La proportionnalité

Le prix des oranges

Des oranges sont vendues $7$ DH le kilogramme. Dresser le tableau des prix pour $1$, $3$ et $5$ kg.

1. Pour $1$ kg : $1\times 7=7$ DH.
2. Pour $3$ kg : $3\times 7=21$ DH.
3. Pour $5$ kg : $5\times 7=35$ DH.
4. Le même nombre, $7$, permet de passer chaque fois de la masse au prix : c'est le coefficient de proportionnalité.

Propriété

Calculer le coefficient

Dans un tableau de proportionnalité, le coefficient s'obtient en divisant une valeur de la seconde ligne par la valeur correspondante de la première : $k=\frac{21}{3}=7$. Le résultat est le même quelle que soit la colonne choisie, et c'est précisément ce qui caractérise la proportionnalité.

Propriété

Deux propriétés utiles

Dans un tableau de proportionnalité, on peut additionner deux colonnes pour en obtenir une troisième, et on peut multiplier une colonne par un nombre. Si $3$ kg coûtent $21$ DH et $5$ kg coûtent $35$ DH, alors $8$ kg coûtent $21+35=56$ DH.

Compléter un tableau

Un tableau de proportionnalité contient les colonnes $(4;10)$ et $(6;?)$. Trouver la valeur manquante.

1. Le coefficient vaut $k=\frac{10}{4}=2,5$.
2. La valeur cherchée vaut donc $6\times 2,5=15$.
3. On pouvait aussi remarquer que $6=4+2$ et que la colonne $(2;5)$ est la moitié de la première : $10+5=15$.

Remarque

Le coefficient a souvent un sens concret : ici $2,5$, dans l'exemple des oranges $7$ DH par kilogramme. Lui donner son nom, « prix par kilogramme », aide à vérifier qu'on ne l'a pas calculé à l'envers.

Méthode

Tester la proportionnalité d'un tableau

1. Calculer le quotient de la seconde valeur par la première pour chaque colonne.
2. Si tous les quotients sont égaux, le tableau est un tableau de proportionnalité, et ce quotient commun est le coefficient.
3. S'il suffit d'un seul quotient différent, la situation n'est pas proportionnelle, et cette colonne est le contre-exemple à citer.

Deux tableaux à tester

Ces tableaux sont-ils des tableaux de proportionnalité ?

1. Tableau A, colonnes $(2;9)$, $(5;22,5)$, $(8;36)$ : les quotients valent $4,5$, $4,5$ et $4,5$. Le tableau est proportionnel, de coefficient $4,5$.
2. Tableau B, colonnes $(2;10)$, $(4;18)$, $(6;30)$ : les quotients valent $5$, $4,5$ et $5$. Le deuxième diffère, donc le tableau n'est pas proportionnel.

Propriété

Le produit en croix

Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux : si les colonnes sont $(a;b)$ et $(c;d)$, alors $a\times d=b\times c$.

Méthode

Calculer une quatrième proportionnelle

1. Ranger les quatre valeurs dans un tableau à deux lignes et deux colonnes, en respectant les grandeurs.
2. Écrire l'égalité des produits en croix.
3. Isoler l'inconnue en divisant par le nombre qui la multiplie.

Exemple guidé

Si $4$ cahiers coûtent $26$ DH, combien coûtent $10$ cahiers ?

1. Le tableau a pour colonnes $(4;26)$ et $(10;x)$.
2. Produit en croix : $4\times x=26\times 10=260$.
3. Donc $x=\frac{260}{4}=65$ DH.
4. Vérification par le coefficient : un cahier coûte $26÷4=6,50$ DH, et $10\times 6,50=65$ DH.

Remarque

Le passage par l'unité, ici le prix d'un seul cahier, est souvent la méthode la plus sûre. Le produit en croix est plus rapide, mais il exige de ranger correctement le tableau au départ.

Appliquer un pourcentage

Calculer $15\%$ de $240$ DH.

1. $240\times \frac{15}{100}=\frac{3600}{100}=36$ DH.
2. Autre chemin : $10\%$ de $240$ valent $24$, et $5\%$ en valent la moitié, soit $12$. Total : $24+12=36$ DH.

Méthode

Augmenter ou diminuer d'un pourcentage

1. Calculer d'abord le montant de l'augmentation ou de la réduction, en appliquant le pourcentage à la valeur de départ.
2. Ajouter ce montant pour une augmentation, le soustraire pour une réduction.

Une hausse et une baisse

Un article coûte $350$ DH. Calculer son prix après une hausse de $20\%$, puis le prix d'un article à $80$ DH après une remise de $25\%$.

1. Hausse : $350\times \frac{20}{100}=70$ DH, donc le nouveau prix est $350+70=420$ DH.
2. Remise : $80\times \frac{25}{100}=20$ DH, donc le prix payé est $80-20=60$ DH.

Méthode

Calculer un pourcentage à partir de deux nombres

1. Former le quotient de la partie par le total.
2. Multiplier ce quotient par $100$ pour l'exprimer en pourcentage.

Quel pourcentage ?

Dans une classe de $40$ élèves, $18$ sont inscrits au club de sport. Quel pourcentage cela représente-t-il ?

1. $\frac{18}{40}=0,45$.
2. $0,45\times 100=45$, donc $45\%$ des élèves sont inscrits.

De la carte au terrain

Sur une carte à l'échelle $\frac{1}{200000}$, deux villes sont distantes de $3,5$ cm. Quelle est la distance réelle ?

1. $3,5\times 200000=700000$ cm.
2. On convertit : $700000$ cm $=7000$ m $=7$ km.

Du terrain au plan

Un terrain mesure $48$ m de long. Quelle longueur le représente sur un plan à l'échelle $\frac{1}{400}$ ?

1. $48$ m $=4800$ cm.
2. $4800÷400=12$ cm.

Remarque

Une échelle inférieure à $1$ correspond à une réduction, ce qui est le cas de toutes les cartes. Une échelle supérieure à $1$ correspond à un agrandissement, comme le dessin d'un composant électronique.

Trois calculs de vitesse

Un car parcourt $90$ km en $1$ h $30$ min. Un train roule à $120$ km/h pendant $2,5$ h. Une voiture parcourt $240$ km à $80$ km/h.

1. Vitesse du car : $1$ h $30$ min $=1,5$ h, donc $v=\frac{90}{1,5}=60$ km/h.
2. Distance du train : $d=120\times 2,5=300$ km.
3. Durée du trajet en voiture : $t=\frac{240}{80}=3$ h.

Méthode

Convertir une durée en heures décimales

1. Diviser le nombre de minutes par $60$.
2. Ajouter le résultat au nombre d'heures.
3. Ainsi $2$ h $15$ min donnent $15÷60=0,25$, soit $2,25$ h.

Propriété

Reconnaître la proportionnalité sur un graphique

Une situation est proportionnelle si et seulement si les points du graphique sont alignés sur une droite qui passe par l'origine du repère. Les deux conditions sont nécessaires : des points alignés sur une droite ne passant pas par l'origine ne traduisent pas une proportionnalité.

Le taxi

Un taxi facture $8$ DH de prise en charge, puis $4$ DH par kilomètre. La situation est-elle proportionnelle ?

1. Pour $1$ km : $8+4=12$ DH. Pour $2$ km : $8+8=16$ DH. Pour $5$ km : $8+20=28$ DH.
2. Les quotients valent $12$, $8$ et $5,6$ : ils ne sont pas égaux, donc la situation n'est pas proportionnelle.
3. Sur le graphique, les points sont bien alignés, mais la droite coupe l'axe vertical en $8$ et non en $0$ : c'est la prise en charge qui casse la proportionnalité.