Fonction linéaire et fonction affine

Propriété

Reconnaître une situation proportionnelle

Une fonction linéaire vérifie $f(0)=0$. Pour $x\ne 0$, le quotient $f(x)/x$ est constant et égal à $a$. Doubler une quantité double son image.

Un achat au poids

Des dattes sont vendues $28$ DH le kilogramme. Quel est le prix de $1,5$ kg ?

1. Si $x$ désigne la masse en kg, le prix est $p(x)=28x$ en DH. Dans ce problème, $x\ge 0$.
2. On calcule $p(1,5)=28\times 1,5=42$ DH.

Retrouver le coefficient

Une fonction linéaire vérifie $f(4)=18$. Déterminer $f$.

1. Comme $f(x)=ax$, on a $4a=18$, donc $a=9/2$.
2. La fonction est $f(x)=\frac{9}{2}x$. Une valeur non nulle de l’entrée suffit à déterminer son coefficient.

Un tarif avec inscription

Un atelier demande $30$ DH d’inscription, puis $12$ DH par séance. Exprimer le prix de $n$ séances et calculer le prix de cinq séances.

1. Le prix est $g(n)=12n+30$, pour un nombre entier $n\ge 0$.
2. $g(5)=60+30=90$ DH. Le montant fixe empêche la proportionnalité entre prix et nombre de séances.

Propriété

Deux informations pour deux coefficients

Si $g(u)$ et $g(v)$ sont connus avec $u\ne v$, alors $a=\frac{g(v)-g(u)}{v-u}$. Puis $b=g(u)-au$. Les deux points de la droite ont pour coordonnées $(u;g(u))$ et $(v;g(v))$.

Reconstituer une règle de calcul

On sait que $g(2)=7$ et $g(5)=16$. Trouver $g(x)$.

1. $a=(16-7)/(5-2)=9/3=3$.
2. $7=3\times 2+b$, donc $b=1$. Ainsi $g(x)=3x+1$.
3. Contrôle : $g(5)=15+1=16$.

Image et antécédent dans la même fonction

Pour $g(x)=-2x+5$, calculer l’image de $-3$ et l’antécédent de $9$.

1. Image : $g(-3)=-2\times (-3)+5=11$.
2. Antécédent : $-2x+5=9$, donc $-2x=4$ et $x=-2$.
3. Vérifier : $g(-2)=9$. Les deux questions demandaient des calculs différents.

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Cas des fonctions constantes

Si $g(x)=4$, tout réel est antécédent de $4$ et aucun réel n’est antécédent de $7$. Pour une fonction affine de coefficient $a\ne 0$, chaque réel possède un unique antécédent.

Appliquer une réduction

Un magasin réduit tous ses prix de $15\%$. Quel est le prix final d’un article à $240$ DH ?

1. Le nouveau prix est $f(x)=x-0,15x=0,85x$. Il s’agit d’une fonction linéaire.
2. $f(240)=0,85\times 240=204$ DH. Une hausse de $15\%$ utiliserait le coefficient $1,15$.

Comparer deux offres

Une offre A coûte $20n$ DH pour $n$ séances. Une offre B coûte $12n+48$ DH. À partir de combien de séances B est-elle strictement moins chère ?

1. On résout $12n+48<20n$, donc $48<8n$ et $n>6$.
2. Pour un nombre entier de séances, B est moins chère à partir de $7$ séances. À $6$ séances, les deux offres coûtent $120$ DH.