Statistiques
Les statistiques organisent des données pour décrire un groupe et comparer des résultats. En mathématiques 3AC, on calcule des effectifs, des fréquences, une moyenne, une médiane et un mode. Ces indicateurs répondent à des questions différentes : ils ne se remplacent pas les uns les autres.
À la fin de ce chapitre, vous saurez
- Organiser une série et calculer effectifs et fréquences
- Calculer une moyenne simple ou pondérée
- Déterminer une médiane et un mode
- Lire un graphique et comparer la dispersion de deux séries
PrérequisFractions, proportions et pourcentages · Lecture de tableaux et de diagrammes · Ordre des nombres et calcul numérique
Un bon cours, ça se partage.
Décrire ce que l’on observe
Définition
Population, individu et caractère : La population est le groupe étudié. Un individu est un élément de ce groupe. Le caractère est l’information relevée sur chacun : nombre de livres lus, durée d’un trajet ou sport préféré. Un caractère numérique est quantitatif ; une catégorie est qualitative.
Pour étudier le nombre de livres lus par les élèves d’une classe, la population est la classe et chaque élève est un individu. La question doit préciser la période observée. Comparer des données recueillies sur des périodes différentes peut conduire à une conclusion trompeuse.
Définition
Effectif et fréquence : L’effectif d’une valeur est le nombre de fois où elle apparaît. L’effectif total est la somme de tous les effectifs. La fréquence d’une valeur est . Pour l’exprimer en pourcentage, on multiplie cette fréquence par .
Passer des observations au tableau
| Livres lus | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| Effectif | 2 | 5 | 4 | 1 |
| Effectif cumulé croissant | 2 | 7 | 11 | 12 |
Lire une proportion
Dans ce tableau, quelle part des élèves a lu exactement deux livres ? Et au plus un livre ?
- Exactement deux : , soit environ .
- Au plus un : , soit environ . Le mot « au plus » inclut la borne.
Propriété
Contrôles rapides
La somme des effectifs vaut . La somme des fréquences exactes vaut , soit . Des pourcentages arrondis peuvent donner un total légèrement différent ; ne modifie pas arbitrairement une valeur pour forcer ce total.
Comment calculer une moyenne pondérée ?
Définition
Moyenne : La moyenne partage également le total des valeurs entre les individus. Avec les valeurs et leurs effectifs , elle vaut . Chaque valeur intervient autant de fois que son effectif.
Moyenne du nombre de livres
Calculer la moyenne de la série du tableau.
- Le nombre total de livres est .
- La moyenne est , soit environ livre par élève.
- Aucun élève n’a lu exactement livre : une moyenne n’est pas forcément une valeur observée.
Attention
Diviser par le nombre de valeurs différentes serait faux. Ici, on divise par les douze élèves, et non par les quatre catégories. Si les effectifs diffèrent, faire la moyenne des catégories seules oublie leur poids.
Comment déterminer la médiane ?
Définition
Médiane : Une médiane partage une série numérique ordonnée en deux parties : au moins la moitié des valeurs lui sont inférieures ou égales, et au moins la moitié lui sont supérieures ou égales. Elle dépend du rang des valeurs après classement.
Méthode
Classer avant de chercher le centre
- Ordonner les valeurs, ou utiliser les effectifs cumulés d’un tableau classé.
- Si est impair, prendre la valeur de rang .
- Si est pair, utiliser ici la convention de la moyenne des valeurs de rangs et .
- Interpréter le résultat sans le confondre avec la moyenne de toute la série.
Une série d’effectif pair
Trouver la médiane du tableau des douze élèves.
- Les valeurs centrales sont aux rangs et .
- L’effectif cumulé passe de à dans la colonne « un livre » : les rangs à valent donc .
- Les deux valeurs centrales valent ; la médiane est livre.
Avec les valeurs , , , , , la médiane vaut et la moyenne vaut . La valeur élevée augmente la moyenne, mais elle ne change pas le rang central. On choisit l’indicateur selon la question posée.
Mode et dispersion
Définition
Mode : Un mode est une valeur dont l’effectif est maximal. Si plusieurs valeurs ont le même effectif maximal, on signale plusieurs modes. Pour le tableau des livres, le mode est un livre, puisque cinq élèves correspondent à cette valeur.
Définition
Étendue : L’étendue d’une série numérique est la différence entre sa plus grande et sa plus petite valeur. Elle donne une information simple sur la dispersion, mais ne décrit pas à elle seule toute la répartition.
Même moyenne, résultats différents
Comparer les séries A : et B : .
- La moyenne de chaque série est .
- L’étendue de A est ; celle de B est . Les valeurs de B sont plus éloignées les unes des autres.
- Une même moyenne ne signifie donc pas que les séries sont réparties de la même façon.
Représenter les données sans les déformer
Dans un diagramme en bâtons, chaque valeur est associée à un bâton dont la hauteur représente l’effectif ou la fréquence. Le titre, les unités et les graduations doivent être visibles. Pour un caractère qualitatif, on peut utiliser des barres portant les noms des catégories.
Propriété
Diagramme circulaire
L’angle d’un secteur est proportionnel à l’effectif : . Un quart des individus occupe un angle de . Les angles de tous les secteurs totalisent .
Si une variable continue est regroupée en classes, on peut représenter la répartition par un histogramme. Avec des classes de même largeur, des hauteurs proportionnelles aux effectifs conviennent. Avec des largeurs différentes, ce sont les aires des rectangles qui doivent représenter les effectifs.
Attention
Une série regroupée en intervalles ne donne plus toutes les valeurs exactes. Utiliser les centres des classes pour une moyenne produit une estimation. N’annonce pas une médiane exacte à partir d’une classe médiane seule.
Rédiger une conclusion statistique
Une bonne conclusion donne la population, l’indicateur et son unité. Écris par exemple : « Dans ce groupe de douze élèves, la médiane est d’un livre sur la période étudiée. » Une observation dans une classe ne suffit pas à décrire tous les collégiens du Maroc.
Questions fréquentes
Quelle différence entre moyenne, médiane et mode ?
Comment trouver la médiane dans un tableau d’effectifs ?
Comment calculer une fréquence en pourcentage ?
Pourquoi comparer l’étendue de deux séries ?
Quiz : 16 questions sur ce chapitre
16 questions tirées au hasard parmi les 16 de ce chapitre : le quiz est différent à chaque visite. Une seule réponse est correcte, et vous voyez immédiatement si la vôtre l'est.
Q1L’effectif d’une valeur est…
Réponse incorrecte
On compte combien d’individus ont cette valeur.
Bonne réponse : Son nombre d’apparitions
On compte combien d’individus ont cette valeur.
Q2Une fréquence de représente…
Réponse incorrecte
On multiplie par cent.
Bonne réponse :
On multiplie par cent.
Q3La somme des fréquences exactes est…
Réponse incorrecte
Toutes les catégories couvrent la population.
Bonne réponse :
Toutes les catégories couvrent la population.
Q4Pour calculer une moyenne pondérée, on divise par…
Réponse incorrecte
Chaque individu doit compter dans le partage.
Bonne réponse : L’effectif total
Chaque individu doit compter dans le partage.
Q5La moyenne de est…
Réponse incorrecte
.
Bonne réponse :
.
Q6Avant de chercher une médiane, il faut…
Réponse incorrecte
La médiane dépend du rang dans la série ordonnée.
Bonne réponse : Ordonner la série
La médiane dépend du rang dans la série ordonnée.
Q7Pour neuf valeurs, le rang de la médiane est…
Réponse incorrecte
Pour un effectif impair de neuf valeurs, le rang central est .
Bonne réponse :
Pour un effectif impair de neuf valeurs, le rang central est .
Q8La médiane de selon la convention du cours est…
Réponse incorrecte
On fait la moyenne des deux valeurs centrales.
Bonne réponse :
On fait la moyenne des deux valeurs centrales.
Q9Le mode est…
Réponse incorrecte
Il s’agit de la valeur la plus fréquente.
Bonne réponse : Une valeur d’effectif maximal
Il s’agit de la valeur la plus fréquente.
Q10L’étendue de vaut…
Réponse incorrecte
On soustrait le minimum au maximum : .
Bonne réponse :
On soustrait le minimum au maximum : .
Q11Deux séries de même moyenne ont-elles forcément la même dispersion ?
Réponse incorrecte
Les valeurs peuvent être réparties différemment.
Bonne réponse : Non
Les valeurs peuvent être réparties différemment.
Q12Un secteur représentant mesure…
Réponse incorrecte
C’est la moitié du cercle.
Bonne réponse :
C’est la moitié du cercle.
Q13La moyenne est-elle toujours une valeur de la série ?
Réponse incorrecte
Elle peut être une valeur intermédiaire jamais observée.
Bonne réponse : Non
Elle peut être une valeur intermédiaire jamais observée.
Q14Le sport préféré est un caractère…
Réponse incorrecte
On relève une catégorie.
Bonne réponse : Qualitatif
On relève une catégorie.
Q15Un effectif cumulé croissant compte…
Réponse incorrecte
On additionne les effectifs depuis la première valeur.
Bonne réponse : Les observations jusqu’à la valeur incluse
On additionne les effectifs depuis la première valeur.
Q16Une moyenne calculée avec des centres de classes est généralement…
Réponse incorrecte
Les valeurs individuelles dans chaque intervalle ne sont pas connues.
Bonne réponse : Une estimation
Les valeurs individuelles dans chaque intervalle ne sont pas connues.
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Le chapitre est à revoir en entier
Ne recommencez pas le quiz tout de suite : relisez d'abord tout le cours, en refaisant sur votre cahier chaque exemple guidé au lieu de le lire. Enchaînez avec les exercices « facile », correction masquée, puis revenez ici. C'est en une seule séance de travail que la note change.
À revoir : 16 questions manquées
L’effectif d’une valeur est…
Bonne réponseSon nombre d’apparitions
On compte combien d’individus ont cette valeur.
Une fréquence de représente…
Bonne réponse
On multiplie par cent.
La somme des fréquences exactes est…
Bonne réponse
Toutes les catégories couvrent la population.
Pour calculer une moyenne pondérée, on divise par…
Bonne réponseL’effectif total
Chaque individu doit compter dans le partage.
La moyenne de est…
Bonne réponse
.
Avant de chercher une médiane, il faut…
Bonne réponseOrdonner la série
La médiane dépend du rang dans la série ordonnée.
Pour neuf valeurs, le rang de la médiane est…
Bonne réponse
Pour un effectif impair de neuf valeurs, le rang central est .
La médiane de selon la convention du cours est…
Bonne réponse
On fait la moyenne des deux valeurs centrales.
Le mode est…
Bonne réponseUne valeur d’effectif maximal
Il s’agit de la valeur la plus fréquente.
L’étendue de vaut…
Bonne réponse
On soustrait le minimum au maximum : .
Deux séries de même moyenne ont-elles forcément la même dispersion ?
Bonne réponseNon
Les valeurs peuvent être réparties différemment.
Un secteur représentant mesure…
Bonne réponse
C’est la moitié du cercle.
La moyenne est-elle toujours une valeur de la série ?
Bonne réponseNon
Elle peut être une valeur intermédiaire jamais observée.
Le sport préféré est un caractère…
Bonne réponseQualitatif
On relève une catégorie.
Un effectif cumulé croissant compte…
Bonne réponseLes observations jusqu’à la valeur incluse
On additionne les effectifs depuis la première valeur.
Une moyenne calculée avec des centres de classes est généralement…
Bonne réponseUne estimation
Les valeurs individuelles dans chaque intervalle ne sont pas connues.
Exercices corrigés
12 exercices classés du plus simple au plus difficile. Cherchez d'abord seul, puis révélez la correction rédigée étape par étape.
Exercice 1
FacileOn demande à 28 élèves leur moyen de transport pour venir au collège. Identifier population, individu et caractère.
Correction
Population : les 28 élèves interrogés. Individu : un élève. Caractère : moyen de transport, donc qualitatif.
Exercice 2
FacileLes valeurs , , ont pour effectifs , , . Calculer l’effectif total.
Correction
.
Exercice 3
FacileDans une classe de élèves, pratiquent le basketball. Calculer la fréquence correspondante.
Correction
, soit .
Exercice 4
FacileCalculer la moyenne de , , et .
Correction
La somme vaut ; l’effectif est . La moyenne est .
Exercice 5
MoyenLes notes , , ont pour effectifs , , . Calculer la moyenne.
Correction
Total pondéré : .
Effectif : . Moyenne : .
Exercice 6
MoyenTrouver la médiane de .
Correction
On classe : .
Il y a sept valeurs, donc le rang central est . La médiane est .
Exercice 7
MoyenDéterminer la médiane de selon la convention du cours.
Correction
Les valeurs centrales, de rangs et , sont et .
La médiane retenue est . Elle n’apparaît pas dans la série.
Exercice 8
MoyenDéterminer le ou les modes de .
Correction
Les valeurs et apparaissent chacune deux fois, l’effectif maximal. La série possède donc deux modes : et .
Exercice 9
MoyenLes valeurs , , , ont pour effectifs , , , . Trouver les effectifs cumulés et la médiane.
Correction
Les cumulés sont , , , .
Les rangs et correspondent tous deux à la valeur . La médiane est .
Exercice 10
MoyenDans une enquête de personnes, choisissent le vélo. Quel angle leur attribuer dans un diagramme circulaire ?
Correction
L’angle vaut .
Exercice 11
DifficileLa moyenne de cinq nombres est . Quatre de ces nombres sont , , et . Trouver le cinquième.
Correction
La somme totale vaut . Les quatre nombres connus totalisent .
Le nombre manquant est .
Exercice 12
DifficileComparer moyenne, médiane et étendue des séries A : et B : .
Correction
Chaque somme vaut , donc les moyennes valent . Les médianes sont également .
Étendue de A : . Étendue de B : .
La seconde série est plus dispersée selon l’étendue, même si moyenne et médiane sont identiques.