Équations et inéquations

Propriété

Conserver les mêmes solutions

On peut ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres. On peut aussi multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre non nul. Ces opérations réversibles conservent les solutions.

Méthode

Une rédaction en quatre étapes

1. Développer les parenthèses et réduire chaque membre.
2. Regrouper les termes contenant l’inconnue dans un membre et les nombres dans l’autre, par des opérations identiques des deux côtés.
3. Diviser par le coefficient non nul de l’inconnue.
4. Vérifier dans l’équation de départ et annoncer la solution.

Des parenthèses aux deux membres

Résoudre $3(x-2)+4=2x+7$.

1. On développe : $3x-6+4=2x+7$, donc $3x-2=2x+7$.
2. On soustrait $2x$, puis on ajoute $2$ : $x=9$.
3. Vérification : $3(9-2)+4=25$ et $2\times 9+7=25$. La solution est $9$.

Éliminer des dénominateurs numériques

Résoudre $\frac{x-1}{3}+\frac{x}{2}=3$.

1. On multiplie tous les termes par $6$ : $2(x-1)+3x=18$.
2. Alors $5x-2=18$, puis $5x=20$ et $x=4$.
3. Contrôle : $(4-1)/3+4/2=1+2=3$.

Propriété

Produit nul

Un produit de deux nombres est nul si et seulement si au moins un de ses facteurs est nul. Ainsi $A\times B=0$ équivaut à $A=0$ ou $B=0$.

Factoriser avant de résoudre

Résoudre $x^2-5x=0$.

1. On factorise : $x(x-5)=0$. Donc $x=0$ ou $x-5=0$.
2. Les solutions sont $0$ et $5$. Diviser directement par $x$ ferait perdre la solution $0$.

Propriété

La règle du signe négatif

Ajouter un même nombre aux deux membres ne change pas le sens de l’inégalité. Multiplier ou diviser par un nombre positif conserve ce sens ; multiplier ou diviser par un nombre négatif le renverse.

Une division qui change le sens

Résoudre $5-2x\le 11$.

1. On soustrait $5$ : $-2x\le 6$.
2. On divise par $-2$ et on renverse le signe : $x\ge -3$.
3. La valeur $-3$ convient, comme toutes les valeurs plus grandes. Pour $x=0$, on obtient bien $5\le 11$.

Organiser une sortie avec un budget

Un club dispose de $230$ DH. Le transport coûte $50$ DH et chaque entrée $15$ DH. Combien d’entrées peut-il acheter au maximum ?

1. Le nombre $n$ d’entrées est un entier positif ou nul et $50+15n\le 230$.
2. Alors $15n\le 180$, donc $n\le 12$. Le maximum est $12$ entrées.
3. Contrôle : $50+15\times 12=230$. Une entrée supplémentaire coûterait $245$ DH au total.