Équation d’une droite 3AC : exercices corrigés

1. $y=-3+2=-1$.
2. $y=6+2=8$.
3. $y=2$.

À retenir : On remplace $x$ par l’abscisse dans l’équation.

1. $4x-6=2$, donc $x=2$.
2. $4x-6=-6$, donc $x=0$.
3. $4x=6$, donc $x=1,5$.

À retenir : Connaître l’ordonnée, c’est avoir une équation à résoudre pour trouver l’abscisse.

1. Elle est horizontale, à l’ordonnée $-1$ : $y=-1$.
2. Elle est verticale, à l’abscisse $3$ : $x=3$.
3. Elle passe par l’origine et monte de $2$ par unité : $y=2x$.

À retenir : Horizontale : $y=b$ ; verticale : $x=c$ ; par l’origine : $y=mx$.

1. $m=\frac{-2-4}{3+1}=\frac{-6}{4}=-1,5$.
2. $4=-1,5\times (-1)+p$, donc $p=2,5$ : $y=-1,5x+2,5$.
3. $-1,5\times 3+2,5=-2$ : le point $B$ vérifie bien l’équation.

À retenir : Après avoir trouvé une équation, on la contrôle avec le second point.

1. $-1=6+p$, donc $p=-7$ : $y=3x-7$.
2. $1=-2+p$, donc $p=3$ : $y=-0,5x+3$.
3. La droite est horizontale : $y=-2$.

À retenir : La pente connue, il reste à trouver $p$ avec les coordonnées du point.

1. Leurs pentes, $2$ et $-1$, sont différentes.
2. $2x-1=-x+5$, donc $3x=6$ et $x=2$.
3. $y=2\times 2-1=3$, et $-2+5=3$ : le point est $(2;3)$.

À retenir : Au point d’intersection, les deux équations donnent la même ordonnée.

1. Même pente, ordonnées à l’origine différentes : parallèles distinctes.
2. Pentes différentes : sécantes, au point $(0;1)$ qu’elles ont en commun.
3. $0,5\times (-2)=-1$ : perpendiculaires.

À retenir : La comparaison des pentes suffit à savoir si deux droites sont parallèles, sécantes ou perpendiculaires.

1. $3m^{\prime }=-1$, donc $m^{\prime }=-\frac{1}{3}$.
2. $0=-\frac{1}{3}\times 3+p$, donc $p=1$ : $y=-\frac{1}{3}x+1$.
3. $-\frac{1}{3}\times 3+1=0$.

À retenir : La pente d’une perpendiculaire est l’opposé de l’inverse de la pente donnée.

1. $\frac{2}{4}=0,5$ et $\frac{8-2}{1-4}=-2$.
2. $0,5\times (-2)=-1$ : $(AB)\perp (BC)$, le triangle est rectangle en $B$.
3. $A{B}^2=20$, $B{C}^2=9+36=45$ et $A{C}^2=1+64=65$, avec $20+45=65$.

À retenir : Deux méthodes pour un angle droit : le produit des pentes, ou la réciproque de Pythagore.

1. $\frac{2-1}{4}=0,25$ et $\frac{5-4}{5-1}=0,25$ : $(AB)\parallel (DC)$.
2. $\frac{4-1}{1}=3$ et $\frac{5-2}{5-4}=3$ : $(AD)\parallel (BC)$.
3. Les côtés opposés sont parallèles deux à deux : $ABCD$ est un parallélogramme.

À retenir : Un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux est un parallélogramme.

1. $y=20x+50$ : la pente est le prix d’une heure, l’ordonnée à l’origine les frais fixes.
2. $20\times 3+50=110$ DH.
3. $20x+50=170$, donc $x=6$ heures.

À retenir : Dans une situation concrète, la pente est un prix unitaire ou une vitesse, et l’ordonnée à l’origine une valeur de départ.

1. $I(1;0)$.
2. $m=\frac{0-6}{1-0}=-6$ et $p=6$, car $C$ est sur l’axe des ordonnées : $y=-6x+6$.
3. $-6\times 1+6=0$.

À retenir : Une médiane passe par un sommet et le milieu du côté opposé : deux points connus donnent son équation.

1. Vrai : $-4+4=0$.
2. Faux : elle vaut $-1$.
3. Vrai.
4. Faux : les pentes $-1$ et $1$ sont différentes ; ces droites sont même perpendiculaires.

À retenir : Chaque affirmation se vérifie sur l’équation, sans tracer la droite.

1. Oui : son abscisse vaut $-2$.
2. Non : son abscisse vaut $5$.
3. Oui : son ordonnée vaut $3$.

À retenir : Sur une droite verticale, tous les points ont la même abscisse ; sur une horizontale, la même ordonnée.

1. $(d_2)$, la seule qui descend : $y=-2x+1$.
2. $(d_1)$ : $y=x+2$.
3. $y=0,5x-2$ : elle coupe l’axe des ordonnées en $-2$.

À retenir : Le signe de la pente et l’ordonnée à l’origine suffisent souvent à reconnaître une droite.

1. $m=\frac{-6-2}{1+3}=-2$.
2. $2=6+p$, donc $p=-4$ : $y=-2x-4$.
3. $-2\times (-1)-4=-2$ : oui.

À retenir : Calculer, déterminer, vérifier : trois étapes pour ne pas se tromper d’équation.

1. $(D)$ : $(0;1)$ et $(2;2)$ ; $(D^{\prime })$ : $(0;4)$ et $(4;0)$.
2. On relie les deux points de chaque droite.
3. $0,5x+1=-x+4$, donc $1,5x=3$ et $x=2$ ; $y=2$ : $K(2;2)$.

À retenir : Le graphique donne une idée du point d’intersection ; le calcul en donne les coordonnées exactes.

1. $y=mx$ avec $6=4m$, donc $m=1,5$ : $y=1,5x$.
2. $y=1,5x-2$.
3. $1,5m^{\prime }=-1$, donc $m^{\prime }=-\frac{2}{3}$ : $y=-\frac{2}{3}x$.

À retenir : Une droite passant par l’origine a une équation de la forme $y=mx$.

1. $I(3;1)$ et $J(1;3)$.
2. $\frac{3-1}{1-3}=-1$ et $\frac{6-2}{2-6}=-1$.
3. $(IJ)\parallel (BC)$ : c’est le théorème de la droite des milieux.

À retenir : Des pentes égales prouvent un parallélisme : on retrouve par le calcul des propriétés de géométrie.

1. $x+1=-x+5$, donc $x=2$ et $y=3$ : le point $(2;3)$.
2. $3\times 2-3=3$ : oui.
3. Les trois droites passent par le même point : elles sont concourantes.

À retenir : Trois droites sont concourantes quand le point commun à deux d’entre elles est sur la troisième.

1. Le milieu de $[AC]$ est $(3;3)$, celui de $[BD]$ aussi : $ABCD$ est un parallélogramme.
2. $\frac{4-2}{5-1}=0,5$ et $\frac{5-1}{2-4}=-2$.
3. $0,5\times (-2)=-1$ : les diagonales sont perpendiculaires, c’est un losange.

À retenir : Un parallélogramme aux diagonales perpendiculaires est un losange.

1. $30$ DH de frais fixes pour le tarif A ; $5$ DH par unité pour le tarif B.
2. $2x+30=5x$, donc $x=10$, pour un prix de $50$ DH.
3. Tarif A : $60$ DH ; tarif B : $75$ DH : le tarif A.

À retenir : L’intersection de deux droites donne le moment où deux tarifs s’égalent.

1. $\tan x=1$, donc l’angle vaut $45^{\circ }$.
2. $\tan x=2$, donc environ $63,4^{\circ }$.
3. $\tan 30^{\circ }\approx 0,58$.

À retenir : La pente d’une droite et son inclinaison sont liées par la tangente.

1. $\frac{3-1}{7-1}=\frac{1}{3}$.
2. $6=\frac{1}{3}\times 3+p$, donc $p=5$ : $y=\frac{1}{3}x+5$.
3. Au point $(0;5)$.

À retenir : Une parallèle garde la pente ; seule l’ordonnée à l’origine change.