Proportionnalité

Des cahiers au même prix

Deux cahiers coûtent $14$ DH et cinq cahiers coûtent $35$ DH, sans remise ni frais fixes.

1. Les quotients sont $14/2=7$ et $35/5=7$.
2. Le coefficient de la quantité vers le prix est $7$ DH par cahier. Pour huit cahiers, on paie $8\times 7=56$ DH.

Méthode

Choisir une méthode adaptée

1. Coefficient : multiplier chaque quantité de la première ligne par $k$.
2. Passage par l’unité : calculer d’abord la valeur correspondant à un seul objet ou à une seule unité.
3. Linéarité : multiplier une colonne entière par un nombre, ou additionner des colonnes entières.
4. Contrôler que chaque calcul agit sur les deux valeurs d’une colonne, et non sur une seule case.

Ajouter des colonnes

$3$ kg coûtent $24$ DH et $2$ kg coûtent $16$ DH au même prix au kilogramme.

1. Pour $5$ kg, on additionne les deux masses et les deux prix.
2. $5$ kg coûtent $24+16=40$ DH. Le coefficient est aussi $24/3=8$ DH/kg.

Propriété

Produits en croix

Dans un tableau de proportionnalité $\begin{array}{cc}a& c\\ b& d\end{array}$, les produits en croix sont égaux : $ad=bc$. On peut calculer une valeur manquante en divisant le produit approprié par la valeur connue non nulle.

Un prix manquant

$4$ m de tissu coûtent $68$ DH. Combien coûtent $7$ m au même tarif ?

1. Si le prix cherché est $x$, $4x=68\times 7$.
2. $x=(68\times 7)/4=119$ DH. Le passage par l’unité donne aussi $68/4=17$ puis $17\times 7=119$.

Une réduction de prix

Un sac coûte $240$ DH avant une réduction de $15\%$.

1. La réduction vaut $240\times 15/100=36$ DH.
2. Le prix après réduction est $240-36=204$ DH. La réduction et le prix final sont deux réponses différentes.

Propriété

Même unité avant le rapport

L’échelle est le quotient longueur sur le plan ÷ longueur réelle, exprimées dans la même unité. À l’échelle $1/200$, $1$ cm sur le plan représente $200$ cm dans la réalité, soit $2$ m.

Du plan au terrain

Un couloir mesure $4,5$ cm sur un plan à l’échelle $1/200$.

1. La longueur réelle vaut $4,5\times 200=900$ cm.
2. Après conversion, le couloir mesure $9$ m. On ne peut pas conclure directement à $900$ m.

Propriété

Trois relations

La vitesse moyenne est $v=d/t$, pour $t\ne 0$. On en déduit $d=v\times t$ et $t=d/v$, pour $v\ne 0$. En km/h, la distance est en kilomètres et la durée en heures.

Une durée de 45 minutes

Un véhicule parcourt $54$ km en $45$ min. Calculer sa vitesse moyenne.

1. $45$ min représentent $45/60=0,75$ h, et non $0,45$ h.
2. $v=54/0,75=72$ km/h.