5 cm, AC = DF = 7 cm et angles BAC et EDF de 40°. Schéma de mathématiques 3AC.
Avec cm, cm et , le cas CAC établit l’isométrie des triangles. L’angle égal est compris entre les deux côtés donnés.

Attention

Deux côtés et un angle quelconque ne suffisent pas toujours. Pour le cas CAC, l’angle connu doit être celui compris entre les deux côtés. Trois angles égaux prouvent la similitude, pas nécessairement l’isométrie.

Comment associer les bons sommets ?

Méthode

Construire la correspondance

  1. Repère une égalité d’angles ou un codage de côtés.
  2. Associe chaque sommet au sommet de même rôle dans l’autre triangle.
  3. Écris les noms dans cet ordre, par exemple ABC et DEF.
  4. En déduis les paires AB et DE, AC et DF, BC et EF.

Des côtés dans un ordre différent

ABC a , , . PQR a , , . Donner la correspondance.

  1. A est commun aux côtés de longueurs 4 et 6 ; dans PQR, c’est R.
  2. Ainsi A correspond à R, B à P et C à Q. On compare donc ABC à RPQ, et non mécaniquement à PQR.

Que signifie « triangles semblables » ?

Définition

Triangles semblables : Deux triangles sont semblables si leurs angles sont deux à deux égaux. Leurs côtés homologues sont alors proportionnels. L’un est un agrandissement ou une réduction de l’autre, éventuellement déplacé ou retourné.

Triangles rectangles de côtés 3, 4, 5 et 6, 8, 10 ; leurs aires sont 6 et 24. Schéma de mathématiques 3AC.
Un agrandissement de rapport double les longueurs et multiplie les aires par .

Pour ABC et DEF avec A correspondant à D, B à E et C à F, le rapport du premier vers le second est . On précise le sens : le rapport inverse vaut . Un nombre décrit un agrandissement ; décrit une réduction.

Comment démontrer que des triangles sont semblables ?

CasVérification
Deux angles égaux deux à deuxLe troisième suit car la somme vaut
Trois côtés proportionnelsLes trois rapports homologues sont égaux
Deux côtés proportionnels et angle compris égalLe même rapport et le bon angle compris

Deux angles suffisent

ABC a et . DEF a et . Comparer les triangles.

  1. Dans ABC, . Dans DEF, .
  2. A correspond à D, B à E et C à F ; les triangles sont semblables.

Vérifier les trois rapports

Deux triangles ont pour côtés 4, 5, 6 et 6, 7,5, 9.

  1. .
  2. Les côtés homologues sont proportionnels : les triangles sont semblables, avec un rapport 1,5 du premier vers le second.

Comment calculer une longueur et un périmètre ?

Appliquer un même facteur

ABC et DEF sont semblables dans cet ordre. cm, cm, cm et cm. Calculer DF et EF.

  1. .
  2. cm et cm.

Propriété

Périmètres

Si le rapport des longueurs du premier triangle vers le second est k, le périmètre du second est k fois celui du premier.

Dans l’exemple, le périmètre de ABC vaut 24 cm et celui de DEF vaut 36 cm. On retrouve bien . Une somme de longueurs suit le même coefficient que chaque longueur.

Quel est le rapport des aires ?

Propriété

Aires de triangles semblables

Si les longueurs sont multipliées par k, les aires sont multipliées par .

L’aire d’un triangle est , où est la base et la hauteur associée. Un agrandissement multiplie chacune par  ; l’aire est donc multipliée par . Un rapport donne une aire neuf fois plus grande.

Réduire une aire

Une maquette triangulaire est une réduction de rapport d’une figure d’aire 80 . Calculer son aire.

  1. Le rapport des aires vaut .
  2. L’aire réduite est .

Comment relier ces résultats à Thalès ?

Si M appartient à [AB], N à [AC] et (MN) est parallèle à (BC), les angles correspondants des triangles AMN et ABC sont égaux. Ces triangles sont semblables. Les proportions de leurs côtés sont précisément celles de Thalès.

Attention

Deux triangles isométriques sont toujours semblables, avec . L’inverse est faux en général. Pour conclure à l’isométrie de triangles semblables, il faut en plus une paire de côtés homologues de même longueur.

Questions fréquentes

Quelle différence entre triangles isométriques et semblables ?

Les isométriques ont la même forme et la même taille. Les semblables ont la même forme, mais leurs longueurs peuvent être multipliées par un même rapport différent de 1.

Quels sont les trois cas d’isométrie en 3AC ?

Trois côtés égaux deux à deux ; deux côtés et l’angle compris égaux ; un côté et ses deux angles adjacents égaux. Ils sont souvent abrégés CCC, CAC et ACA.

Comment calculer un rapport de similitude ?

Divise une longueur du triangle d’arrivée par la longueur homologue du triangle de départ. Garde ce sens pour tous les autres rapports.

Pourquoi le rapport des aires est-il  ?

L’agrandissement multiplie la base et la hauteur par k. Leur produit, donc l’aire, est multiplié par k deux fois.

Deux triangles de même aire sont-ils semblables ?

Non. L’égalité des aires seule ne détermine ni les angles ni les rapports des côtés. Il faut vérifier un critère de similitude.

Quiz : 16 questions sur ce chapitre

16 questions tirées au hasard parmi les 16 de ce chapitre : le quiz est différent à chaque visite. Une seule réponse est correcte, et vous voyez immédiatement si la vôtre l'est.

Q1Des triangles isométriques sont…

Bonne réponse : superposables

Ils ont les mêmes longueurs et les mêmes angles correspondants.

Q2Dans le cas CAC, l’angle doit être…

Bonne réponse : compris entre les deux côtés connus

Un angle non compris ne suffit pas en général.

Q3Trois angles égaux deux à deux prouvent…

Bonne réponse : la similitude

Les triangles peuvent avoir des tailles différentes.

Q4Deux angles égaux suffisent pour la similitude car…

Bonne réponse : le troisième découle de la somme

Les troisièmes angles sont forcément égaux.

Q5Si , un côté de 4 devient…

Bonne réponse :

Une longueur est multipliée par le rapport 3.

Q6Si , une aire de 4 devient…

Bonne réponse :

Le rapport des aires est , donc .

Q7Le rapport inverse de est…

Bonne réponse :

Changer le sens de comparaison inverse le quotient.

Q8Une réduction correspond à…

Bonne réponse :

Les longueurs restent positives et diminuent.

Q9Des triangles semblables avec sont…

Bonne réponse : isométriques

Leurs côtés homologues ont alors exactement les mêmes longueurs.

Q10Si A correspond à D et B à E, le côté AB correspond à…

Bonne réponse : DE

On associe les deux extrémités du côté.

Q11Un rapport d’aires de 16 donne un rapport de longueurs de…

Bonne réponse :

Le rapport positif k vérifie , donc .

Q12Le périmètre suit le rapport…

Bonne réponse : k

Chaque côté étant multiplié par k, leur somme l’est aussi.

Q13Deux triangles équilatéraux sont toujours…

Bonne réponse : semblables

Leurs angles valent tous , mais leurs côtés peuvent différer.

Q14CCC désigne…

Bonne réponse : trois côtés égaux deux à deux

C’est un des trois cas d’isométrie.

Q15Des côtés 2, 3, 4 et 4, 6, 9 sont…

Bonne réponse : non proportionnels

, mais est différent.

Q16Avant d’écrire les rapports, il faut…

Bonne réponse : associer les sommets homologues

La correspondance garantit que les bons côtés sont comparés.

Exercices corrigés

12 exercices classés du plus simple au plus difficile. Cherchez d'abord seul, puis révélez la correction rédigée étape par étape.

Exercice 1

Facile

Deux triangles ont chacun des côtés de 5, 6 et 8 cm. Sont-ils isométriques ?

Correction

On associe les côtés de même longueur : 5 avec 5, 6 avec 6, 8 avec 8.

Le cas CCC prouve que les triangles sont isométriques.

Exercice 2

Facile

, et . Quel cas d’isométrie peut-on utiliser ?

Correction

Les deux côtés connus encadrent l’angle connu dans chaque triangle.

On utilise donc CAC, avec A correspondant à D.

Exercice 3

Facile

Un triangle a deux angles de et . Calcule le troisième.

Correction

La somme des angles d’un triangle vaut .

Le troisième vaut .

Exercice 4

Facile

Deux triangles ont respectivement les angles , , et , , . Sont-ils semblables ?

Correction

On peut associer les trois angles de même mesure.

Ils sont semblables. Sans longueurs, on ne peut pas affirmer leur isométrie.

Exercice 5

Moyen

cm correspond à cm dans deux triangles semblables. Donne le rapport de ABC vers DEF puis le rapport inverse.

Correction

Le rapport vers DEF vaut .

Dans l’autre sens, il vaut .

Exercice 6

Moyen

ABC et DEF sont semblables dans cet ordre. , , . Calcule DF.

Correction

.

AC correspond à DF, donc .

Exercice 7

Moyen

Les côtés de deux triangles valent 3, 4, 5 et 4,5 ; 6 ; 7,5. Prouve leur similitude.

Correction

.

Les trois rapports sont égaux : le cas des côtés proportionnels s’applique.

Exercice 8

Moyen

Un triangle de périmètre 42 cm est réduit avec un rapport . Calcule le nouveau périmètre.

Correction

Le périmètre suit le même rapport que les longueurs.

cm.

Exercice 9

Moyen

Un triangle d’aire 18 est agrandi avec . Calcule l’aire obtenue.

Correction

Le rapport des aires est .

L’aire vaut .

Exercice 10

Difficile

Deux triangles semblables ont des aires de 20 et 45 . Le rapport va du petit au grand. Calcule k puis le grand côté correspondant à 8 cm.

Correction

. Comme , .

Le côté correspondant mesure cm.

Exercice 11

Difficile

Au même instant sur un sol horizontal, un bâton vertical de 1,2 m projette une ombre de 0,8 m. Un arbre vertical projette une ombre de 6 m. Les rayons du soleil sont supposés parallèles. Calcule la hauteur de l’arbre.

Correction

Les deux triangles sont rectangles et leurs angles formés par les rayons et le sol sont égaux : ils sont semblables.

Le rapport des ombres vaut . La hauteur est m.

Exercice 12

Difficile

ABC est isocèle en A et M est le milieu de [BC]. Prouve que ABM et ACM sont isométriques, puis que AM est perpendiculaire à BC.

Correction

, et AM est commun. Le cas CCC donne des triangles isométriques, donc .

B, M et C sont alignés : ces deux angles égaux totalisent . Ils valent chacun , d’où AM perpendiculaire à BC.